(共13张PPT)
用计算器求锐角的三角函数值
2.3
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
D
D
1
2
3
4
5
A
D
6
7
A
答 案 呈 现
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【2021·威海】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18′，按键顺序正确的是( )
D
1
D
2
【2021·东营】如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是( )
D
3
【2020·淄博】已知sin A＝0.981 6，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)，按下的第一个键是( )
A
4
【教材P39习题T2变式】已知α为锐角，且tan α＝3.387，则下列各值中与α最接近的是( )
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
5
A．30°<α<60° B．30°<α<90°
C．0°<α<60° D．60°<α<90°
A
6
如图，已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合，且点P到BA，BC的距离分别为PE，PF)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α>β，请比较PE，PF的大小．
7
(1)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
(2)利用上述结论计算：sin2 1°＋sin2 2°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝________．(共18张PPT)
解直角三角形
目标一 已知边、角解直角三角形
2.4
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
C
A
1
2
3
4
5
B
D
6
7
8
A
答 案 呈 现
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C
1
A
2
【点拨】
D
3
B
4
5
【2021·玉林】如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有( )
A．h1＝h2
B．h1＜h2
C．h1＞h2
D．以上都有可能
A
6
在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tan A，cos A的值．
【点拨】
本题中已指出∠B＝90°，所以AC为斜边，而受习惯的影响，常误以为∠C的对边AB是斜边．因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
7
8
如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
【点拨】
过平面直角坐标系中的一点向x轴或向y轴作垂线段是求点的坐标及三角形面积的主要方法，在直角三角形中运用三角函数的知识求出相关线段的长是解题的关键．(共15张PPT)
正弦与余弦
目标一 正 弦
2.1.2
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
C
1
2
3
4
5
D
D
6
7
8
答 案 呈 现
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如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
C
1
2
【2021·济南期末】在△ABC中，∠A＝90°，若
AB＝8，AC＝6，则sin C的值为________．
D
3
D
4
【2021·桂林】如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
5
【2021·常州】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D，E分别在CA，CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin ∠FBA＝________.
【点拨】
如图，连接AF，过点F作FG⊥AB于点G.
∵四边形CDFE是边长为1的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，
∠C＝∠CDF＝∠CEF＝90°.
∴∠ADF＝∠FEB＝90°.
∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，
6
如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ∠ACB的值为__________．
【点拨】
根据网格构造直角三角形，再利用正弦的定义求解即可．本题易因不能正确构造直角三角形而出错．
7
(2)若AB＝3，求AD的长．
8
如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18 m，中柱AD高6 m，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sin B的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架EF的长．(共14张PPT)
锐角三角函数
正 切
2.1.1
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
D
D
1
2
3
4
5
D
D
6
7
答 案 呈 现
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在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，则tan B的值为( )
D
1
D
2
在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是( )
D
3
【2021·青岛期末】如图，铁路路基横断面为一个四边形，AD∥BC.若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，上底宽是3 m，路基高是4 m，则路基的下底宽是( )
A．7 m B．9 m
C．12 m D．15 m
D
4
【2021·恩施州】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是( )
5
在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tan B＝________.
【点拨】
本题易因忽略求tan B的前提是将∠B放在一个直角三角形中而出错．
6
(2)tan∠MBO的值为______．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC平分∠BAD.
又∵BE＝DF，∴AE＝AF.
∴AC⊥EF.
7
如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.
(1)求证：AC⊥EF；
【点拨】(共15张PPT)
30°，45°，60°角的三角函数值
2.2
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
A
C
1
2
3
4
5
D
6
7
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A
1
C
2
【2021·深圳】计算|1－tan 60°|的值为( )
3
D
4
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
5
【点拨】
6
7
【2021·株洲】某限高曲臂道路闸口如图所示．AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α(0°≤α≤90°)，EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【点拨】
C
【答案】
E
F
81,
7777777777777777777777777777777(共17张PPT)
三角函数的应用
目标二 利用解直角三角形解方位角中的应用问题
2.5
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
10.4
1
2
3
4
5
答 案 呈 现
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【2021·南通】如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东45°方向上的B处，此时轮船与灯塔P的距离为________海里(结果保留根号)．
1
10.4
2
3
【点拨】
4
(2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向，且与观测点B相距30海里的点D处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/时，求救援船到达点C需要的最少时间．
5
(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
北
B
东
A
北
A
B
→东
C
C
北
A
B
C
北
60
东
D
60
E
东
B
D
北
小岛
P
145
海监船
东
B!(共33张PPT)
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
练素养
求锐角三角函数值的七种常用方法
集训课堂
B
1
2
4
5
6
7
8
10
A
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9
B
3
【2021·广东】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使
CE＝AB.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
1
解：如图．∵点D在线段BC的垂直平分线上，
∴BD＝CD.
∴△ABD的周长＝
AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝
AB＋AC.
∵AB＝CE，∴△ABD的周长＝AC＋CE＝AE＝1.
【点拨】
求非特殊角的三角函数值，一般都是在直角三角形中利用三角函数的定义求解．
2
【点拨】
【答案】
B
3
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值是________．
4
(1)已知∠A是锐角，求证：sin2A＋cos2A＝1；
5
【点拨】
当出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示三角形三边长，再用定义求解．
6
【点拨】
【答案】
A
7
如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD于点E.
(1)求证：∠BAM＝∠AEF；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°.
∴∠EAF＋∠BAM＝90°.
∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.
∴∠EAF＋∠AEF＝90°.
∴∠BAM＝∠AEF.
8
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在AB边上的点F处，求tan ∠AFE的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°.
根据图形得∠AFE＋∠EFC＋∠BFC＝180°.
根据折叠的性质，知∠EFC＝∠D＝90°，
∴∠AFE＋∠BFC＝90°.
∵在Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF.
B
9
10
问题呈现
如图①，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN与EC相交于点P，求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现，问题中∠CPN不在直角三角形中，
2
我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
(1)图①中tan ∠CPN的值为________________；
(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos ∠CPN的值．
思维拓展
(3)如图③，AB⊥BC，AB＝4BC，点M在AB上，且
AM＝BC，延长CB到N，使BN＝2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数． (共14张PPT)
正弦与余弦
目标二 余 弦
2.1.2
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
C
B
1
2
3
4
5
D
C
6
7
8
D
答 案 呈 现
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C
1
B
2
C
3
D
4
【2021·青岛期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是( )
5
D
6
已知x＝cosα(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cos α的值．
【点拨】
7
(2)求cos ∠BAO的值．
8
(2)设边BC的垂直平分线与边AB，BC的交点分别为D，F，求DF的长．
A
3
4
C
■
B
A
B
C
C
D
A
B
B
C
A
A
D
1
B
F
E
C(共11张PPT)
利用三角函数测高
2.6
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
1
2
3
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1
2
3
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
∴x＝2(负值舍去)．
∴DH＝2米，CH＝6米．
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米．
(2)求大树AB的高度(结果保留根号)．
解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，设BC＝a米．
∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，
∴四边形DHBG为矩形．
∴BG＝DH＝2米，DG＝BH＝(a＋6)米．
∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC＝a米．
∴AG＝AB－BG＝(a－2)米．
A
D
C
B
53
公
综合楼
楼
77777
'D30
F230°
45°
E
CB
A
F
30
G
h
45
E H
B(共17张PPT)
三角函数的应用
目标一 利用解直角三角形解视角中的应用问题
2.5
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
A
20
1
2
3
4
5
A
6
答 案 呈 现
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【教材P55复习题T9变式】【2020·长沙】从一艘船上测得海岸上高为42 m的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是( )
A
1
20
2
【2021·天门】如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10 s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是______m
【点拨】
A
3
如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( )
【点拨】
4
【2021·广西北部湾经济区】如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为____________米(结果保留根号)．
5
【2021·济南期末】如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测杆顶端P的仰角是45°，向前走6 m到达点B，观测杆顶端P和杆底端Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ的高度．
6
【2021·本溪】如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅的问题，计划打通一条东西方向的隧道AB.无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8 m/s的速度飞行15 s到达点D，测得点A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E，测得点B的俯角为37°.
(1)求无人机飞行的高度AC(结果保留根号)；(共16张PPT)
目标三 利用解直角三角形解坡角中的应用问题
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
三角函数的应用
2.5
D
1
2
3
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5
6
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D
1
2
【2021·无锡】一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为________米．
3
【教材P49随堂练习T2变式】【2020·自贡】如图，我市在建高铁的某段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC长6 m，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为________ m(结果保留根号)．
4
5
(1)求D处的竖直高度；
即(5k)2＋(12k)2＝132，
解得k＝1(负值舍去)．
∴DM＝5米，CM＝12米．
答：D处的竖直高度为5米．
(2)求基站塔AB的高．
6
【2020·益阳】沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH＝12 m，斜坡CD的坡度i＝1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P，D，H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP＝26°.
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18 m，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？(参考数据：sin 26°≈0.44，tan 26°≈0.49，sin 71°≈0.95，tan 71°≈2.90)(共34张PPT)
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
全章热门考点整合应用
D
1
2
3
4
5
6
7
8
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如图，根据提供的数据回答下列问题：
(1)在图①中，sin A＝______，cos A＝______，
sin 2A＋cos2A＝________；
在图②中，sin A1＝______，cos A1＝______，
sin2A1＋cos2A1＝______．
1
1
1
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式表示出你的发现并加以证明．
(2)利用你发现的规律求解以下题目：
已知β是锐角，且满足sin β＝3cos β，求sin β，cos β的值．
D
2
【点拨】
如图，设DE交AC于点T，过点E作EH⊥CD于点H.
∵在Rt△ABC中，点D是边BC的中点，
∴AD＝DB＝DC.∴∠B＝∠DAB.
∵∠B＝∠ADE，∴∠DAB＝∠ADE.
∴AB∥DE. ∴∠DTC＝∠BAC＝90°.
∵DT∥AB，BD＝DC，∴AT＝TC.
3
计算下列各式的值.
(1)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45°；
(2)cos230°·sin 45°＋sin230°·cos 45°；
4
【2021·济宁期末】如图，在Rt△AOB中，已知AO＝6 cm，BO＝8 cm.点P从点B开始沿BA边向终点A以
1 cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1 cm/s的速度移动．若P，Q同时出发，运动时间为t s.
(1)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为8 cm2
5
14
6
【2021·连云港】我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地，小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB如图①摆放，已知AB＝4.8 m，鱼竿尾端A离岸边0.4 m，即AD＝0.4 m，海面与地面AD平行且相距1.2 m，即DH＝1.2 m.
(1)如图①，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°，求点O到岸边DH的距离；
7
通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(记作can)．
8
解：方法一：如图①，过点B作BE∥AD交DC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，易得BE⊥BA，EF⊥AD.∴四边形ABEF是矩形．
∴EF＝AB，AF＝BE.
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝120°－90°＝30°，
∠D＝360°－90°－90°－120°＝60°.
【点拨】
求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，本题利用分割法将不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形，或者利用补形法把不规则四边形转化为直角三角形求解．(共38张PPT)
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
测素质
解直角三角形及其应用
集训课堂
C
A
1
2
3
4
5
D
D
6
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10
A
B
B
11
12
答 案 呈 现
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习题链接
9
C
2
60
438
64cm
13
14
15
16
答 案 呈 现
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17
18
一、选择题(每题4分，共32分)
C
1
A
2
D
3
如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为( )
D
4
【2021·十堰】如图，小明利用一个锐角是30°的三角尺测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m，AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离)，那么旗杆的高度是( )
5
B
B
6
C
7
A．1 m B．1.5 m
C．2 m D．2.5 m
A
8
【2021·济南模拟】如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a m，
FG＝b m，∠AEF＝30°，则AD等于( )
【点拨】
9
二、填空题(每题4分，共24分)
60
10
2
11
【点拨】
438
12
【2021·赤峰】某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度约为__________米(结果保留整数，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．
13
【2021·东营期末】如图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图．当闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼的边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________．
64cm
14
【2021·济南期末】如图，已知CD是△ABC的高，
BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为________．
【点拨】
15
(10分)根据下列条件解直角三角形．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝5，c＝10；
三、解答题(共44分)
16
(10分)【2021·淄博期末】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.
(1)若∠B＝25°，求∠CAE的度数；
解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝25°.
∵∠CAB＝90°－∠B＝65°，
∴∠CAE＝65°－25°＝40°.
17
(12分)【2020·遵义】某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高2.2 m．为了解自己的有效测温区间，身高1.6 m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.
求小聪的有效测温区间MN的长度(额头到地面的距离以身高计算，结果精确到0.1 m，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)．
解：如图，延长BC交AD于点E.
由题意得，四边形DEBN、四边形MCBN都为矩形，
∴BE＝DN，DE＝NB＝MC＝1.6 m，
BC＝MN，∠AEB＝90°.
∵AD＝2.2 m，
∴AE＝AD－DE＝2.2－1.6＝0.6(m)．
18
(12分)【2021·绍兴】拓展小组研制的智能操作机器人，如图①，水平操作台为l，底座AB固定，AB高为50 cm，连杆BC长度为70 cm，手臂CD长度为60 cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
(1)转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图②，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(结果精确到1 cm，参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6)．
解：如图，过点C作CP⊥AE于点P，
过点B作BQ⊥CP于点Q.
由题意可得四边形ABQP，四边形PCDE均为矩形．
∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°.
在Rt△BCQ中，CQ＝BC·sin 53°≈70×0.8＝56(cm)．
∵CD∥l，
∴DE＝CP＝CQ＋PQ＝CQ＋AB≈56＋50＝106(cm)．
(2)物品在操作台l上，距离底座A端110 cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．(共14张PPT)
目标三 直角三角形的边角关系
在实际中的应用
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
解直角三角形
2.4
A
6.3
1
2
3
4
5
答 案 呈 现
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A
1
6.3
2
【2021·荆州】如图是一台手机支架的侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC＝8 cm，AB＝16 cm.当AB，BC转动到∠BAE＝60°，
∠ABC＝50°时，点C到AE的距离约为______cm.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 70°≈0.94，3≈1.73)
【点拨】
3
4
【2021·江西】如图是测温员用“额温枪”对小红测温时的侧面示意图，其中枪柄BC与前臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得上臂MN＝28 cm，MB＝42 cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3 cm(即MP的长度)，枪身BA＝8.5 cm.
(1)求∠ABC的度数；
∵AB∥MP，∴∠BMH＋∠ABC＝180°.
∴∠ABC≈180°－66.4°＝113.6°.
(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5 cm.在图中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间的距离为50 cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 66.4°≈0.92，cos 66.4°≈0.40，sin 23.6°≈0.40，2≈1.414)
5
某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度．(结果精确到1 cm.参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)(共25张PPT)
目标四 解直角三角形的六种常见类型
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
解直角三角形
2.4
1
2
3
4
5
6
7
8
10
A
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9
1
2
3
【教材P43习题T1变式】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．
4
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
5
如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是( )
A
6
7
(2)求tan ∠FBD的值．
8
【2021·济南期末】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC的长为6，求△ABC的面积．
9
【点拨】
题目中所给的角有直角和30°角，45°角，因此我们可以通过构造直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形ABCD的面积．
10
【2021·潍坊模拟】关于x的方程2x2－5xsin A＋2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
(1)求sin A的值；
(2)若关于y的方程y2－10y＋k2－4k＋29＝0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
解：∵方程y2－10y＋k2－4k＋29＝0有两个实数根，∴Δ≥0，∴100－4(k2－4k＋29)≥0，
整理得(k－2)2≤0，又∵(k－2)2≥0，∴k＝2，
把k＝2代入方程，得y2－10y＋25＝0，解得y1＝y2＝5，(共22张PPT)
解直角三角形
目标二 已知边及锐角的三角
函数值解三角形
2.4
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
B
B
1
2
3
4
5
10
6
7
8
B
B
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9
10或6
B
1
B
2
10
3
4
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，
AB＝10，D是AC的中点，则BD＝________．
【点拨】
5
B
【点拨】
B
6
【点拨】
10或6
7
【点拨】
8
(2)sin ∠ADC的值．
【点拨】
∠B和∠C均不在直角三角形中，通过作出BC边上的高来构造直角三角形，使问题容易解决．
9
A
B
D
C
D
A
B
C
B
A
D
D
B
A
C
M
D
B
A
C
A
B
D
C(共20张PPT)
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
练素养
构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型
集训课堂
C
1
2
3
4
5
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1
2
【点拨】
C
【答案】
3
【2021·临沂】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3 m，CO＝5 m，DO＝3 m，∠AOD＝70°，汽车从A处至少前行多少米才能发现C处的儿童？(结果保留整数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75；sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)
4
【2021·白银】如图①是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图②，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上)．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58 m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°.
问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数)．
参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
5
【2021·枣庄】2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000 m，仰角为30°.3 s后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.(共33张PPT)
鲁教版 九年级上
第二章 直角三角形的边角关系
测素质
锐角三角函数的计算
集训课堂
B
A
1
2
3
4
5
C
C
6
7
8
10
B
D
B
11
12
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9
A
326
37°
13
14
15
16
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17
18
【2021·玉林】sin 45°的值是( )
B
1
一、选择题(每题4分，共32分)
A
2
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为( )
C
3
C
4
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，则cos α的值是( )
5
【2021·淄博高青县模拟】如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan ∠AOC的值为( )
D
B
6
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
A
7
【2020·凉山州】如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为( )
B
8
9
【教材P29随堂练习T1变式】【2021·湖州】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是________．
二、填空题(每题4分，共24分)
326
10
【2021·梧州】某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图)，点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度约是______米(结果精确到1米，参考数据：sin 83°≈0.99，cos 83°≈0.12，tan 83°≈8.14)．
37°
11
已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为________(结果精确到1°)．
12
【2020·菏泽】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos ∠DCB的值为________．
13
一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为____________．
14
【2020·包头】如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE.若∠ADB＝30°，则tan ∠DEC的值为________．
【点拨】
过点C作CF⊥BD于点F，设AB＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝x，∠BAD＝∠ADC＝90°.
∵∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝2x，∠ABE＝60°.
∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°－∠ABE＝90°－60°＝30°，
15
三、解答题(共44分)
16
17
解：过点C作CE⊥AB于点E.
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°.
∴∠A＝∠ADE＝∠AEC＝90°.
∴四边形ADCE是矩形．
(2)连接BD，求∠DBC的正切值．
18
(12分)【原创题】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sin α＝sin(180°－α)，cos α＝－cos(180°－α)．
(1)求sin 120°，cos 120°，sin 150°的值；
(2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
