2021-2022学年苏科版七年级数学下册7.2探索平行线的性质同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年苏科版七年级数学下册《7-2探索平行线的性质》同步练习题（附答案）
1．将含30°角的直角三角尺如图摆放，直线a∥b，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．如图所示，若AB∥DE，且∠E＝55°，则∠B+∠C的度数是（　　）
A．135° B．125° C．55° D．45°
3．直线AB∥CD，在AB上任选一点E，将一直角三角板直角顶点放在E处，∠G＝30°，当∠AEF＝70°，此时∠CHF的大小是（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
4．在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图3，测得∠1＝∠2
C．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
D．在图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
5．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（　　）
A．∠1+∠2﹣∠3＝90° B．∠1﹣∠2+∠3＝90°
C．∠1+∠2+∠3＝90° D．∠2+∠3﹣∠1＝180°
6．“浏阳河弯过九道弯，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠EDC＝　 　．
7．如图，图①是长方形纸带，∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图②，则图②中的∠CFG的度数是　 　．
8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置上，若∠EFB＝65°，则∠AED'＝　 　°．
9．如图，AB∥CD，AE⊥CE，∠EAF＝∠EAB，∠ECF＝∠ECD．
（1）当a＝2时，∠AFC＝　 　；
（2）当a＝3时，∠AFC＝　 　．
10．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动　 　秒，两灯的光束互相平行．
11．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （　 　），
∴EF∥AD（　 　），
∴　 　+∠2＝180°（　 　）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（　 　），
∴AB∥　 　（　 　），
∴∠GDC＝∠B（　 　）．
12．如图，已知CF∥AG，E是直线AB上的一点，CE平分∠ACD，射线CF⊥CE，∠2＝58°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）若∠1＝32°，说明：AB∥CD．
13．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC．
（1）按照小明的思路，则∠APC的度数为 　 　．
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β．当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°
（1）∠AEP的度数为 　 　．
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
15．完成证明并写出推理根据：如图，直线PQ分别与直线AB、CD交于点E和点F．∠1＝∠2，射线EM、EN分别与直线CD交于点M、N，且EM⊥EN，则∠4与∠3有何数量关系？并说明理由．
解：∠4与∠3的数量关系为　 　，理由如下：
∵∠1＝∠2（已知）．
∴AB∥　 　（　 　）．
∴∠4＝∠　 　（　 　）．
∵EM⊥EN（已知），
∴　 　＝90°（垂直的定义）．
∴∠BEM﹣∠3＝∠　 　．
∴∠4﹣∠3＝　 　．
16．请将下列题目的证明过程补充完整：
如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：连接EF．
∵FG⊥AC，HE⊥AC．
∴∠FGC＝∠HEC＝90°．
∴FG∥　 　（　 　）．
∴∠3＝∠　 　．
又∵∠1＝∠2，
∴　 　＝∠2+∠4，即∠　 　＝∠EFC．
∴DE∥BC（　 　）．
17．已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：∠DMB+∠ABC＝180°．
小勇在做上面这道题时用了以下推理过程．请帮他在横线上填写结论，在括号内填写推理依据．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90° （　 　）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴　 　（同位角相等，两直线平行）．
∴∠CBD＝∠2　 　．
∵∠1＝∠2（已知）．
∴∠CBD＝∠1 （　 　）．
∴　 　（　 　）．
∵∠AMD＝∠AGF（已知）．
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行）．
∴BC∥MD （　 　）．
∴∠DMB+∠ABC＝180° （　 　）．
18．如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
19．问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
结论应用
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于　 　（用含α的式子表示）．
20．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝　 　；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　 　．
参考答案
1．解：如图所示：
∵a∥b，
∴∠3+∠4+∠1＝180°，
∵∠4＝60°，∠1＝65°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠1＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故选：C．
2．解：∵AB∥DE，
∴∠E＝∠BFE＝55°，
∵∠BFE＝∠B+∠C，
∴∠B+∠C＝55°，
故选：C．
3．解：过G作GM∥AB，则∠MGE＝∠BEG，
∵∠AEF＝70°，∠FEG＝90°，
∴∠BEG＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∴∠MGE＝20°，
∵∠EGF＝30°，
∴∠MGF＝10°，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠CHF＝∠MGF＝10°，
故选：B．
4．解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
C、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b，故此选项不符合题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．解：
∵AB∥EF，
∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，
∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
即∠2+∠3﹣∠1＝180°，
故选：D．
6．解：由题意得，AB∥DE，
过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝60°，
∴∠DCF＝20°，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故答案为：20°．
7．解：∵∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图②，
∴∠FEG＝∠DEF＝25°，
∵AD∥BC，
∴∠EGB＝25°+25°＝50°，
∵DE∥CF，
∴∠CFG＝130°．
故答案为：130°．
8．解：由题意知AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
根据折叠变换的性质知∠D′EF＝∠DEF＝65°，
则∠AED′＝180°﹣∠DEF﹣∠D′EF＝50°，
故答案为：50．
9．解：（1）如图，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝2x°，∠ECD＝2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（x°+y°），
∵∠AFC+∠FAC+∠FCA＝180°，
∴∠AFC＝x°+y°，
∵AE⊥CE，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴180°﹣（2x°+2y°）＝90°，
∴x°+y°＝45°，
∴∠AFC＝45°；
故答案为：45°；
（2）设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x°+2y°），
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]
＝2x°+2y°
＝2（x°+y°），
∵AE⊥CE，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴180°﹣（3x°+3y°）＝90°，
∴x°+y°＝30°，
∴∠AFC＝2（x°+y°）＝60°．
故答案为：60°．
10．解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD，
∴2t＝1 （30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN＝180°，
∴1 （30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行．
11．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），
∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）．
故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．
12．解：（1）∵CF∥AG，
∴∠FCH＝∠2＝58°，
∵CF⊥CE，
∴∠FCE＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣58°＝32°；
（2）当∠1＝32°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACE＝32°，
∵∠1＝32°，
∴∠1＝∠DCE，
∴AB∥CD．
13．解：（1）∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
故答案为：110°；
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α．
14．解：（1）延长FP与AB相交于点G，如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠AEP＝∠EPF﹣∠PGE＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝10°，
∴射线EM运动的时间t＝＝（秒），
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝×40°＝，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠FPN＝120°﹣＝；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝50°，
∴射线EM运动的时间t＝＝（秒），
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝×40°＝，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠EPN＝∠FPN﹣∠EPF＝﹣120°＝；
∴∠EPN的度数为或；
②Ⅰ当PN由PF运动如图4时EM∥PN，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠FPN＝40t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝15t°，
∴40t°＝90°+15t°，
解得t＝（秒）；
Ⅱ当PN运动到PG，再由PG运动到如图5时EM∥PN，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，
∵EM∥PN，
∴∠GHP＝15t°，∠GPH＝90°﹣15t°，
∴PN运动的度数为，180°+∠GPH＝40t°，即180°+90°﹣15t°＝40t°，
解得t＝；
Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝15t°，∠GPN＝40（t﹣）°＝40（t﹣）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝15t°﹣30°，∠EPN＝40（t﹣）°﹣60°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴15t°﹣30°+40（t﹣）°﹣60°＝180°，
解得t＝（秒），
∴当t的值为秒或秒或秒时，EM∥PN．
15．解：∠4与∠3的数量关系为∠4﹣∠3＝90°，理由如下：
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）．
∴∠4＝∠BEM （两直线平行，内错角相等）．
∵EM⊥EN（已知），
∴∠MEN＝90° （垂直的定义）．
∵∠BEM﹣∠3＝∠MEN，
∴∠4﹣∠3＝90°．
故答案为：∠4﹣∠3＝90°；CD；同位角相等，两直线平行；BEM；两直线平行，内错角相等；∠MEN；MEN；90°．
16．证明：连接EF．
∵FG⊥AC，HE⊥AC．
∴∠FGC＝∠HEC＝90°．
∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠4．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠DEF＝∠EFC．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：HE，同位角相等，两直线平行；4，∠1+∠3，DEF，内错角相等，两直线平行．
17．证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ），
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠CBD＝∠2（ 两直线平行，同位角相等 ），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠CBD＝∠1（等量代换），
∴GF∥BC（内错角相等，两直线平行 ），
∵∠AMD＝∠AGF（已知），
∴GF∥MD（同位角相等，两直线平行），
∴BC∥MD（平行公理的推论），
∴∠DMB+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：垂直的定义，BD∥EF，两直线平行，同位角相等，等量代换，GF∥BC，内错角相等，两直线平行，平行公理的推论，两直线平行，同旁内角互补．
18．（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
19．解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD，
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD，
又∵∠FGE＝60°，
∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，
∴∠1＝40°；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠AEG+∠CGE＝180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，
又∵∠FEG+∠EGF＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）如图3，∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC＝180°，
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，
∴∠GFC＝180°﹣90°﹣30°﹣α＝60°﹣α．
故答案为：60°﹣α．
20．解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．