数学新教材高一下人教A版（2019）必修 第二册6.3.1　平面向量基本定理（课件 共21张PPT）

(共21张PPT)
第六章
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
理解平面向量基本定理及其意义.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
课标要求
素养要求
通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用，重点提升数学抽象及直观想象素养.
课前预习
知识探究
1
平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个____________
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________
基底 若e1，e2________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
不共线
1.思考辨析，判断正误
×
(1)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( )
(2)零向量可以作为基底.( )
(3)若a，b不共线，则{a＋b，a－b}可以作为基底.( )
(4)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.( )
提示　(1)基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底.
(2)由于0和任意的向量共线，故不能作为基底.
×
√
√
2.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是(　　)
A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2
C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2
解析　∵3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，∴两向量共线不可作为基底.
B
B
4e1＋3e2
课堂互动
题型剖析
2
题型一　平面向量基本定理的理解
【例1】　如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，λ，μ为实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.
(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.
(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.
(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.
思维升华
B
题型二　用基底表示向量
平面向量基本定理的作用以及注意点：
(1)根据平面向量基本定理，平面内的任一向量可用同一组基底表示，进而建立起了向量之间的联系.
(2)基底的选择，一般遵循“模已知、夹角已知”的原则.
(3)利用已知向量表示未知向量时，通常借助向量加法、减法、数乘运算的几何意义，将向量集中在封闭的图形中，利用三角形法则或者平行四边形法则快速找到表示法.
思维升华
【例3】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
题型三　平面向量基本定理的综合应用
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
基底建模法是利用向量解决几何图形有关证明和求解问题的重要方法，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.
思维升华
1.对基底的理解
(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.
2.准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向，分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.
(2)利用基向量进行运算时，要借助几何直观，灵活运用几何性质.
课堂小结