河南省驻马店市平舆县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年河南省驻马店市平舆县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列事件中，不属于随机事件的是（　　）
A．明天开封会下雪
B．投一次骰子，向上一面的点数是6
C．太阳从东方升起
D．射击运动员射击一次，命中靶心
3．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣1
4．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（　　）
A．4 B． C．2 D．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（　　）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
6．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若α＝24°，则∠1的度数为（　　）
A．116° B．114° C．112° D．66°
7．（3分）老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2+bx+c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．
其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G基站2.4万个，规划到2022年5G基站数量将达到16.8万个．设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．2.4（1+x%）2＝16.8 B．2.4（1+x2）＝16.8
C．2.4（1+2x）＝16.8 D．2.4（1+x）2＝16.8
10．（3分）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（每小题0分，共15分）
11．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2019的值为 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，AB，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（﹣1，﹣1）．把线段AB沿垂直于AB的方向平移，当点A的对应点A'在函数y（k＜0，x＜0）的图象上时，点B的对应点B'恰好在x轴负半轴上，则k的值为　 　．
13．《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得FC＝4米，那么塔与树的距离AE为　 　米．
14．如图，在扇形AOD中，点B、C将三等分，连接OB、OC，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E，过点B、C分别作BG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F．若∠AOD＝135°，OA＝4，则图中阴影部分图形的面积和为 　 　．（结果保留π）
15．如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，若点A在C′D′上，且AB＝10，BC＝8，则AE＝　 　．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）2x（x+2）＝1．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立如图所示的平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，且坐标分别为：A（2，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）请你画出将△ABC向右平移6个单位后得到的对应的△A1B1C1；
（2）再请你画出将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）求四边形A2B1CC2的面积．
18．（9分）已知：矩形ABCD，AB＝8，BC＝12．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过B、C两点，且与AD相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
19．（9分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）此游戏公平吗？请说明理由．
20．（9分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
21．（10分）某商场销售一批商品，经市场调研：该商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，每天销售量为180个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少10个，但每天需支付各种费用共200元，请回答以下问题：
（1）当商品售价为每个15元时，每天销售量为 　 　个．
（2）用表达式表示该商品销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系；
（3）当售价定为多少时，商场每天获得利润最大？每天的最大利润是多少？
22．（10分）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
23．（11分）（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为　 　°；
②线段AD、BE之间的数量关系是　 　．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
2021-2022学年河南省驻马店市平舆县九年级（上）期末数学试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
2．（3分）下列事件中，不属于随机事件的是（　　）
A．明天开封会下雪
B．投一次骰子，向上一面的点数是6
C．太阳从东方升起
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【分析】找到一定发生或者一定不发生的事件即可．
【解答】解：A、明天开封会下雪，是随机事件；
B、投一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件；
C、太阳从东方升起，是必然事件，不属于随机事件；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件．
故选：C．
3．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣1
【分析】由方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根可得知b2﹣4ac＞0，结合二次项系数不为0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：B．
4．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【分析】根据垂径定理的推论得到OA⊥BC，进而得到BD＝DC，根据圆周角定理得到∠C＝30°，解Rt△ACD可以求得CD的长度，进而求出BC．
【解答】解：如图，设AO与BC交于点D，
∵∠AOB＝60°，
∴∠C∠AOB＝30°，
∵AB＝AC，
∴，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，CD＝AC cos30°＝2，
∴BC＝2CD＝2，
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：4，那么CF：BF的值为（　　）
A．4：3 B．3：7 C．3：4 D．2：4
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：4，
∴，
∴，
故选：A．
6．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若α＝24°，则∠1的度数为（　　）
A．116° B．114° C．112° D．66°
【分析】由矩形的性质和旋转的性质可得∠DAD'＝α＝24°，∠D＝∠D'＝90°＝∠ABC，由四边形内角和定理可求解．
【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，
∴∠DAD'＝α＝24°，∠D＝∠D'＝90°＝∠ABC，
∴∠BAD'＝90°﹣24°＝66°，
∵∠BAD'+∠ABC+∠1+∠D'＝360°，
∴∠1＝114°，
故选：B．
7．（3分）老师给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2+bx+c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．
其中正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，即可求解；
②根据表格中数据的对称性即可求解；
③根据函数的对称性，则x＝4时，y＝0，即可求解；
④由①知，函数的对称轴为x＝1，抛物线开口向上，进而求解；
⑤从表格看，抛物线的顶点坐标为（1，﹣9），进而求解．
【解答】解：①函数的对称轴为x（5﹣3）＝1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，故抛物线的开口向上，正确，符合题意；
②由①知，抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误，不符合题意；
③当x＝﹣2时，y＝0，根据函数的对称性，则x＝4时，y＝0，故当﹣2＜x＜4时，y＜0，故③正确，符合题意；
④由①知，函数的对称轴为x＝1，抛物线开口向上，故当x＞1时，y随x的增大而增大正确，符合题意；
⑤从表格看，抛物线的顶点坐标为（1，﹣9），故若方程ax2+bx+c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9，正确，符合题意；
故选：C．
8．（3分）若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab＞0，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．
【解答】解：A、根据一次函数可判断a＞0，b＜0，即ab＜0，故不符合题意，
B、根据一次函数可判断a＜0，b＞0，即ab＜0，故不符合题意，
C、根据一次函数可判断a＜0，b＜0，即ab＞0，根据反比例函数可判断ab＞0，故符合题意，
D、根据反比例函数可判断ab＜0，故不符合题意；
故选：C．
9．（3分）2018年7月，郑州龙子湖智慧岛开通河南省首个5G基站，2020年全省已累计建成5G基站2.4万个，规划到2022年5G基站数量将达到16.8万个．设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为x，可列方程为（　　）
A．2.4（1+x%）2＝16.8 B．2.4（1+x2）＝16.8
C．2.4（1+2x）＝16.8 D．2.4（1+x）2＝16.8
【分析】根据2020年底及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设2020年至2022年5G基站建设的年平均增长率为x，
由题意得：2.4（1+x）2＝16.8．
故选：D．
10．（3分）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．
【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝5．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，
设BE的长度为t，
则BA＝t+1，
∴（t+1）2+t2＝25，
即：t2+t﹣12＝0，
∴（t+4）（t﹣3）＝0，
由于t＞0，
∴t+4＞0，
∴t﹣3＝0，
∴t＝3．
∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．
故选：C．
二、填空题（每小题0分，共15分）
11．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2019的值为 　2021　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2019的值．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
即m2+m＝1，
∴2m2+2m+2019＝2（m2+m）+2019＝2+2019＝2021．
故答案是：2021．
12．如图，在平面直角坐标系中，AB，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为（﹣1，﹣1）．把线段AB沿垂直于AB的方向平移，当点A的对应点A'在函数y（k＜0，x＜0）的图象上时，点B的对应点B'恰好在x轴负半轴上，则k的值为　﹣4　．
【分析】作BM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，先通过勾股定理求出点A坐标，然后通过证得△B′BN≌△ABM从而求出点B'坐标，点B到点B'的坐标变化规律与点A到点A'规律相同，即可求出点A'坐标从而求出k．
【解答】解：设点A坐标为（0，a），
则AB，
解得a＝1或a＝﹣3（舍）．
∴点A坐标为（0，1），
作BM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，
∵B的坐标为（﹣1，﹣1）．
∴BM＝BN＝1，AM＝1+1＝2，
∵∠ABN+∠B′BN＝90°＝∠ABN+∠ABM，
∴∠B′BN＝∠ABM，
在△B′BN和△ABM中，
，
∴△B′BN≌△ABM（ASA），
∴BN＝AM＝2，
∴B'坐标为（﹣3，0），
即点B（﹣1，﹣1）向左移动2个单位，向上移动1个单位得到B'，
∴将A（0，1）向左移动2个单位，向上移动1个单位得到A'（﹣2，2）．
∴k＝﹣2×2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
13．《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得FC＝4米，那么塔与树的距离AE为　25　米．
【分析】根据正方形的性质求出FD，BC∥AD，可得△FDE∽△FCB，根据相似三角形的性质可得DE的值，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为10米，
∴AD＝CD＝BC＝10米，FD＝CD﹣CF＝6米，BC∥AD，
∴△FDE∽△FCB，
∴，即，
∴DE＝15，
∴AE＝DE+AD＝25米，
故答案为：25．
14．如图，在扇形AOD中，点B、C将三等分，连接OB、OC，⊙O的切线DE交OC的延长线于点E，过点B、C分别作BG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F．若∠AOD＝135°，OA＝4，则图中阴影部分图形的面积和为 　2π　．（结果保留π）
【分析】根据圆周角定理得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点B、C将三等分，∠AOD＝135°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，
∵BG⊥OA，CF⊥OB，
∴OG＝BGOB＝2，OF＝CFOC＝2，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD＝DE＝4，
∴阴影部分的面积＝（4×4）+（22）+（22）＝2π，
故答案为：2π．
15．如图，已知点E是长方形ABCD中AD边上一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，若点A在C′D′上，且AB＝10，BC＝8，则AE＝　5　．
【分析】如图，求出AC′＝6，AD′＝4，证明ED＝ED′（设为λ），得到AE＝8﹣λ；运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠C＝∠DAB＝90°；
AB＝DC＝10，AD＝BC＝8；
根据翻折变换的性质可知：
∠D′＝∠D＝90°，∠C′＝∠C＝90°；
BC′＝BC＝8，D′C′＝DC＝10；
由勾股定理得：
AC′2＝AB2﹣BC′2，
∴AC′＝6，AD′＝10﹣6＝4；
由题意得：ED＝ED′（设为λ），则AE＝8﹣λ；
由勾股定理得：（8﹣λ）2＝42+λ2，
解得：λ＝3，AE＝5
故答案为5．
三、解答题（本题8个小题，共75分）
16．（8分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
（1）x2﹣5x+6＝0；
（2）2x（x+2）＝1．
【分析】（1）先利用因式分解法解方程得到方程得两根，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；
（2）先把方程化为一般式，再设方程得两个根分别为a、b（a＞b），根据根与系数的关系得a+b＝﹣2，ab，利用完全平方公式和整体代入的方法计算出a﹣b，从而可判断2x（x+2）＝1不是“邻根方程”．
【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2，
∴x1﹣x2＝1，
∴x2﹣5x+6＝0是“邻根方程”；
（2）方程化为一般式得2x2+4x﹣1＝0，
设方程得两个根分别为a、b（a＞b），
根据根与系数的关系得a+b＝﹣2，ab
∵a﹣b，
∴2x（x+2）＝1不是“邻根方程”．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立如图所示的平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，且坐标分别为：A（2，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1）．
（1）请你画出将△ABC向右平移6个单位后得到的对应的△A1B1C1；
（2）再请你画出将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）求四边形A2B1CC2的面积．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用四边形A2B1CC2的面积为：，进而求出即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）四边形A2B1CC2的面积为：
2×43×4＝10．
18．（9分）已知：矩形ABCD，AB＝8，BC＝12．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过B、C两点，且与AD相切（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
【分析】（1）作BC的垂直平分线交AD于点E，连接BE，作BE的垂直平分线交EM于点O即可；
（2）结合（1）根据矩形的性质可以证明四边形ABME是矩形，可得EM＝AB＝8，设半径为R，则OB＝OE＝R，OM＝8﹣R，根据勾股定理可得R的长．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）连接OB，由（1）知：∠EMC＝90°，ON⊥BE，BMBC＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABM＝90°，
∴∠EMB＝∠A＝∠ABM＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴EM＝AB＝8，
设半径为R，则OB＝OE＝R，OM＝8﹣R，
在Rt△BOM中，根据勾股定理，得
BM2+OM2＝OB2，
∴（8﹣R）2+62＝R2，
解得R．
19．（9分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）此游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图即可；
（2）共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，求出小雪参赛和小英参赛的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有9种等可能的结果；
（2）此游戏公平，理由如下：
共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，
∴小雪参赛的概率为，小英参赛的概率为，
∴此游戏公平．
20．（9分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y的图象与大正方形的一边交于点A（1，2），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；
（2）先根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝8，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4×22＝16，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．
【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A（1，2），
∴2，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数y的图象经过B点，
∴m，
∴m2＝2，
∴小正方形的面积为4m2＝8，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，2），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（2，2），
∴大正方形的面积为4×22＝16，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝8．
21．（10分）某商场销售一批商品，经市场调研：该商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，每天销售量为180个，若售价每提高1元，每天销售量就会减少10个，但每天需支付各种费用共200元，请回答以下问题：
（1）当商品售价为每个15元时，每天销售量为 　150　个．
（2）用表达式表示该商品销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系；
（3）当售价定为多少时，商场每天获得利润最大？每天的最大利润是多少？
【分析】（1）根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，商品售价为每个15元时，每个上涨3元，销量减小30个，即可得出结论．
（2）设商品售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；
（3）设商场获得的利润为W，根据“总利润＝单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W＝﹣10（x﹣20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得：180﹣（15﹣12）×10＝180﹣30＝150（个），
当商品售价为每个15元时，每天销售量为150个，
故答案为：150；
（2）设商品售价为x元时，销售量为y个，
根据题意可知：y＝180﹣10（x﹣12）＝﹣10x+300（12≤x≤30），
∴销售量y与售价x之间的函数关系为y＝﹣10x+300（12≤x≤30）；
（3）设商场获得的利润为W，则W＝（x﹣10）y＝﹣10x2+400x﹣3000，
＝﹣10x2+400x﹣3000＝﹣10（x﹣20）2+1000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000．
∵每天需支付各种费用共200元，
∴每天的最大利润是800元，
答：当售价定为20元时，商场获得利润最大，最大利润是800元．
22．（10分）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x，
∴x1＝﹣4，x2＝0，
∴点A（﹣4，0），点B（0，0），
∴对称轴为x＝﹣2，
∴点D（﹣2，4），
如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m），
∵△PEF∽△DAB，
∴，
∴PQ4＝1，
∴|m+2|＝1，
∴m＝﹣1或﹣3，
∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）．
23．（11分）（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为　60　°；
②线段AD、BE之间的数量关系是　AD＝BE　．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点 A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：
图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；
（2）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，由勾股定理可求解；
（3）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD＝∠CBE，由∠CAB＝∠ABC＝60°，可知∠EAB+∠ABE＝120°，根据三角形的内角和定理可知∠AOE＝60°．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，
故答案为：60；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
∴AD2+AE2＝AB2，
∵AD＝a，AE＝b，AB＝c，
∴a2+b2＝c2；
（3）如图3，
由（1）知△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAB＝∠CBA＝60°，
∴∠OAB+∠OBA＝120°，
∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，
如图4，
同理求得∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠AOE的度数是60°或120°．