四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高二下学期入学考试数学（文）试题（Word版含答案）

蓉城名校联盟2021～2022学年度下期高中2020级入学联考
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线l的方程为，则直线l的纵截距为（ ）．
A． B． C．2 D．
2．双曲线为，则它的焦点到渐近线的距离为（ ）．
A．2 B． C．1 D．
3．连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和为5的概率为（ ）．
A． B． C． D．
4．在空间直角坐标系中，点到点O的距离为（ ）．
A． B． C． D．
5．“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知直线，直线，若，则（ ）．
A． B． C．2 D．
7．执行如图所示的程序，若输入的，则输出的（ ）．
INPUT N ， Do LOOP UNTIL PRINT S
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．8
9．若两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹围成区域的面积为（ ）．
A． B． C． D．
10．已知椭圆上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为，则椭圆C的离心率e为（ ）．
A． B． C． D．
11．已知直线，圆，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，则四边形PMCN面积的最小值为（ ）．
A． B．7 C．8 D．
12．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线上，若存在点B，满足，则OB的斜率的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线平行，则______．
14．某班级积极响应“书香校园”活动的号召，如图所示茎叶图记录了该班甲、乙两个小组的同学在寒假中阅读打卡的天数（单位：天），已知甲组数据的中位数为16，乙组数据的平均数为16.4，则的值为______．
15．斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，若A，B两点的中点为，则p的值为______．
16．已知椭圆，过点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，O为坐标原点，则为锐角，则直线l的斜率k的取值范围为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）已知直线l的方程为，求直线l恒过定点的坐标．
（2）已知点，，，若过点M的直线l与线段AB有公共交点，求直线l的斜率k的取值范围．
18．（12分）
某班级利用寒假假期推行“学习互助小组”．
（1）班上有60个同学，女生与男生的比例为2∶3，开学后老师按男女生比例抽查一个样本容量为10的样本，则男生被抽到的人数是多少？
（2）现有小明同学和小华同学结对相互学习，两人约定到公共图书馆学习，约定时间为早上9点到10点（注：两人在这一段时间内任一时刻到达公共图书馆的可能性均相等），相互约定，等待对方的时间不超过15分钟，否则就取消当天的学习活动．求他们俩当天能成功一起学习的概率是多少？
19．（12分）
已知圆．
（1）过点作圆的切线，求切线l的方程；
（2）已知圆上只有2个点到直线的距离为1，求r的取值范围．
20．（12分）
开学在即，某校对全校学生返校所花费的时间进行调查，统计了该校学生居住地到学校的距离x（单位：千米）和学生花费在返校路上的时间y（单位：分钟），得到如下数据：
到学校的距离x（千米） 1.5 2.5 3.4 4.7 5.0 6.9
花费的时间y（分钟） 14 18 24 30 34 42
由统计资料表明y与x具有线性相关关系．
（1）求线性回归方程（精确到0.01）；
（2）小明家离学校8千米，请问小明到学校所花费的时间约为多少分钟？（精确出整数）
（3）若的距离数据，称为“完美距离”，那么从6个距离中任取2个，求抽取到的2个数据中至少有一个是“完美距离”的概率．
参考公式及数据：，
，．
21．（12分）
若点到直线的距离比它到点的距离大3．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过点N的直线与点M的轨迹曲线交于A，B两点，过点N的直线与点M的轨迹曲线交于C，D两点，若，求的值．
22．（12分）
已知双曲线的离心率，虚轴在y轴上且长为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作直线l与双曲线的左支只有一个交点，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）已知椭圆，若A，B分别是，上的动点，且，O到直线AB的距离d是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
蓉城名校联盟2021～2022学年度下期高中2020级入学联考
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 6．A 7．B 8．C 9．D 10．B 11．A
12．C
【解析】，，设点，，A在抛物线上，
，，由得，即，
，当时，；当时，
，
当且仅当时，等号成立，∴k有最大值．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．8 15．2
16．
【解析】由题意设直线l的方程为，、，
联立方程得，∴，
∵为锐角，则，即，
，
解得，又∵，∴．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）
解：（1）由已知可得，即，
则，解得，，∴直线l恒过定点．
（2），，
∵过点M的直线l与线段AB有公共交点，则．
18．（12分）
解：（1）60人中，抽取10人，样本比，
∵女生与男生的比例为2∶3，∴女生人数有24人，男生人数有36人，
则抽取的男生人数为人，∴男生被抽到的人数为6人．
（注：其他解法正确，同样给分）
（2）设小明同学到公共图书馆的时间为x，小华同学到公共图书馆的时间为y，
将9:00～10:00这个时间段看做0～1，15分钟为．
记总事件为，．
小明与小华能聚在一起学习记作事件A，
，，
∴他们俩当天能成功一起学习的概率为．
19．（12分）
解：（1）圆心，，∵点P在圆外，∴过圆外一点作圆的切线有2条．
①当k存在时，设切线l的方程为，即，
则圆心C到l的距离，∴，
切线l的方程为：；
②当k不存在时，切线l的方程为．
综上，切线l的方程为或．
（2）圆心到的距离，
当圆上有1个点到l的距离为1，则，，
当圆上有3个点到l的距离为1，则，，
∴圆上有2个点到l的距离为1时，．
（注：其他解法正确，同样给分）
20．（12分）
解：（1），．∵，，
∴，
将代入，得，∴．
（2）当千米，分钟．
∴小明到学校的时间约为48分钟．
（3）由表格可知，6个数据中的有2个，记作，，剩下的记作B，C，D，E，
则6个数据中抽取2个数据共有15种，
即，，，，，，，，，BC，BD，BE，CD，CE，DE．
其中至少有一个完美距离的有9种，
所以抽取到至少有一个是“完美距离”的概率．
21．（12分）
解：（1）由题意可知点到的距离与到点的距离相等，
∴点M的轨迹为抛物线且．∴点M的轨迹方程为．
（2）抛物线的焦点为，
由题意可知，若与中有一条直线的斜率不存在不符合题意，
∴与都存在，且，．设的方程为，，，
联立消y得：，
∴，．
同理，∴．
22．（12分）
解：（1）虚轴在y轴上，则双曲线的标准方程为．
由题意得，∴，
又∵，∴，∴双曲线的标准方程为（或）．
（2）双曲线的渐近线方程为，
过点与左支只有一个交点，则．
（注：其他解法正确，同样给分）
（3）当直线OB垂直于x轴时，，，
则O到直线AB的距离为，当直线OB不垂直于x轴时，
设直线OB的方程为，则直线OA的的方程为，
由，得，∴，同理．
设点O到直线AB的距离为d，∵，
∴，即．
综上，点O到直线AB的距离为定值，定值．