2021-2022学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册5.1.1变化率问题(第一课时)课件（20张ppt）

(共20张PPT)
为了描述现实世界中的运动、变化现象,在数学中引入了函数.刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.在对函数的深入研究中,数学家创立了微积分,这是具有划时代意义的伟大创造,被誉为数学史上的里程碑.
牛顿（Isaac Newton，1643年－ 1727年），英国物理学家、数学家.
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.
导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等.
变化率问题
第一课时
F佳
在必修第一册中，我们知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.
能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？
问题1 高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．
问题1 高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
我们清楚，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快.
我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态.
问题1 高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．
例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，
在 1≤ t ≤2这段时间里，
问题(1)如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？
问题1 高台跳水运动员的速度
一般地，
=
=
=
=
问题1 高台跳水运动员的速度
问题(2)计算运动员在0 ≤ t ≤这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗
(2) 平均速度能准确反映运动员的运动状态吗
问题1 高台跳水运动员的速度
（1）瞬时速度与平均速度有什么关系？
（2）你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？
瞬时速度：
物体在某一时刻的速度
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
问题1 高台跳水运动员的速度
问题(3)瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗？
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是可以想象,如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度.
学习新知
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是，
可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么可将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度.
为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+△t,
△t是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
当△t >0时，1+△t 在1 之后；当△t <0时， 1+△t在1之前。
当△t >0时，把运动员在时间段[1,1+△t]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1+△t]内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度.
当△t <0时，在时间段[1+△t,1]内可作类似处理.
为了提高近似表示的精确度,我们不断缩短时间间隔,得到如下表格
问题1 高台跳水运动员的速度
当Δt无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？
无限趋近于-5
数学中，我们把-5叫做“当Δt无限趋近于0时，的极限”，记为
因此，运动员在t=1时的瞬时速度v(1)=-5m/s.
问题1 高台跳水运动员的速度
h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．
问题(4)你能用上述方法，计算当t＝2s 时的瞬时速度吗？
解：因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时间段[2，2＋Δt]（或[2＋Δt ，2]）的平均速度为
所以
课本P61 练习 2
2.火箭发射 t s后，其高度（单位∶m）为h（t）=0.9t .求∶
（1）在 1≤t≤2 这段时间里，火箭爬高的平均速度;
（2）发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度.
F佳
本小节结束