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华师版数学九年级下册27.1.3 圆周角导学案
课题 27.1.3 圆周角 单元 第二单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1．了解圆周角的概念．2．探索并了解同弧所对的圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．3．通过探索——猜想——验证——运用，感受分类、转化、整体思想，加强推理能力和应
重点 圆周角概念和圆周角定理
难点 圆周角定理的证明
教学过程
课前预学 如图，你能找到圆心角吗？什么样的角叫做圆心角？在一次体育课上，进行足球射门练习时，王老师安排了三个射门点C、D、E，而点C、D、E与入射球门边缘点A、B在同一个圆上，小明认为在点D处射门最有利，想在点D处射门．从数学角度来说他的想法合理吗？为什么？
新知讲解 连接CA、CB、DA、DB、EA、EB∠C、∠D、∠E是圆心角吗？它们是什么角呢？【思考】什么样的角叫圆周角 圆周角定义：_____________________________________________【做一做】判断下列各图中的角，哪些是圆周角，为什么？如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB是怎样的角？【总结归纳】圆周角和直径的关系：______________________________________________________符号语言：_____________________________【例2】如图，AB是⊙O的直径，∠A=80°. 求∠ABC的大小.【思考】（1）如下图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？（2）分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数并比较一下。你能发现其中有什么规律吗？（3）分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你能发现什么？（4）由此你能猜想出什么结论？如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：(1)折痕是圆周角的一条边；(2)折痕在圆周角的内部;(3)折痕在圆周角的外部.已知:在☉O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB.求证: ∠ACB =∠AOB.【总结归纳】圆周角定理 ：_______________________________________________________________________________________________________________________【例3】试着分别求出下图中∠x的大小。【总结归纳】由圆周角定理，可以得到推论 ：___________________________________试着证明这个推论。已知：△ABC的三个顶点都在☉O上，且∠ACB=90°。求证：线段AB是☉O的直径。如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的外接圆. 这个多边形叫做圆的内接多边形.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间有什么关系？_______________________________________________________________想一想：如何证明你的猜想呢？已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.求证： ∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180 推论2： ______________________________________________________________ 几何语言：________________________________________________________
课堂练习 1．下图中，∠α为圆周角的是( )2.如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是( )A．35° B．45° C．55° D．65°3.从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )4.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过点A(16，0)，O(0，0)，B(0，12)，点D是⊙P上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是( )A．12 B．16 C．18 D．205．如图，在△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E.(1)求证：AB＝2AE；(2)若AE＝2，CE＝1，求BC的长．6.【中考·兰州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( )A．110° B．120° C．135° D．140°7.【中考·葫芦岛】如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为( )A．70° B．55° C．45° D．35°
课堂小结 本节课你学到了什么？
板书 课题：27.1.3 圆周角一、圆周角定义二、圆周角和直径的关系三、圆周角定理
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华师版九年级下册数学27.1.3 圆周角教学设计
课题 27.1.3 圆周角 单元 第2单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1．了解圆周角的概念．2．探索并了解同弧所对的圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．3．通过探索——猜想——验证——运用，感受分类、转化、整体思想，加强推理能力和应
重点 圆周角概念和圆周角定理
难点 圆周角定理的证明
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师课件出示图片，提问问题。如图，你能找到圆心角吗？问：什么样的角叫做圆心角？教师出示问题：在一次体育课上，进行足球射门练习时，王老师安排了三个射门点C、D、E，而点C、D、E与入射球门边缘点A、B在同一个圆上，小明认为在点D处射门最有利，想在点D处射门．从数学角度来说他的想法合理吗？为什么？ 学生思考回答问题。顶点在圆心的角叫做圆心角学生针对提问自由发表看法． 通过复习原有知识，为后面学习圆周角做铺垫。由生活中的实际问题引入对圆周角定理的猜想，让学生以此建立数学模型来解决生活问题，从而激发学生的学习激情，并感受到数学来源于生活，又能服务于生活．
讲授新课 连接CA、CB、DA、DB、EA、EB教师提问：∠C、∠D、∠E是圆心角吗？它们是什么角呢？【思考】什么样的角叫圆周角 教师课件出示定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。【做一做】判断下列各图中的角，哪些是圆周角，为什么？如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB是怎样的角？∵OA=OB=OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，∴∠OAC=∠OCA，∠OBC= ∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.因此，不管点C在⊙O上何处(除点A、B)， ∠ACB总等于90°.【总结归纳】圆周角和直径的关系： 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.符号语言：∵AB是直径，∴∠ACB=90°【例2】如图，AB是⊙O的直径，∠A=80°. 求∠ABC的大小.解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°）∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-80°=10°.【思考】（1）如下图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？ ∠ADB、 ∠ACB是圆周角； ∠AOB是圆心角；它们都是弧AB所对的角.（2）分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数并比较一下。你能发现其中有什么规律吗？答：弧AB所对的两个圆周角的度数相等。（3）分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你能发现什么？答：圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.（4）由此你能猜想出什么结论？答：在同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半 。如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：(1)折痕是圆周角的一条边；(2)折痕在圆周角的内部;(3)折痕在圆周角的外部.已知:在☉O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB.求证: ∠ACB =∠AOB.图（1）：证明：BC过圆心.∵OA = OC，∴∠OAC =∠ACB.∵∠AOB是△OAC的外角，∴∠AOB = ∠ACB + ∠OAC = 2∠ACB，∴∠ACB =∠AOB.图（2）：证明：圆心在∠ACB的内部.作直径CD，利用（1）的结论，有∠1=∠AOD，∠2= ∠BOD∴∠ACB=∠1+∠2=（∠AOD+∠BOD）=∠AOB图（3）：证明：圆心在∠ACB的外部.作直径CD，利用（1）的结论，有∠1=∠AOD，∠2=∠BOD∴∠ACB=∠1-∠2= （∠AOD -∠BOD）= ∠AOB【总结归纳】圆周角定理 ：☆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；☆相等的圆周角所对的弧相等。【例3】试着分别求出下图中∠x的大小。解：(1)∵同弧所对的圆周角相等，∴∠x = 60°.(2)连结BF.∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°, ∠FBC=∠E=30°，∴∠x=∠ABF+∠FBC = 50°.【总结归纳】由圆周角定理，可以得到推论 ：90° 的圆周角所对的弦是直径 。已知：△ABC的三个顶点都在☉O上，且∠ACB=90°。求证：线段AB是☉O的直径。证明：∵∠ACB=90°，∴∠AOB=180°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∵O为圆心且A、O、B三点位于同一直线上，∴AB是直径。如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的外接圆. 这个多边形叫做圆的内接多边形.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间有什么关系？∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180 想一想：如何证明你的猜想呢？已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.求证： ∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180 证明：如图，连接AC，BD由同弧所对的圆周角相等，得∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD+∠BCD=∠BAC+∠CAD+∠BCD=∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，即∠A+ ∠C=180 ，同理∠B+ ∠D=180 。推论2： 圆内接四边形的对角互补 几何语言：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+ ∠C=180 ， ∠B+ ∠D=180 学生独立自学，勾画关键词，独立思考回答.学生根据圆周角定义作出判断。独立思考回答并说理，再尝试完成推论的文字归纳与符号表示．学生在教师的引导下总结归纳。学生做练习。独立测量，接着分别在学习小组和班级交流讨论，得出猜想并尝试验证．在投影或黑板上展示学生的验证方法，要落实书写的严密性与规范性。学生总结归纳。学生根据所学知识做练习。学生思考，做出猜想，回答问题。 让学生在初步理解什么是圆周角的基础上，在针对其定义的关键词进行反例对比练习，使学生真正落实对圆周角定义的理解。培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力。通过设问，学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题的能力，符合新课程标准。在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神。 让学生先动手测量探索，进而大胆猜想圆周角定理，然后进行严密验证，最后尝试运用解决反馈题，在“探索——猜想——验证”的过程中，让学生经历数学探索的过程，培养学生做数学研究的能力，并感受感受分类、转化思想，加强其推理能力和应用意识．让学生在做中练，练中学，从而促进了课堂教学的有效开展学生分组讨论交流合作，训练学生以严谨的科学态度研究问题，解决问题，同时也培养了学生的合作精神，体现新课改中由教为中心向学为中心的转变。
课堂练习 1．下图中，∠α为圆周角的是( C )2.如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是( C )A．35° B．45° C．55° D．65°3.从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( B )4.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过点A(16，0)，O(0，0)，B(0，12)，点D是⊙P上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是( C )A．12 B．16 C．18 D．205．如图，在△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E.(1)求证：AB＝2AE；证明：连结BE. ∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°.∵∠A＝60°，∴∠ABE＝30°，∴AB＝2AE.(2)若AE＝2，CE＝1，求BC的长．解：∵AE＝2，∴AB＝2AE＝4，∴BE＝＝2 .∵CE＝1，∴BC＝＝.6.【中考·兰州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( D )A．110° B．120° C．135° D．140°7.【中考·葫芦岛】如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为( B )A．70° B．55° C．45° D．35° 学生做练习。 课堂练习由易到难，层层递进，螺旋上升，进一步巩固所学知识，达成学习目标，让不同的学生在数学上得到不同的发展，同时也有效的使用了教材。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。2.圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.3.圆周角定理 ：☆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；☆相等的圆周角所对的弧相等。 学生在教师的引导下回顾本节课所学知识。
板书 课题：27.1.3 圆周角一、圆周角定义二、圆周角和直径的关系三、圆周角定理
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27.1.3 圆周角
华师版 九年级下册
新知导入
顶点在圆心的角叫做圆心角
如图，你能找到圆心角吗？
什么样的角叫做圆心角？
新知导入
·
C
·
D
·
E
A
B
在一次体育课上，进行足球射门练习时，王老师安排了三个
射门点C、D、E，而点C、D、E与入射球门边缘点A、B在同
一个圆上，小明认为在点D处射门最有利，想在点D处射门．从数学角度来说他的想法合理吗？为什么？
新知讲解
·
C
·
D
·
E
A
B
连接CA、CB、DA、DB、EA、EB
∠C、∠D、∠E是圆心角吗？
它们是什么角呢？
圆周角
新知讲解
【思考】什么样的角叫圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。
新知讲解
【做一做】判断下列各图中的角，哪些是圆周角，为什么？
新知讲解
如图，线段AB是☉O的直径，点C是 ☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB是怎样的角？
∵OA=OB=OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，
∴∠OAC=∠OCA，∠OBC= ∠OCB.
又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
因此，不管点C在⊙O上何处(除点A、B)， ∠ACB总等于90°.
新知讲解
【总结归纳】
圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
符号语言：
∵AB是直径，∴∠ACB=90°
新知讲解
【例2】如图，AB是⊙O的直径，∠A=80°. 求∠ABC的大小.
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
新知讲解
【思考】
（1）如下图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？
∠ADB、 ∠ACB是圆周角； ∠AOB是圆心角；
它们都是弧AB所对的角.
新知讲解
【思考】
（2）分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数并比较一下。你能发现其中有什么规律吗？
弧AB所对的两个圆周角的度数相等。
新知讲解
【思考】
（3）分别量出图中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你能发现什么？
圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
新知讲解
【思考】
（4）由此你能猜想出什么结论？
在同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半 。
怎样证明这个猜想呢？
新知讲解
如图所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：(1)折痕是圆周角的一条边；(2)折痕在圆周角的内部;(3)折痕在圆周角的外部.
新知讲解
已知:在☉O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB.
求证: ∠ACB = ∠AOB.
证明：BC过圆心.
∵OA = OC，∴∠OAC =∠ACB.
∵∠AOB是△OAC的外角，
∴∠AOB = ∠ACB + ∠OAC = 2∠ACB，
∴∠ACB = ∠AOB.
新知讲解
已知:在☉O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB.
求证: ∠ACB = ∠AOB.
证明：圆心在∠ACB的内部.
作直径CD，利用（1）的结论，有
∠1= ∠AOD，∠2= ∠BOD
∴∠ACB=∠1+∠2= （∠AOD+∠BOD）
= ∠AOB
新知讲解
已知:在☉O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB.
求证: ∠ACB = ∠AOB.
证明：圆心在∠ACB的外部.
作直径CD，利用（1）的结论，有
∠1= ∠AOD，∠2= ∠BOD
∴∠ACB=∠1 - ∠2= （∠AOD - ∠BOD）
= ∠AOB
D
新知讲解
【总结归纳】
圆周角定理 ：
☆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
☆相等的圆周角所对的弧相等。
新知讲解
【例3】试着分别求出下图中∠x的大小。
解：(1)∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠x = 60°.
(2)连结BF.
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°, ∠FBC=∠E=30°，∴∠x=∠ABF+∠FBC = 50°.
新知讲解
【总结归纳】
由圆周角定理，可以得到推论 ：90° 的圆周角所对的弦是直径 。
试着证明这个推论。
新知讲解
已知：△ABC的三个顶点都在☉O上，且∠ACB=90°。
求证：线段AB是☉O的直径。
C
·
O
B
A
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠AOB=180°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
∵O为圆心且A、O、B三点位于同一直线上，
∴AB是直径。
新知讲解
如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫作这个多边形的外接圆. 这个多边形叫做圆的内接多边形.
新知讲解
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间有什么关系？
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180
想一想：如何证明你的猜想呢？
新知讲解
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
求证： ∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180
证明：如图，连接AC，BD
由同弧所对的圆周角相等，得
∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD+∠BCD=∠BAC+∠CAD+∠BCD
=∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
即∠A+ ∠C=180 ，同理∠B+ ∠D=180 。
新知讲解
推论2： 圆内接四边形的对角互补
几何语言：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180
课堂练习
1．下图中，∠α为圆周角的是( )
C
课堂练习
2.如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
C
课堂练习
3.从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是
( )
B
课堂练习
4.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过点A(16，0)，O(0，0)，
B(0，12)，点D是⊙P上一动点，则点D到弦OB的距离的最大值是
( )
A．12
B．16
C．18
D．20
C
拓展提高
5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E.
(1)求证：AB＝2AE；
证明：连结BE.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝90°.
∵∠A＝60°，∴∠ABE＝30°，
∴AB＝2AE.
拓展提高
5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于D、E.
(2)若AE＝2，CE＝1，求BC的长．
中考链接
6.【中考·兰州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( )
A．110°
B．120°
C．135°
D．140°
D
中考链接
7.【中考·葫芦岛】如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为( )
A．70°
B．55°
C．45°
D．35°
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角。
2.圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
3.圆周角定理 ：
☆在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
☆相等的圆周角所对的弧相等。
板书设计
课题：27.1.3 圆周角
教师板演区
学生展示区
一、圆周角定义
二、圆周角和直径的关系
三、圆周角定理
作业布置
课本 P45 练习题
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