高中数学人教B版（2019）必修第三册向量的数量积和三角恒等变换单元测试（Word版，含解析）

向量的数量积和三角恒等变换
一、单选题
1．已知,,O为坐标原点,P为x轴上一点，则的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．平行四边形中，, 点P在边CD上，则的取值范围是（ ）
A．[-1,8] B． C．[0,8] D．[-1,0]
4．设，且在轴上的投影为2，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知为第二象限角，，则（ ）
A． B．或 C． D．
6．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是
A． B．1 C． D．
8．已知是单位向量，，若平面向量满足，且，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．函数在区间上为增函数
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数的图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D．对任意，恒有
10．已知函数，部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
11．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
12．在中，、分别是、上的点，与交于，且，，，，则（ ）
A． B．
C． D．在方向上的正射影的数量为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知，，则____________.
14．已知同一平面内的单位向量，，，则的取值范围是________.
15．已知向量，，若，则的值为______.
16．已知，为单位向量，，且，则________．
四、解答题
17．已知中，，点M,N是线段AB上的动点，求的最大值.
18．已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．已知，的夹角为，且，，当向量与的夹角为钝角时，求的取值范围.
20．已知等腰三角形的一个底角的正弦等于，求这个三角形顶角的正弦、余弦和正切.
21．设是单位向量，且，求的最小值.
22．已知若，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【解析】
假设点的坐标，根据向量数量积的坐标运算，通过观察法，可得结果
【详解】
设,
,
即
当时,有最小值1.
故选：A
【点睛】
本题主要考查向量数量积的坐标运算，属基础题.
2．D
【解析】
【分析】
本题首先可根据诱导公式以及二倍角公式将函数转化为，然后根据三角函数平移的相关性质得出平移后的函数为，最后根据函数为偶函数即可得出结果.
【详解】
令，
则
，
设向右平移个单位长度后得到的函数为，
则，
因为函数为偶函数，
所以，解得，
因为，所以的最小值为，
故选：D.
【点睛】
本题考查诱导公式、二倍角公式、三角函数图像的平移以及三角函数的奇偶性，考查的公式有、，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
3．A
【解析】
【详解】
∵,，∴，∴，A=60°，
以A为原点，以AB所在的直线为轴，以AB的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
∴A(0,0),B(4,0),，
设，∴，
∴，
设，∴在上单调递减,在上单调递增，
结合二次函数的性质可知：函数的最小值为：，函数的最大值为，
则的取值范围是[ 1,8]，
本题选择A选项.
点睛：在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用坐标运算题目会容易的多．
4．B
【解析】
设，根据，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】
由题意，向量在轴上的投影为2，可设，
因为，可得，解得，所以.
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
根据判断角的范围，利用平方关系可得，然后对先平方在开方，可得结果.
【详解】
由为第二象限角，
即
所以
又，可知为第三象限角，
，
又，
所以
故
化简可得
所以
故选：A
【点睛】
本题重在于考查二倍角的正弦、余弦公式，属基础题.
6．D
【解析】
利用再排除同向共线即可求出.
【详解】
与的夹角为锐角，
，解得且，
即的取值范围是.
7．A
【解析】
【详解】
.故选A.
8．A
【解析】
对两边都与、求数量积，所得两个式子相加即可求解.
【详解】
因为，所以，即①，
因为，所以，即②，
两式相加可得：，所以，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是将两边都与、求数量积即可利用已知条件的数据得出关于和的两个方程.
9．ABD
【解析】
首先利用二倍角的正弦与余弦公式可得，根据正弦函数的单调递增区间可判断A；根据正弦函数的对称轴可判断B；根据三角函数图像的平移变换的原则可判断C；代入利用诱导公式可判断D.
【详解】
.
当时，，函数为增函数，故A中说法正确；
令，，得，，
显然直线是函数图像的一条对称轴，故B中说法正确；
函数的图像向右平移个单位得到函数
的图像，故C中说法错误；
，故D中说法正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题是一道三角函数的综合题，考查了二倍角公式以及三角函数的性质、图像变换，熟记公式是关键，属于基础题.
10．ABC
【解析】
【分析】
根据函数的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断．
【详解】
解:由函数的图象可得，由，求得．
再根据五点法作图可得，又，求得，
∴函数，
当时，，不是最值，故A不成立；
当时，，不等于零，故B不成立；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C不成立；
当时，，
∵，，
故方程在上有两个不相等的实数根时，则的取值范围是，故D成立．
故选:ABC.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数的部分图象求出函数解析式，属于基础题．
11．AD
【解析】
由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
12．BCD
【解析】
根据以及正弦定理得到，从而求出，进一步得到，等边三角形，根据题目条件可以得到为的中点和为的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.
【详解】
由得，
，正弦定理，，，，
同理：，所以，等边三角形.
，为的中点，，为的三等分点.
如图建立坐标系，，，，，解得，
为的中点，所以，正确，故B正确；
，，故A错误；
，故C正确；
，，投影，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
如何求向量在向量上的投影，用向量的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式进行求解.
13．
【解析】
【分析】
由三角函数的基本关系式，化简求得，再结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】
由，
所以，即，所以，
又因为，所以，
又由.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的基本关系式与正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
14．
【解析】
【分析】
可设，， ，转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题.
【详解】
设，， ，
则
由令，则
，
函数开口向上，对称轴为
故当，或，时，
；
当，或，时，
，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.
15．
【解析】
【分析】
利用向量垂直，得出数量积为0，求出的值，即可求的值．
【详解】
解：因为，所以
即：
所以，即，，
故答案为：.
【点睛】
本题考查两个平面向量的垂直关系的数量积公式，还利用辅助角公式化简和特殊角的三角函数值，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
16．
【解析】
根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解.
【详解】
因为，
又，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档题.
17．3
【解析】
利用勾股定理判断出，求得斜边上的高，由此求得的取值范围，根据的夹角的取值范围，以及向量数量积运算公式，求得的最大值.
【详解】
,
.
如图，作，垂足为D.
由,得.
由题意知,
且.
又.
∴当点M,N均与点B重合时，最大
故.
【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积的最大值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据，，求得，再利用两角和的余弦公式求解..
（2）由（1）求得，再由，求得，然后由，利用两角差的正弦公式求解.
【详解】
（1）因为，，
所以，
所以，
.
（2）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
.
【点睛】
方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
19．
【解析】
首先根据向量的数量积的定义，求出，由向量与的夹角，则，且两向量不共线.即可得到不等式，解得.
【详解】
解：因为，，与的夹角为，
所以.
因为向量与的夹角为钝角，所以，且两向量不共线.
又，
所以，
解得或.
又当时，得解得，
当时与的夹角为，当时与的夹角为，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查向量的数量积的运算，利用向量的数量积解决夹角问题，以及向量共线问题，属于中档题.
20．；；
【解析】
设底角为，则顶角为.利用同角三角函数的基本关系式求得的值，利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，求得顶角的正弦、余弦和正切.
【详解】
设等腰三角形的一个底角为，则顶角为.
由题意得如，由底角必为锐角，得，
.
.
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式和二倍角公式，属于基础题.
21．
【解析】
先求得的值，由此化简的表达式，结合向量夹角余弦值的取值范围，求得的最小值.
【详解】
由题意知，
.
.
.
故当，即时，取得最小值.
【点睛】
本小题主要考查平面向量数量积运算，考查向量模的运算，考查平面向量夹角的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
22．（1）；（2）．
【解析】
【详解】
分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式即可；
（2）再次运用两角和差的余弦公式即可.
详解：（1）∵ ∴
∵ ∴
∴
（2）∵ ∴ ∵ ∴
∴
点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用.
答案第1页，共2页
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