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专题09 分母有理化
一、单选题
1．二次根式的化简结果为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二次根式分母有理化的方法即可得．
【详解】
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式分母有理化，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题关键．
2．如果，，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先利用分母有理化得到a=-()，从而得到a与b的关系．
【详解】
解：，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．=
【答案】D
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、3与不能合并，所以C选项错误；
D、，所以D选项正确．21·cn·jy·com
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
4．下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：A、原式＝，所以A选项的计算正确；
B、原式＝，所以B选项的计算正确；
C、，所以C选项的计算正确；
D、原式＝| 3|＝3，所以D选项的计算错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
5．已知a= ，b=，则a+b+ab的值为（ ）
A．1+2 B．1-2 C．-5 D．3
【答案】C
【分析】
先将a，b中的分母有理化，再代入求解即可．
【详解】
解：∵a=，b=，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是分母有理化以及二次根式的混合运算，正确的将a，b进行分母有理化是解此题的关键．
6．下面计算中正确的是（ ）
A． B．（2）=36 C． D．2×3=6
【答案】D
【分析】
根据二次根式的减法、乘除法逐项判断即可．
【详解】
A、与不是同类二次根式，不可合并，此项错误
B、，此项错误
C、，此项错误
D、，此项正确
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的减法、乘除法，熟记运算法则是解题关键．
7．下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】
根据有理化因式的定义判断即可.
【详解】
A. =,不符合题意;
B. =,不符合题意;
C. = ,符合题意;
D. ·=,不符合题意;
故选C.
【点睛】
本题考查有理化因式得定义,关键在于掌握定义化简判断.
8．下列各式中，与互为有理化因式的是( )
A．. B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接根据有理化因式的定义得出答案．
【详解】
∵，
∴二次根式的有理化因式是：.
故选：C.
【点睛】
本题考查分母有理化中有理化因式的判断，熟记有理化因式的定义是解题关键.
9．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：.
乙：.
关于解答过程，下列说法正确的是（ ）.
A．两人都对 B．甲错乙对 C．甲对乙错 D．两人都错
【答案】B
【分析】
分别对甲和乙的过程进行判断，注意分母有理化时要判断.
【详解】
解：甲进行分母有理化时不能确定，故不能直接进行分母的有理化，故甲错误；乙分子因式分解，再与分母约分，故乙的做法是正确的．21教育名师原创作品
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的化简，关键在于分母有理化时要确定.
10．下列运算中错误的是 ( )
A． B． C．2＋3＝5 D．＝4
【答案】C
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】
解：A、原式＝ ，所以A选项的计算正确；
B、原式＝，所以B选项的计算正确；
C、与不能合并，所以C选项的计算错误；
D、原式＝| 4|＝4，所以D选项的计算正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
11．把分母有理化后得 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】
分子分母同乘以 ，再化简即可．
【详解】
解：原式= ．
故选：A．
【点睛】
本题考查分母有理化，利用二次根式的乘法是解题关键．
12．化简，小燕、小娟的解法如下：小燕：；小娟：．对于两位同学的解法，正确的判断是（ ）
A．小燕、小娟的解法都正确 B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确
C．小燕、小娟的解法都不正确 D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分母有理化的方法和和即可判断.
【详解】
,故小燕的解法正确.
，故小娟的解法正确.
故选：A
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，关键是分子和分母同时乘以分母的有理化因式.
13．若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（ ）
A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式
【答案】D
【分析】
根据二次根式的运算法则即可求出答案
【详解】
a+b≠0，ab≠1
a与b不是互为相反数，倒数，负倒数
故选D
【点睛】
本题考查二次根式，解题的关键是正确理解相反数，倒数，负倒数的概念.
14．已知则a与b的关系是( )
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
【答案】A
【解析】
【分析】
把的分子分母同乘（），进一步化简与a比较得出结论即可．
【详解】
== （），
a=，
∴a与b互为相反数.
故选A.
【点睛】
本题考查分母有理化.
15．下列计算正确的是（ ）．
A． B．=1
C． D．
【答案】D
【分析】
先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，或者根据乘法公式进行计算.
【详解】
A选项：,本选项错误;
B选项：，本选项错误;
C选项：，本选项错误;
D选项：，本选项正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算,关键要先把各二次根式化为最简二次根式．
16．下列式子中，与互为有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用有理化因式的定义分析得出答案．
【详解】
∵（）（，）
=12﹣2，
=10，
∴与互为有理化因式的是：，
故选B．
【点睛】
本题考查了有理化因式，如果两个含有二 ( http: / / www.21cnjy.com )次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式. 单项二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反数；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定.21·世纪*教育网
17．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】
由于若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，由此即可求解．
【详解】
解：的倒数是，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了倒数的定义，比较简单．
18．若a＝＋、b＝﹣，则a和b互为（ ）
A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式
【答案】D
【分析】
运用平方差公式通过计算得出ab＝1，从而得出正确选项．
【详解】
解：∵a＋b≠0，
∴a与b不是互为相反数，故A不正确；
∵ab≠±1，
∴a与b不是互为倒数、负倒数，故B、C不正确；
∵ab＝（）2－（）2＝2－7＝5，
∴a和b互为有理化因式；
故选：D．
【点评】
本题考查了二次根式，解题的关键是正确理解倒数、相反数、负倒数及分母有理化的概念．
19．某海防哨所O发现在它的西南方向A处有一艘船，向正东方向航行，当船行驶到距离A处400米的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意得到AC=OC，BC=OB，设BC=x，根据AC+BC=AB=400得到方程，解之即可得到BO．
【详解】
解：由题意可知：∠AOC=45°，∠BOC=30°，AB=400，
∴AC=OC，BC=OB，
设BC=x，则OB=2x，
∴AC=OC=，
∴AC+BC=AB=400，
∴，
∴x=，
∴BO=2x=，
故选B．
【点睛】
本题考查了直角三角形和等腰三角形的性质，勾股定理，方位角，二次根式的除法，解题的关键是根据题意表示出AB．
20．若，，则x与y的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
直接将x分母有理化进而得出答案．
【详解】
∵，，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键．
21．的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接利用有理化因式的定义得出答案．
【详解】
解：∵
∴的有理化因式是
故选：D
【点睛】
此题主要考查了分母有理化，正确把握相关定义是解题关键．
22．已知 ，，那么与的关系为( )
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根
【答案】C
【分析】
先把b分母有理化，再判断即可．
【详解】
解：∵ ，
∵
∴ ．
故选择：C．
【点睛】
此题考查了二次根式分母有理化和比较大小问题，掌握分母有理化是解本题的关键．
23．计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，原式变形后计算即可求出值．
【详解】
解：设a＝，
原式＝（1﹣a）（a+）﹣（1﹣a﹣）×a
＝a+﹣a2﹣﹣a+a2+
＝．
故选：B．
【点睛】
此题考查了二次根式的乘除法、分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为有理化因式
B．方程的解是
C．方程的解为
D．若方程有两个实数根，则这两实数根互为倒数
【答案】D
【分析】
根据有理化因式的定义、利用因式分解法解一元二次方程、直接开方法解一元二次方程和根与系数的关系逐一判断即可．
【详解】
解：A．与互为有理化因式，故本选项错误；
B．
∴
解得：，故本选项错误；
C．
解得：，故本选项错误；
D．若方程有两个实数根，
∴a≠0
设两根为
∴
则这两实数根互为倒数，故D正确．
故选D．
【点睛】
此题考查的是有理化因式的判断、解一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程和根与系数的关系，掌握有理化因式的定义、利用因式分解法解一元二次方程、直接开方法解一元二次方程和根与系数的关系是解题关键．
25．观察下列计算：
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二次根式的运算法则及题中的运算规律即可求解．
【详解】
=
=
=
故选B．
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意找到运算规律进行求解．
26．如果，那么的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根具有双重非负性，它们相 ( http: / / www.21cnjy.com )加为0，那个每一个算术平方根都为0，则被开方数都为0，列出二元一次方程组，解方程组求出x和y的值后，即可求解．
【详解】
解：由题意：
．
所以D正确.
故选D．
【点睛】
本题考查了算术平方根的双重非负性、解二元一 ( http: / / www.21cnjy.com )次方程组和二次根式的计算等问题，解题关键是要求考生能理解算数平方根的双重非负性并能进行实际的应用，同时能利用加减法解二元一次方程组和利用分母有理化来化简二次根式．
27．下列二次根式的运算：①，②，③，④；其中运算正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由二次根式的性质、二次根式的混合运算进行计算，再进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
，故④错误；
∴正确的3个；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
28．已知，，a与b大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据分母有理化将进行整理即可求解．
【详解】
解：，
又，
．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查分母有理化的应用，正确掌握分母有理化是解题关键．
29．已知，在中，D是边上一点，．若D是边的中点，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．95° B．100° C．105° D．110°
【答案】C
【分析】
过A作AE⊥BC于E，在AE上取点F，连接CF，使得∠CFE=30°，设DE=x，即可得出CE=DE-CD=x，进而得到AE=CE，再根据EF=CE，CF=2CE，得到AF=AE-EF=2CE=CF，即可得到∠ACE的度数，从而得到结果．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：如图所示，过A作AE⊥BC于E，在AE上取点F，连接CF，使得∠CFE=30°，
设DE=x，
∵∠ABE=30°，∠ADE=45°，
∴AE=x，BE=x，BD=CD=x，
∴CE=x-x=x，
∴=，即AE=CE，
又∵Rt△CEF中，EF=CE，CF=2CE，
∴AF=AE-EF=2CE=CF，
∴∠FAC=∠FCA=∠CFE=15°，
∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=15°+60°=75°，
∴∠ACB=105°，
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
30．已知三个数2，，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）．
A． B．或 C．，或 D．，或
【答案】D
【分析】
运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a：b=c：d中的任何一项，进行计算即可，
【详解】
设添加的这个数是
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，， 解得．
故选D．
【点睛】
本题考查比例的基本性质，注意写比例式的时候，一定要按照顺序写，顺序不同，结果不同.
31．下列运算正确的有（ ）个.
①
②
③
④
⑤
⑥
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据二次根式的运算法则分别进行计算，计算出正确结果即可作出判断．
【详解】
①，故①错误.
②，故②错误.
③，故③错误.
④，故④错误.
⑤，故⑤错误.
⑥，故⑥正确.
∴①②③④⑤⑥中只有⑥1个正确.
故选A.．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是能熟练运用二次根式的性质和运算法则进行计算．
32．已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】
将，进行分母有理化，再比较即可．
【详解】
解：，
，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】
本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
33．已知，，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分母有理化的知识，即可得解．
【详解】
解:，
，
，
故选A．
【点睛】
本题考查了分母有理化的法则，正确找出有理化因式是解题的关键．
34．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将乘以 可化简为关于b的式子, 从而得到和的关系, 继而能得出 的值
【详解】
解：
故选：.
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．
35．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分母有理化进行计算即可.
【详解】
由原式得： 所以，因为，,
所以.
故选：C
【点睛】
此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.
36．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】
设，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.21cnjy.com
37．若a＝，b＝2+，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值．
【详解】
a＝ ＝．
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．
38．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5） =，其中正确的有（ ）2-1-c-n-j-y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）不正确；正确，故（2）正确；由=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知，故（4）不正确；根据分母有理化的意义，可知，故（5）正确.21*cnjy*com
故选B.
二、填空题
39．化简：______．
【答案】
【分析】
根据分母有理化和二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分母有理化和二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
40．化简__________．
【答案】
【分析】
根据分母有理化的方法化简即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
41．计算：______．
【答案】
【分析】
二次根式的混合运算，先分母有理化，然后化简计算．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
42．化简_______．
【答案】
【分析】
根据二次根式的性质进行化简．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的性质．
43．化简：______．
【答案】
【分析】
分子分母同乘以进行分母有理化即可得．
【详解】
原式，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
44．化简：_______．
【答案】
【分析】
根据二次根式的分母有理化即可得．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化的方法是解题关键．
45．已知函数，那么______．
【答案】
【分析】
把x=5代入计算即可．
【详解】
解：把x=5代入，得
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了求函数值，以及分母有理化，分母有理化的方法则是把分子、分母同乘以分母的有理化因式，因此分母有理化的关键是找分母的有理化因式．2·1·c·n·j·y
46．的有理化因式是___________．
【答案】
【分析】
根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可解答．
【详解】
解：∵，
∴的有理化因式为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．
47．分母有理化：_________．
【答案】
【分析】
利用平方差公式分子分母同时乘以即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分母有理化，掌握平方差公式是关键．
48．的一个有理化因式是__________．
【答案】
【分析】
根据平方差公式的特点即两数之和乘以两数之差，等于两数的平方差，即可得到原式的一个有理化因式．
【详解】
解：∵
∴的一个有理化因式是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的有理化．根据二 ( http: / / www.21cnjy.com )次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
49．实数2﹣ 的倒数是_____．
【答案】
【分析】
先根据倒数的定义写出2﹣ 的倒数，再分母有理化即可．
【详解】
解：的倒数是,
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数的倒数，分母有理化．掌握利用平方差公式分母有理化的方法是解题关键．
50．已知，是整数部分，是的小数部分，则=______．
【答案】
【分析】
先把x分母有理化求出x＝＋2，求出a、b的值，再代入求出结果即可．
【详解】
解：∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a、b的值．
51．化简：=______．
【答案】；
【分析】
进行分母有理化运算即可．
【详解】
原式=．
故答案为：+1．
【点睛】
此题考查分母有理化运算，平方差公式，确定分母与分子的分母有理化因式是解题的关键．
52．计算：＝_____________．
【答案】2
【分析】
利用二次根式分母有理化的方法对原式进行计算．
【详解】
解：原式．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．
53．不等式的解集是____________．
【答案】
【分析】
直接系数化为1，即可求出不等式的解集．
【详解】
解：∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的方法．
54．关于的不等式的解集是_________．
【答案】x<
【分析】
根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．
【详解】
解：，
移项，得
，
合并，得
，
系数化为1，得
x<．
故答案为：x<．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法、以及分母有理化，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
55．不等式的解集是__________
【答案】
【分析】
先判断出，不等式两边同除以，再化简即可得到答案．
【详解】
解：
∵
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
畅通题主要考查了解一元一次不等式以及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
56．已知，则的值是_____．
【答案】31
【分析】
先对x，y分母有理化，再代入求值，即可．
【详解】
∵，
∴=
=
=
=31，
故答案是：31．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的分母有理化，是解题的关键．
57．已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．
【答案】2+
【分析】
把自变量x 的值代入函数关系式进行计算即可．
【详解】
解：当x＝时，
函数y＝＝＝＝2+，
故答案为：2+．
【点睛】
本题考查了求函数值及分母有理化，理解求函数值的方法及分母有理化是解题关键．
58．已知，则的值为__________．
【答案】11
【分析】
先将a、b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．
【详解】
解：，，
原式=
=
=
=
故答案为：11．
【点睛】
本题考查代数式的化简求值，将a、b进行分母有理化，并将代数式利用完全平方公式变形是关键．
59．化简＝__．
【答案】
【分析】
先利用完全平方公式得到4﹣2＝（﹣1）2，则原式可化为简为，再利用2+＝，则原式可化简为，然后就计算二次根式的除法运算．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵4﹣2＝（﹣1）2，
∴＝，
∵2+＝＝，
∴原式＝
＝
＝．
故答案为．
【知识点】
本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算，适当的把有关式子变成完全平方的形式是解题关键．
60．已知a＝﹣，则代数式a3+5a2﹣4a﹣6的值为_____．
【答案】-4
【分析】
先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】
解：当a＝－＝－＝－3时，
原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3
＝7a－7－7a+3
＝－4．
故答案为：－4．
【点睛】
本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.21*cnjy*com
61．已知，a是x的整数部分，b是x的小数部分，则a-b=_______
【答案】
【分析】
先把x分母有理化求出x= ，求出a、b的值，再代入求出结果即可．
【详解】
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a、b的值．
三、解答题
62．计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）8﹣．
【分析】
(1)直接利用二次根式的性质以及绝对 ( http: / / www.21cnjy.com )值的性质分别化简得出答案；
(2)直接利用绝对值的性质、二次根式的性质、立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.
【详解】
解：（1）原式＝﹣（3+2﹣2）﹣
＝5﹣5+2﹣
＝；
（2）原式＝5+﹣-2﹣（-）
＝8﹣．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，二次根式的性质，正确化简各数是解题关键.
63．计算：
【答案】﹣11．
【分析】
原式利用分母有理化、负指数幂运算法则和平方差公式进行计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
64．计算：
【答案】
【分析】
利用平方差公式使分母有理化，再合并同类二次根式即可.
【详解】
解：
【点睛】
本题考查了二次根式，灵活的利用平方差公式将二次根式的分母有理化是解题的关键.
65．化简并求值：，其中.
【答案】m-1，．
【分析】
根据分式的混合运算顺序和运算法则化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
=
=
=m-1，
当=时，原式=-1=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、分母有理化，解题的关键是明确分式化简求值的方法．
66．计算：；
【答案】（1）-1；（2）3．
【分析】
先分别利用立方根、平方差公式、分母有理化、零指数幂、负指数幂化简题目中的式子，再合并即可解答本题．
【详解】
解：
=
=
=-1；
=
=3．
故答案为：（1）-1；（2）3．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，正确化简各式是解题的关键．
67．先化简，再求值：，其中.
【答案】 ，3+2 ．
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【详解】
解：原式=
=
= ，
当时，
原式=
=
=3+2 ．
故答案为： ，3+2 ．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
68．计算：
(1)；
(2)已知，，求的值.
【答案】(1)；(2)15.
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式性质化简后合并求解即可；
（2）先对变形得，先分别求出，，代入即可.
【详解】
解：（1）原式
；
（2）变形得，
根据题意，,
代入得：.
【点睛】
本题考查了二次根式，熟练进行分母有理化是解题的关键．
69．观察下列等式：
第一个式：
第二个式：
第三个式：
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第四个等式：a4=___________=_________ ；
（2）利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求的值。
【答案】（1）、，；（2）；（3）4
【解析】
【分析】
（1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式；
（2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算；
（3）根据所给规律探索可得出原式= ，再根据平方差公式易得结果．
【详解】
解：（1）第四个等式： ；
（2）
=
= ；
（3）
=
=
=
=2．
故答案为：（1） ， ；（2） ；（3）2．
【点睛】
本题考查规律型：数字的变化类 ( http: / / www.21cnjy.com )，分母有理化，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分母有理化计算．
70．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先进行二次根式的乘除运算，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后去括号合并即可；
（3）利用平方差公式和完全平方公式计算；
（4）利用完全平方公式和分母有理化得到原式，然后去括号后合并即可．
【详解】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
故答案为（1）；（2）；（3）；（4）．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
71．已知x＝，求值：2x2﹣3xy+2y2．
【答案】385．
【解析】
【分析】
先利用分母有理化化简x，y的值，再求得x-y和xy的值，然后利用配方法把多项式进行变形，最后代入求值即可．
【详解】
解：∵x＝ ＝7+4，y＝ ＝7﹣4 ，
∴x﹣y＝8，xy＝1，
∴原式＝2（x﹣y）2+xy＝2×+1=385．
故答案为：385.
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键在于对x、y的值进行化简, 利用完全平方公式对所求代数式进行变形．
72．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，…
（1）________________；__________．
（2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）由题意可直接进行分母有理化即可；
（2）由题意及（1）可直接得出规律．
【详解】
解：（1），
；
故答案为，；
（2）由题意及（1）可得规律为：
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题的关键．
73．先化简，再求值：，其中a＝＋1．
【答案】
【分析】
按照分式的加减乘除混合运算，先对每个分式进行化简，约分，再将a代入求值．
【详解】
解：原式＝
＝1－＝=
当a＝＋1时，
原式＝－＝－＝－．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟悉分式的加减乘除混合运算，是解题的关键．
74．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）10；（2）0；（3）35．
【分析】
（1）利用二次根式的乘法运算法则，结合乘法分配律解题；
（2）利用完全平方公式、乘法分配律等法则，结合合并同类二次根式解题；
（3）先将二次根式化为最简二次根式，再利用绝对值的性质、二次根式分母有理化、负整指数幂的运算法则解题．【出处：21教育名师】
【详解】
解：（1）原式=（3）×2
2
=10；
（2）原式=3﹣21﹣4+2
=0；
（3）原式=214
=35．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，涉及绝对值的性质、负整指数幂等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21世纪教育网版权所有
75．小明在解决问题：已知 ,求的值．
他是这样分析与解的：∵a，
∴ ，
∴，即，
∴，
∴4×1+1=5．
请你根据小明的分析过程，解决以下问题：
（1）计算 ；
（2）计算；
（3）已知 , 求 的值．
【答案】（1）；（2）9；（3）-1
【分析】
（1）分子、分母都乘以，再进一步计算即可；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（3）将a值化简，据此变形得到，再代入中计算．
【详解】
解：（1）；
（2）
=
=
=9；
（3）∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴===-1．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键．
76．，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式如与互为有理化因式，与互为有理化因式．21教育网
利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化例如：，
（1）分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______；
（2）分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______；
（3）利用以上知识计算：．
【答案】（1）；（2） ；（3）．
【分析】
（1）分子分母同时乘以可以得到解答；
（2）分子分母同时乘以可以得到结果；
（3）根据（2）的结果可以得到解答．
【详解】
解：（1）由题意可得：
，
故答案为；
（2）由题意可得：
， ，
故答案为；
（3）由（2）可得：
，
∴原式=
=．
【点睛】
本题考查新定义下的实数运算，根据题意得到新定义的运算法则是解题关键．
77．阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝ ．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
【答案】（1）；（2）；（3）2020
【分析】
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
（1）
＝
＝
＝
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3）（+…+）×（+1）
＝（+…+）×（+1）
＝（）×（+1）
＝
＝2020．
【点睛】
本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解．www.21-cn-jy.com
78．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出______；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）和的值哪个较大，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3），见解析
【分析】
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）由（1）的方法可得，， ，根据可得 ，据此判断即可．
【详解】
解：（1）；
（2）
（3）由（1）的方法可得，
∵
∴
即，．
【点睛】
本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．【版权所有：21教育】
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专题09 分母有理化
一、单选题
1．二次根式的化简结果为（ ）
A．3 B． C． D．
2．如果，，那么与的关系是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．=
4．下列运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知a= ，b=，则a+b+ab的值为（ ）
A．1+2 B．1-2 C．-5 D．3
6．下面计算中正确的是（ ）
A． B．（2）=36 C． D．2×3=6
7．下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
8．下列各式中，与互为有理化因式的是( )
A．. B． C． D．
9．在化简时，甲、乙两位同学的解答如下：
甲：.
乙：.
关于解答过程，下列说法正确的是（ ）.
A．两人都对 B．甲错乙对 C．甲对乙错 D．两人都错
10．下列运算中错误的是 ( )
A． B． C．2＋3＝5 D．＝4
11．把分母有理化后得 （ ）
A．2 B． C． D．
12．化简，小燕、小娟的解法如下：小燕：；小娟：．对于两位同学的解法，正确的判断是（ ）21世纪教育网版权所有
A．小燕、小娟的解法都正确 B．小燕的解法正确，小娟的解法不正确
C．小燕、小娟的解法都不正确 D．小娟的解法正确，小燕的解法不正确
13．若a＝+、b＝﹣，则a和b互为（ ）
A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式
14．已知则a与b的关系是( )
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
15．下列计算正确的是（ ）．
A． B．=1
C． D．
16．下列式子中，与互为有理化因式的是（ ）
A． B． C． D．
17．的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
18．若a＝＋、b＝﹣，则a和b互为（ ）
A．倒数 B．相反数 C．负倒数 D．有理化因式
19．某海防哨所O发现在它的西南方向A处有一艘船，向正东方向航行，当船行驶到距离A处400米的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则的长为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
20．若，，则x与y的关系是（ ）
A． B． C． D．
21．的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
22．已知 ，，那么与的关系为( )
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．是的平方根
23．计算（1﹣）×（+）﹣（1﹣）×（）的结果等于（ ）
A． B． C． D．
24．下列说法中，正确的是（ ）
A．与互为有理化因式
B．方程的解是
C．方程的解为
D．若方程有两个实数根，则这两实数根互为倒数
25．观察下列计算：
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
26．如果，那么的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．
27．下列二次根式的运算：①，②，③，④；其中运算正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．已知，，a与b大小关系是（ ）
A． B． C． D．
29．已知，在中，D是边上一点，．若D是边的中点，则的度数为（ ）
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A．95° B．100° C．105° D．110°
30．已知三个数2，，4如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）．
A． B．或 C．，或 D．，或
31．下列运算正确的有（ ）个.
①
②
③
④
⑤
⑥
A．1 B．2 C．3 D．4
32．已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
33．已知，，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
34．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
35．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
36．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A． B． C． D．
37．若a＝，b＝2+，则的值为（ ）
A． B． C． D．
38．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5） =，其中正确的有（ ）21·cn·jy·com
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
39．化简：______．
40．化简__________．
41．计算：______．
42．化简_______．
43．化简：______．
44．化简：_______．
45．已知函数，那么______．
46．的有理化因式是___________．
47．分母有理化：_________．
48．的一个有理化因式是__________．
49．实数2﹣ 的倒数是_____．
50．已知，是整数部分，是的小数部分，则=______．
51．化简：=______．
52．计算：＝_____________．
53．不等式的解集是____________．
54．关于的不等式的解集是_________．
55．不等式的解集是__________
56．已知，则的值是_____．
57．已知函数y＝，当x＝时，y＝_____．
58．已知，则的值为__________．
59．化简＝__．
60．已知a＝﹣，则代数式a3+5a2﹣4a﹣6的值为_____．
61．已知，a是x的整数部分，b是x的小数部分，则a-b=_______
三、解答题
62．计算
（1）；
（2）．
63．计算：
64．计算：
65．化简并求值：，其中.
66．计算：；
67．先化简，再求值：，其中.
68．计算：
(1)；
(2)已知，，求的值.
69．观察下列等式：
第一个式：
第二个式：
第三个式：
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第四个等式：a4=___________=_________ ；
（2）利用以上规律计算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求的值。
70．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
71．已知x＝，求值：2x2﹣3xy+2y2．
72．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：，
例2：，，…
（1）________________；__________．
（2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．
73．先化简，再求值：，其中a＝＋1．
74．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
75．小明在解决问题：已知 ,求的值．
他是这样分析与解的：∵a，
∴ ，
∴，即，
∴，
∴4×1+1=5．
请你根据小明的分析过程，解决以下问题：
（1）计算 ；
（2）计算；
（3）已知 , 求 的值．
76．，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式如与互为有理化因式，与互为有理化因式．21cnjy.com
利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化例如：，
（1）分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______；
（2）分母有理化的结果是______，分母有理化的结果是______；
（3）利用以上知识计算：．
77．阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝ ；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝ ．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
78．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出______；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）和的值哪个较大，请说明理由．
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