数学新教材高一下人教A版（2019）必修 第二册6.4.3　余弦定理、正弦定理第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
第六章
第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例
1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题.
2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法.
课标要求
素养要求
通过分析问题，利用余弦、正弦定理解决实际问题，体会数学建模及数学运算素养.
课前预习
知识探究
1
1.基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做______.
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线______，测量的精确度越高.
基线
越长
2.测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线______时叫仰角，目标视线在水平视线______时叫俯角，如图所示.
上方
下方
(2)方位角
指从__________顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
正北方向
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示).
点睛
(1)方向角属于水平面内的角；(2)仰角与俯角是铅垂面内的角.　　　
3.解三角形应用题基本思路
1.思考辨析，判断正误
(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同.( )
(2)北偏东45°的方向就是东北方向.( )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(4)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.( )
提示　(3)画出示意图如图，由图可知α＝β.
√
√
×
√
2.某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的(　　)
A.北偏西35° B.北偏东55°
C.南偏西35° D.南偏西55°
D
解析　如图所示.
3.小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)
A.α＋β B.α－β
C.β－α D.α
解析　如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项.
C
A
课堂互动
题型剖析
2
题型一　距离问题
解　在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－(45°＋30°)＝60°，
在△ACB中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，
求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是：
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形.
(2)把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解.
思维升华
解　如图所示，连接A1B2 .
∠B2A2A1＝60°，
△A1A2B2是等边三角形，
∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.
在△A1B2B1中，由余弦定理得
题型二　高度问题
解　如图，过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
答：此山的高度约为811 m.
求解底部不可到达的物体的高度问题，一般是把问题转化为解直角三角形的边长问题，基本方法是：
(1)分清仰角和俯角，根据已知和所求，正确作出图形；
(2)理清边角关系，利用正、余弦定理解直角三角形.
思维升华
【训练2】　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________.
150 m
题型三　角度问题
解　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20(海里)，
AC＝20(海里).
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理的推论得
所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，
60°＋30°＋90°＝180°，所以点D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.
求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是：
(1)明确各个角的含义；
(2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；
(3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.
思维升华
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
1.应用举例中常见的几种题型：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题.
求解数学应用问题，要注意两点：(1)要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等.
(2)依据题意，画出示意图，将问题归结到一个或几个三角形中.
2.求解距离、高度、角度问题的常见策略
(1)转化：实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.
(2)选择合适定理：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(3)列方程：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解.有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课堂小结