(共24张PPT)
27.3 位 似
第1课时 位似图形的概念及画法
第二十七章 相 似
1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点)
2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点)
学习目标
如图是同一张幻灯片被投射到不同距离的幕布上时得到的图片的示意图，这些图片之间有什么关系？
图片引入
连接图片上的对应点，你有什么发现？
下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？
位似图形的概念
一
观察与思考
两个相似图形，如果它们的所有对应点的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的；二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点，不能有例外．
归纳：
1. 画出下列图形的位似中心：
练一练
O
P
2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( )
A. 图中两个三角形是位似图形
B. 点 A 是图中两个三角形的位似中心
C. B 与 D、C 与 E 是对应位似点
D. AE∶AD 等于相似比
D
D
E
A
B
C
位似图形的性质
二
合作探究
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似
图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比
相等．
2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离
之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做
位似比）
3. 对应线段平行或者在一条直线上．
归纳：
如图，四边形木框 ABCD 在灯泡 O 发出的光照射下形成影子四边形 A′B′C′D′，若 OB∶OB′＝1∶2，则四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 的面积比为 ( )
A．4∶1 B． ∶1 C．1∶ D．1∶4
D
练一练
画位似图形
三
(3) 顺次连接点 A'、B'、C'、D'，所得四边形 A'B'C'D'
就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
例 1 把如图的四边形 ABCD 缩小到原来的一半大小.
(1) 在四边形 ABCD 外任选一点 O，并连接 OA，OB，OC，OD；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A'、B'、
C'、D'，使得 ；
利用位似，可以将一个图形放大或缩小
思考：
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反
向延长线上取 A′、B′、C′、D′，使得
呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
如图，已知△ABC. 根据要求作出△ABC 的位似△A'B'C'，使相似比为 1 : 5.
(1) 位似中心 O 在△ABC 的一条边 AB 上；
练一练
A
C
B
O
●
A′
B′
C′
●
●
假设位似中心点 O 为 AB中点，则点 O 位置如图所示.
根据相似比可确定 A′，
B′，C′ 的位置.
●
(2) 以点 C 为位似中心.
C
A
B
A′
B′
( C′ )
●
●
●
画位似图形的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关
键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的
关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
归纳：
A
B
C
D
1. 下列图形中，不是位似图形的是 ( )
B
2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，若 AB∶FG = 2∶3，则下列结论正确的是
( )
A. 2 DE = 3 MN B. 3 DE = 2 MN
C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F
B
A
B
E
C
D
N
F
G
H
M
3. 下列说法：
①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中 △ABC 与 △A′B′C′ 也是位似图形，且位似比相等. 其中正确的有 .
①③④
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为
2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为_____．
6
5. 如图，以 O 为位似中心，将 △ABC 放大为原来的
2 倍．
O
A
B
C
解：①作射线 OA、OB、OC；
②分别在 OA、OB、OC 上取点 A'、B'、C'，使得
③顺次连接 A'、B'、C' 就是所要求作的图形.
A'
B'
C'
6. 如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且 AB∥
CD∥EF．
(1) 图中有哪几对位似三角形 选其中一对加以证明；
答案：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC，△AEB 与 △DEC 都是位似三角形；证明略.
(2) 若 AB = 2，CD = 3，求 EF 的长.
解：∵ AB∥CD∥EF，
∴△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC．
又∵AB = 2，CD = 3，
∴
∴
解得
位似的概念及画法
位似图形的概念
位似图形的性质
位似图形的画法(共29张PPT)
第2课时 平面直角坐标系中的位似
27.3 位 似
第二十七章 相 似
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之
间的联系．
2. 会用点的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把
一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化
的规律. (重点、难点)
3. 了解四种图形变换 (平移、轴对称、旋转和位似) 的
异同，并能在复杂图形中找出这些变换.
学习目标
复习引入
1. 两个相似图形，如果它们的所有对应点的连线都经
过同一点，我们就把这两个图形叫做 ，
这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应
点到位似中心的距离之比等于 ，
对应线段 .
2. 如何判断两个多边形是不是位似多边形
位似图形
位似中心
相似比 (或位似比)
平行或者在一条直线上
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
4. 基本模型：
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (含中心对称). 那么，对于位似，是否也可以用两个图形上对应点的坐标之间的关系来表示呢？
平面直角坐标系中的位似变换
一
1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．
以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩
小，观察对应点之间坐标的变化.
合作探究
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
2. △AOC 三个顶点坐标分别为 A(4，4)，O(0，0)，C(5，
0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放
大，观察对应顶点坐标的变化.
A'
C'
A"
C"
o
-8
8
2
4
4
6
-2
-4
-4
x
y
A
2
8
10
C
-2
-6
-8
-10
-6
6
如图，把 △AOC 放大后
点 A，O，C 的对应点为
A' ( ， )，
C' ( ， )；
A" ( ， )，
C" ( ， ).
8
8
10
0
－8
－8
－10
0
问题 1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形，可以作出几个？
问题 2 如果所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个
图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的
比为 k；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的
坐标的比为－k．
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1
时，图形缩小为原来的 ．
归纳：
位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比
1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，
B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内
将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则
端点 D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
练一练
D
x
y
A
B
C
D
O
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，
以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三
个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，
则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
1 : 3
例 1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，
B (－2，0)，O (0，0). 以
原点 O 为位似中心，画出
一个位似三角形使它与
△ABO 的相似比为 .
典例精析
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
－2
还有其他画法吗？自己试一试.
提示：画三角形关键是确
定它各顶点的坐标. 根据
前面的归纳可知，点 A 的
对应点 A′ 的坐标为
，即(－3，6)，类似地，可以确定其
他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).
A′
B′
顺次连接点 A′，B′，O，所得的△A′B′O 就是要画的一个图形.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
－2
在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.
练一练
O
C
解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐
标都乘 ；在平面直
角坐标系中描点 O (0，
0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，顺次连接 O，A'，B'，C'.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
C'
－2
2
画法二：将四边形 OABC
各顶点的坐标都乘 ；
在平面直角坐标系中描点
O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，
－2)，顺次连接点 O，
A″，B″，C″.
O
C
y
A
B
2
4
6
－2
－4
4
6
x
－2
2
－4
C″
B″
A″
平面直角坐标系中的图形变换
二
至此，我们已经学习了四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每个小方格的边长均为 1 个单位长度）
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 在点C的左侧，以 C点 为位似中
心，将△ABC 放大为原来的 2 倍；
(4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针
旋转180°．
x
y
A
B
C
O
练一练
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位
似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则点 E
坐标为 ( )
A．(4，－3)
B．(4，－2)
C．(4，－4)
D．(4，－6)
A
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点
.
(－2a，－2b)
4. 原点 O 是 △ABC 和 △A′B′C′ 的位似中心，点 A
(1，0) 与点 A′ (－2，0) 是对应点，△ABC 的面积
是 ，则 △A′B′C′ 的面积是 .
6
5. 如图，已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的 2 倍．
C
2
4
6
－4
x
y
A
B
2
－2
B'
A'
C'
A"
B"
C"
O
解：如图所示，△ABC 和△A′B′C′ 即为所求．
6. 在 8×12 的网格图中，已知 △ABC 和点 M (1，2).
x
y
A
B
C
(1) 以点 M 为位似中心，2 为位似比，画出 △ABC 的
位似图形 △A′B′C′；
M
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 写出 △A′B′C′ 的各
顶点坐标.
解：A′ (3，6)，B′ (5，2)，C′ (11，4).
O
7. 如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，
点 B 的坐标为 (4，0).
(1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移
1 个单位长度后得△A1O1B1，
则点 A1 的坐标为 ，
△A1O1B1的面积为 ；
(2，4)
8
(2) 将 △AOB 绕原点旋转 180°
后得 △A2O2B2，则点 A2 的
坐标为 ；
(－3，－4)
4
x
y
A
B
4
3
O
(3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，则点 A3 的
坐标为 ；
(4) 以 O 为位似中心，按比例尺
1 : 2 将 △AOB 放大后得
△A4O4B4，若点 B4 在 x 轴负
半轴上，则点 A4 的坐标为
，△A4O4B4的
面积为 .
(3，－4)
(－6，－8)
32
4
x
y
A
B
4
3
O
8. 如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和
点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正
方形的位似中心的坐标是___________________．
(1，0) 或 (－5，－2)
【分析】此时两个正方形位似，但未指明对应的点，因此需要分类讨论
拓展提升
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
平面直角坐标系中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
