【备考2022】泰安市近十年中考数学考点10 圆的基本概念、性质的运用（含答案）

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十、圆的基本概念、性质的运用
[基础知识]
圆的有关概念及性质，圆的对称性（轴对称、中心对称、旋转对称）
确定圆的条件。
垂径定理：RT△ ：弦的一半2+弦心距2＝半径2；垂径及其推论。
圆心角与圆周角
弦、弧、圆心角的关系
[中考真题]
（2021）6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）
A．50° B．48° C．45° D．36°
（2020）6．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．50°
（2019）9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　）
A．32° B．31°
C．29° D．61°
（2018）9．（3分）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
（2017）12．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）
A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
（2016）10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
（2015）9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
　 A． 4 B． 6 C． 2 D． 8
（2014）23．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为　　．
（2013）9．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）
　 A．60° B．70° C．120° D．140°
（2012）11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A.CM=DM　　 B.CB=DB　 　C．∠ACD=∠ADC　 　D．OM=MD
[答案解析]
（2021）6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　　）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【分析】 应用切线性质、圆周角定理等的求解。
【解答】：连接AD,
∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC,
∴∠ADB＝∠ADC＝90°,
∵AB＝6,AG＝AD＝3,
∴AD＝AB,
∴∠B＝30°,
∴∠GAD＝60°,
∵∠CDE＝18°，
∴∠ADE＝90°﹣18°＝72°,
∵AD＝AE,
∴∠AED＝∠ADE＝72°,
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣72°﹣72°＝36°,
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+36°＝96°,
∴∠GFE＝GAE＝96°＝48°,
故选：B．
（2020）6．如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（　　）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【分析】 连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】：连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝25°，
故选：B．
（2019）9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（　　）
A．32° B．31°
C．29° D．61°
【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：如图所示：连接OC、CD，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故选：A．
【总结】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（2018）9．（3分）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】 连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°，
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选：A．
【总结】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2017）12．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（　　）
A．180°﹣2α B．2α C．90°+α D．90°﹣α
【分析】首先连接OC，由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，又由等腰三角形的性质，即可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==90°﹣α．
故选D．
（2016）10．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，
故选：B．
【总结】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．
（2015）9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）
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　 A． 4 B． 6 C． 2 D． 8
【分析】
首先连接OA，OC，过点O ( http: / / www.21cnjy.com )作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．
【解答】：解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴CD=OC=2，
∴AC=2CD=4．
故选A．
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【总结】 此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．
（2014）23．如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为　　．
【分析】连结BC，根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理由OD⊥AC得到AE=CE=AC=4，然后在Rt△BCE中，根据勾股定理计算出BE=2，则可根据正弦的定义求解．
【解答】：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC==6，
∵OD⊥AC，∴AE=CE=AC=4，
在Rt△BCE中，BE==2，
∴sinα===．故答案为．
【总结】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和圆周角定理．
（2013）9．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）
　 A．60° B．70° C．120° D．140°
【分析】 过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．
【解答】：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
△OAB中，OA=OB，
则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，
同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，
故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．
故选D
【总结】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．　
（2012）11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A.CM=DM　　 B.CB=DB　 　C．∠ACD=∠ADC　 　D．OM=MD
【分析】垂径定理。
【解答】：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D
[解题攻略]
熟练掌握切线的性质，圆心角、圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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