2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念（22张ppt）

(共22张PPT)
上古结绳而治，后世圣人易之以书契
数的概念的扩展
古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用.
实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、
C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都
是不变的.它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数 .
1.重复次数
2.右加左减
3.上加横线
III表示3
XXX表示30
DC表示600
VD表示495
Ⅻ 表示12,000
用罗马数字表示8732
用罗马数字表示1000000，就要连续不断地写上一千个M或在M上画一条横线
那么就得写成MMMMMMMMDCCXXXII
没有0
春秋战国时期，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算.
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制.9位以上的数就要进一位.
在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末 .
但筹算数码中开始没有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示为"┴ ╥ “.
数字中没有"零"，是很容易发生错误的.所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错.
其实在公元5世纪时，"0"已经传入罗马.
多数人认为，"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人.
数的概念的扩展
N
Z
Q
R
数的概念的扩展历程
复数的概念
x2 = -1
引入
i2 = -1
符号i叫做虚数单位
规定
i 可以和任何实数 b 相乘
i
b
（特别：0 i = 0）
a+
定义
形如 a+bi 的数叫做复数（a，b是实数，i是虚数单位）
Z =
(a，b∈R）
x=？
复数的分类
i
b
a+
Z =
(a，b∈R）
0
复数 a+bi
实数（b = 0）
（b ≠ 0）
虚数
0+
纯虚数（a=0）
（a≠0）
非纯虚数
+
a
分类
实部
Re z
a =
虚部
Im z
b =
复数集
C
数集之间的关系
N
Z
Q
R
C
思考：如何定义两个复数的相等？
【注意】：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
复数的相等
(2)表示：复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.
1.复数
知识点总汇
虚数单位
－1
z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数
(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做_____ ，满足i2＝ .
2.复数集
(2)表示：通常用大写字母C表示.
(1)定义： 所构成的集合叫做复数集.
3.复数的分类
4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5.复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di ，a＋bi＝0 .
a＝c且b＝d
a＝b＝0
知识点总汇
例1　下列命题中正确的是
A.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i
C.若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，
则实数x＝±2
D.实数集是复数集的真子集
典例解析
√
解 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.
对于A，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即A错误；
两个虚数不能比较大小，则B错误；
对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，
此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则C错误；
显然，D正确.
【注意】复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚
部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.
【练一练】1.(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是
A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1
C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.i的平方等于1
√
√
解 对于A，当b＝0时，a＋bi＝0为实数，故A错误；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1，故B正确；
对于C，若b＝0，则a＋bi＝a为实数，故C正确；对于D，i的平方为－1，故D错误.
跟踪练习
2.(多选)下列命题中错误的有
A.若x，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B.若复数z∈R，则其虚部不存在
C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3 D.若实数a与ai对应,则实数集与复数集一一对应
解 由复数相等的定义知A正确；实数的虚部为0，故B错误；
对于C，只有当z1，z2，z3∈R时，才有z1＝z2＝z3，否则不成立，故C错误；对于D，a＝0时，ai＝0，故D错误.
√
√
√
典例解析
例3.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为_____.
2
结论：设复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【练一练】3.当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是下列数？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4) 0
解（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.
∴m＝5或m＝－3.
（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
跟踪练习
∴m＝－2.
【练一练】4.使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是______.
跟踪练习
所以所求的实数m的取值集合是{3}.
{3}
5.若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，则实数m的值可以为（ ）
A.－1 B.2 C.1 D.－2
解 因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为纯虚数，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，
解得m＝1(m＝－1舍).
√
解 (1)由复数相等的充要条件，
典例解析
例4　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)若关于x的方程3x2－ －1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
（2）设方程的实根为x＝m，
【练一练】6.复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝______.
跟踪练习
解 因为m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
5
7.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x＝____，y＝_____.
解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
1　 1
课 堂 练 习
1. 说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数请指出是否为纯虚数：
（1）3 + 4i ；
（3）－7 ；
2. “a=0”是“复数a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的___________条件.
必要不充分
（1）m=5
（2）m=-2或m=3
课 堂 练 习
4.已知关于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A.3＋i B.3－i C.－3－i D.－3＋i
解 由题意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，
√
∴z＝3－i.
1.虚数单位i 的引入；
2.复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部 、虚部
复数相等
虚数、纯虚数
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
课本P70 练习题1、2、3
作业：
本 课 结 束