高中数学人教B版（2019）必修第四册解三角形（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教B版（2019）必修第四册解三角形（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1004.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-28 22:04:00 | ||
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文档简介
解三角形
一、单选题
1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角的对边分别是，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．无解
3．在中，已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．在中，角A B C所对的边分别为a b c，若，则最大角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角的对边分别为，已知，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．6
7．已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
8．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角 B． C． D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则是钝角三角形．
B．若，，三点满足，则，，三点共线
C．在中，若，则一定可以推出．
D．在中，若，则一定是等腰三角形．
11．已知a，b，c分别为的三个内角A， B，C的对边，a=2， 且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则以下四个命题中正确命题有（ ）
A．A=60°
B．三角形△ABC面积的最小值为
C．三角形△ABC周长的最小值为6
D．三角形△ABC面积的最大值为
12．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则一定为直角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，则一定是等边三角形
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
14．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.
15．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为_____.
16．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.
四、解答题
17．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)在中，，，且锐角B满足，求b的值．
18．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角B的值；
(2)若，点D是边BC的中点，且，求b.
19．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求A；
(2)若与的角平分线交于点D，求周长的取值范围．
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐角，，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：
(1)角A；
(2)的内切圆半径r.
①；②.
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
22．已知的内角A，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
诱导公式化简后用正弦定理得到，利用正切值求出正弦与余弦值，根据余弦定理求出，利用面积公式求出答案.
【详解】
由题意得，，由正弦定理得，.
∵，，联立两式，解得，.由余弦定理得，，即，解得：，
∴.
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
在三角形中由正弦定理，即可求出答案.
【详解】
由正弦定理得.
或.，（舍）.
故.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理即可求得.
【详解】
在中，已知，即为，
由余弦定理得：,解得：（边长大于0，所以舍去）
即.
故选：C
4．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】
由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
先由正弦定理得到，进而确定最大角为C，利用余弦定理求出.
【详解】
由正弦定理得：，可知：，设，则最大角为C，，
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
根据，，的面积为，求得a，再利用余弦定理求解.
【详解】
因为，，的面积为，
所以，
解得，
由余弦定理得，
，
所以，
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理及可得，余弦定理及可得，即可得为等边三角形.
【详解】
中，∵且，∴，
将，代入余弦定理可得，化简可得，即，
又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
解法一：根据得到，再根据，利用余弦定理得到 ，利用余弦定理求解；解法二：根据得到，再由，得到，利用正弦定理求解.
【详解】
解法一：由正弦定理及得，，．
又∵，由余弦定理得：，即，
由余弦定理得，
又∵，
∴．
故选：C．
解法二：由正弦定理及得，，．
又∵，∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，
∴．
故选：C．
9．BC
【解析】
【分析】
选项A，转化，结合题干条件，可得，故可判断；
选项B，，可得，可判断；
选项C，转化，代入，可判断；
选项D，，结合均值不等式和，可判断
【详解】
为锐角，故选项A不正确；
又，化简得，故选项B正确；
将代入得：
故选项C正确；
当且仅当时等号成立
，故选项D不正确
故选：BC
【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
10．ABC
【解析】
【分析】
对于A，，从而判断A为钝角，是钝角三角形；
对于B，由条件得到，从而，，三点共线；
对于C，在中，，且，若，分别讨论取不同范围角时，根据正弦函数单调性判断是否满足条件即可；
对于D，利用正弦定理化简条件得到，从而有或，判断三角形形状即可.
【详解】
对于A，在中，，又，
则，A为钝角，是钝角三角形，故A正确；
对于B，由知，，
即，则，，三点共线，故B正确；
对于C，在中，，且，
若，
①当时，根据正弦函数单调性知，；
②当，时，，且，
根据正弦函数单调性知，符合条件；
③当，时，，且，
根据正弦函数单调性知，，不符合条件，故舍去；
综上，，故C正确；
对于D，若，由正弦定理知，
，化简得
即，在中，，
则或，即或，
则是等腰三角形或直角三角形，故D错误；
故选：ABC
11．AD
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得由此求得.利用基本不等式求得，由此求得三角形面积的最大值.结合图象判断BC选项的正确性，
【详解】
由a=2且（2 + b）（sinA-sin B）=（c-b）sinC，
即（a + b）（sin A-sin B）=（c-b）sinC，由及正弦定理得∶ （a+b）（a-b）=（c- b）c
∴， 故，∴∠A=60°，A选项正确.
由于，所以，即，当且仅当时等号成立.∴.D选项正确.
对于B选项，当时，设三角形外接圆的直径为，则.
画出三角形的图象如下图所示，当在上方运动时，和为定值，边上的高接近，所以B错误.
对于D选项，由上图可知，当接近或接近时，三角形的周长接近（但不等于），所以C选项错误.
故选：AD
12．BCD
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状判定的应用判断选项即可.
【详解】
A：由，得或，得或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
B：由得，
整理得，有，
又，所以，故，得，
所以一定是直角三角形，故B正确；
C：由于，整理得，
有，又，
所以，所以，
所以是锐角三角形，故C正确；
D：，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，
当且仅当时关系式成立，所以一定是等边三角形，故D正确.
故选：BCD
13．
【解析】
【分析】
在△ABD中，由正弦定理求得∠ADB，再根据三角形内角和求得∠BAD，即可求得∠BAC，∠C，在△ABC中，再由正弦定理即可得出答案.
【详解】
如图，在△ABD中，由正弦定理，
得＝，∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°，
∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，
∴BC＝AB＝，
在△ABC中，由正弦定理，
得＝，∴AC＝.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由图中所示，可求出，，利用正弦定理求出，在直角△CMD中求解即可.
【详解】
在△ABM中，，则（m），
在△ACM中，因为，，
所以.
因为，
所以（m），
故（m）.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
由面积公式求得，结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.
【详解】
，从而，由正弦定理得：，解得：
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
先利用勾股定理分别求得，进而利用余弦定理求得结果
【详解】
如图，作∥交于，交于，则
,
,
，
在中，由余弦定理得
,
故答案为：
17．(1)；
(2)1
【解析】
【分析】
（1）先把化简为，即可求出值域；
（2）先求出角B，利用余弦定理即可求出b.
(1)
.
当时，，所以，所以，
即函数的值域为.
(2)
因为锐角B满足，所以，解得：
在中，，，，
由余弦定理得：.
即边长.
18．(1)
(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换即可求出；
（2）分别在和△中使用余弦定理即可求解.
(1)
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，∴，
又∵，∴.
(2)
在中，，，，
由余弦定理得，
整理得，解得（舍去）
在△中，由余弦定理得，
即，解得.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理可求出角A;
（2）设则，利用正弦定理表示出的周长，利用三角函数求出范围.
(1)
由正弦定理可得：；
整理得：，由余弦定理可得：，
因为，所以；
(2)
由题意可得：，则的外接圆直径，
设则，
则的周长，
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选条件①，由正弦定理边化角，结合诱导公式可得；若选条件②，切化弦结合正弦定理边化角，然后可解；
（2）向量数量积结合余弦定理可得b+c，再由可解.
(1)
若选条件①.
由正弦定理得，，
因为,所以，所以
，
又，所以，所以，
所以
所以.
若选条件②.
由，
得，
，
，
，
.
(2)
由，得.
在中，由余弦定理得，，
，，
.
又，
.
21．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.
(2)由(1)及正弦定理用角B表示出边 b，c，再借助三角函数性质求解作答.
(1)
在△ABC中，由正弦定理及得：，即，
由余弦定理得：，又，
所以.
(2)
在△ABC中，由(1)及正弦定理得：，则，，
因此，，
而，即，则有，，
所以取值范围是.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化角为边，得到，进而求出；（2）利用三角形面积公式得到，由面积公式得到，进而利用余弦定理求出.
(1)
由正弦定理及，得，
所以．因为，所以．
(2)
因为，
所以，即．又，所以．
易知方程组有解且，均大于0，
由余弦定理得：，所以．
答案第1页，共2页
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一、单选题
1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角的对边分别是，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．无解
3．在中，已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
4．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．在中，角A B C所对的边分别为a b c，若，则最大角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角的对边分别为，已知，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．6
7．已知中，三内角满足，三边满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
8．中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）．A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．为钝角 B． C． D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则是钝角三角形．
B．若，，三点满足，则，，三点共线
C．在中，若，则一定可以推出．
D．在中，若，则一定是等腰三角形．
11．已知a，b，c分别为的三个内角A， B，C的对边，a=2， 且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则以下四个命题中正确命题有（ ）
A．A=60°
B．三角形△ABC面积的最小值为
C．三角形△ABC周长的最小值为6
D．三角形△ABC面积的最大值为
12．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，则一定为直角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若，则一定是等边三角形
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
14．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.
15．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为_____.
16．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.
四、解答题
17．已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)在中，，，且锐角B满足，求b的值．
18．在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角B的值；
(2)若，点D是边BC的中点，且，求b.
19．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求A；
(2)若与的角平分线交于点D，求周长的取值范围．
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐角，，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：
(1)角A；
(2)的内切圆半径r.
①；②.
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的取值范围.
22．已知的内角A，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的面积为，角的平分线交于，且，求．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
诱导公式化简后用正弦定理得到，利用正切值求出正弦与余弦值，根据余弦定理求出，利用面积公式求出答案.
【详解】
由题意得，，由正弦定理得，.
∵，，联立两式，解得，.由余弦定理得，，即，解得：，
∴.
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
在三角形中由正弦定理，即可求出答案.
【详解】
由正弦定理得.
或.，（舍）.
故.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理即可求得.
【详解】
在中，已知，即为，
由余弦定理得：,解得：（边长大于0，所以舍去）
即.
故选：C
4．C
【解析】
【分析】
利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】
由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
5．B
【解析】
【分析】
先由正弦定理得到，进而确定最大角为C，利用余弦定理求出.
【详解】
由正弦定理得：，可知：，设，则最大角为C，，
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
根据，，的面积为，求得a，再利用余弦定理求解.
【详解】
因为，，的面积为，
所以，
解得，
由余弦定理得，
，
所以，
故选：B
7．C
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理及可得，余弦定理及可得，即可得为等边三角形.
【详解】
中，∵且，∴，
将，代入余弦定理可得，化简可得，即，
又∵，由等边三角形判定定理可知为等边三角形.
故选：C.
8．C
【解析】
【分析】
解法一：根据得到，再根据，利用余弦定理得到 ，利用余弦定理求解；解法二：根据得到，再由，得到，利用正弦定理求解.
【详解】
解法一：由正弦定理及得，，．
又∵，由余弦定理得：，即，
由余弦定理得，
又∵，
∴．
故选：C．
解法二：由正弦定理及得，，．
又∵，∴，
由正弦定理得，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，
∴．
故选：C．
9．BC
【解析】
【分析】
选项A，转化，结合题干条件，可得，故可判断；
选项B，，可得，可判断；
选项C，转化，代入，可判断；
选项D，，结合均值不等式和，可判断
【详解】
为锐角，故选项A不正确；
又，化简得，故选项B正确；
将代入得：
故选项C正确；
当且仅当时等号成立
，故选项D不正确
故选：BC
【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
10．ABC
【解析】
【分析】
对于A，，从而判断A为钝角，是钝角三角形；
对于B，由条件得到，从而，，三点共线；
对于C，在中，，且，若，分别讨论取不同范围角时，根据正弦函数单调性判断是否满足条件即可；
对于D，利用正弦定理化简条件得到，从而有或，判断三角形形状即可.
【详解】
对于A，在中，，又，
则，A为钝角，是钝角三角形，故A正确；
对于B，由知，，
即，则，，三点共线，故B正确；
对于C，在中，，且，
若，
①当时，根据正弦函数单调性知，；
②当，时，，且，
根据正弦函数单调性知，符合条件；
③当，时，，且，
根据正弦函数单调性知，，不符合条件，故舍去；
综上，，故C正确；
对于D，若，由正弦定理知，
，化简得
即，在中，，
则或，即或，
则是等腰三角形或直角三角形，故D错误；
故选：ABC
11．AD
【解析】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得由此求得.利用基本不等式求得，由此求得三角形面积的最大值.结合图象判断BC选项的正确性，
【详解】
由a=2且（2 + b）（sinA-sin B）=（c-b）sinC，
即（a + b）（sin A-sin B）=（c-b）sinC，由及正弦定理得∶ （a+b）（a-b）=（c- b）c
∴， 故，∴∠A=60°，A选项正确.
由于，所以，即，当且仅当时等号成立.∴.D选项正确.
对于B选项，当时，设三角形外接圆的直径为，则.
画出三角形的图象如下图所示，当在上方运动时，和为定值，边上的高接近，所以B错误.
对于D选项，由上图可知，当接近或接近时，三角形的周长接近（但不等于），所以C选项错误.
故选：AD
12．BCD
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状判定的应用判断选项即可.
【详解】
A：由，得或，得或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
B：由得，
整理得，有，
又，所以，故，得，
所以一定是直角三角形，故B正确；
C：由于，整理得，
有，又，
所以，所以，
所以是锐角三角形，故C正确；
D：，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，
当且仅当时关系式成立，所以一定是等边三角形，故D正确.
故选：BCD
13．
【解析】
【分析】
在△ABD中，由正弦定理求得∠ADB，再根据三角形内角和求得∠BAD，即可求得∠BAC，∠C，在△ABC中，再由正弦定理即可得出答案.
【详解】
如图，在△ABD中，由正弦定理，
得＝，∴sin∠ADB＝，
∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°，
∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，
∴BC＝AB＝，
在△ABC中，由正弦定理，
得＝，∴AC＝.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
由图中所示，可求出，，利用正弦定理求出，在直角△CMD中求解即可.
【详解】
在△ABM中，，则（m），
在△ACM中，因为，，
所以.
因为，
所以（m），
故（m）.
故答案为：
15．
【解析】
【分析】
由面积公式求得，结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.
【详解】
，从而，由正弦定理得：，解得：
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
先利用勾股定理分别求得，进而利用余弦定理求得结果
【详解】
如图，作∥交于，交于，则
,
,
，
在中，由余弦定理得
,
故答案为：
17．(1)；
(2)1
【解析】
【分析】
（1）先把化简为，即可求出值域；
（2）先求出角B，利用余弦定理即可求出b.
(1)
.
当时，，所以，所以，
即函数的值域为.
(2)
因为锐角B满足，所以，解得：
在中，，，，
由余弦定理得：.
即边长.
18．(1)
(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换即可求出；
（2）分别在和△中使用余弦定理即可求解.
(1)
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，∴，
又∵，∴.
(2)
在中，，，，
由余弦定理得，
整理得，解得（舍去）
在△中，由余弦定理得，
即，解得.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理可求出角A;
（2）设则，利用正弦定理表示出的周长，利用三角函数求出范围.
(1)
由正弦定理可得：；
整理得：，由余弦定理可得：，
因为，所以；
(2)
由题意可得：，则的外接圆直径，
设则，
则的周长，
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选条件①，由正弦定理边化角，结合诱导公式可得；若选条件②，切化弦结合正弦定理边化角，然后可解；
（2）向量数量积结合余弦定理可得b+c，再由可解.
(1)
若选条件①.
由正弦定理得，，
因为,所以，所以
，
又，所以，所以，
所以
所以.
若选条件②.
由，
得，
，
，
，
.
(2)
由，得.
在中，由余弦定理得，，
，，
.
又，
.
21．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.
(2)由(1)及正弦定理用角B表示出边 b，c，再借助三角函数性质求解作答.
(1)
在△ABC中，由正弦定理及得：，即，
由余弦定理得：，又，
所以.
(2)
在△ABC中，由(1)及正弦定理得：，则，，
因此，，
而，即，则有，，
所以取值范围是.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化角为边，得到，进而求出；（2）利用三角形面积公式得到，由面积公式得到，进而利用余弦定理求出.
(1)
由正弦定理及，得，
所以．因为，所以．
(2)
因为，
所以，即．又，所以．
易知方程组有解且，均大于0，
由余弦定理得：，所以．
答案第1页，共2页
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