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2.6.2 菱形的判定教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：13
课 题 菱形的判定 课型 新授课
教学目标 1. 掌握菱形的判定定理1、判定定理2； 2. 能灵活运用菱形的定义和判定定理判定菱形； 3. 掌握菱形的性质和判定的综合应用； 4. 提高几何审题能力、逻辑推理和几何语言表达能力.
教学重点 1. 探究菱形的判定定理1和判定定理2； 2. 运用菱形的判定定理判定一个四边形是菱形。
教学难点 1. 掌握菱形的判定方法； 2. 菱形的性质和判定的综合应用。
教 学 活 动
一、温故知新 回答问题： 1、 什么叫作菱形？ PPT：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2、 菱形有哪些性质？ PPT：菱形的四条边都相等，对角相等； 菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 二、教学新知 （一）探究菱形的判定定理1 1、 出示问题：如图，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？ 把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？ 2、 思路引导 师：如何证明这个结论呢？（引导学生回忆菱形的定义，交流证明方法） 生：先证明这样的四边形是平行四边形. PPT：思路—四条边都相等的四边形，当然邻边也相等。由菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形叫作菱形”，要证明四边形是菱形，在已知邻边相等的条件下，就需证明该四边形是平行四边形。 3、 学生展示菱形，学生口述证明过程，然后师生完成证明过程 PPT：证明 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. ∵ AD=BC， AB=DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 AB=AD， ∴ 四边形ABCD是菱形. 4、 展示结论 菱形的判定定理1：四条边相等的四边形是菱形. （二）教学例题，巩固定理 例2 如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是菱形. 思路：由BD垂直平分AC，可得BA=BC，DA=DC，OA=OC；又∠1=∠2，即可证明△OAB≌△OCD，得AB=BC；从而得四边形ABCD四边相等，判定为菱形. 证明：∵ 线段BD垂直平分AC， ∴ BA=BC，DA=DC，OA=OC； 在△OAB和△OCD中， ∵ ∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC； ∴ △OAB≌△OCD. ∴ AB=BC. ∴ AB=BC=CD=DA. ∴ 四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). （三）探究菱形的判定定理2 1、 提出问题：菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 2、 合作讨论 生：过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC， OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图. 3、 抽象问题 师：你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？ 生：如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 4、 讨论证法 师：如何证明□ABCD是菱形呢？（再次提醒学生从菱形的定义思考，理清思路） 生：根据菱形的定义“一组邻边相等的四边形叫作菱形”，我们只需证明平行四边形的一组邻边相等。由已知条件对角线互相垂直，则只需证BD所在直线是AC的垂直平分线即可。 5、 展示证明过程 证明 在□ABCD中，AC⊥BD，OA=OC， ∴ DB所在直线是AC的垂直平分线. ∴ DA=DC. ∴ □ABCD是菱形. 4、 展示结论： 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. （四）讲解例题，巩固定理 例3 如图，在□ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5，求AB的长. 思路引导：由□ABCD，AC=6，BD=8，求出OA，OD；而OA，OD，AD的长度关系满足勾股定理的逆定理，则知△AOD是直角三角形，即AC⊥DB，从而可得□ABCD是菱形，于是AB=AD=5. 解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=AC=3，OD=BD=4. 又∵ AD=5，满足OA +OD =AD ， ∴ △AOD是直角三角形. ∴ ∠DOA=90°，即DB⊥AC. ∴ □ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形). ∴ AB=AD=5. 三、巩固练习 1、下列条件中，能判断一个四边形是菱形的是（ ） A. 对角线相等且互相平分的四边形 B. 一组对边平行且相等、对角线垂直的四边形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形 【答案】B 2、 (遵义中考)如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若增加一个条件，使□ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D. ∠BAC=∠DAC 【答案】C 3、 (雅安中考)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm ，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为( ) A. 52cm B. 40cm C. 39cm D. 26cm 【答案】A 四、课堂总结 师问生答，ppt展示 师：判定一个四边形是菱形的方法有哪些？PPT：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 生：定义法：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形； 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 五、作业布置及指导 第70页课后练习第1、2题： 1、 画一个菱形，使它的两条对角线的长度分别为4cm，3cm. 作法指导 (1)作线段AC=4cm； (2)作线段AC的垂直平分线MN； (3)在MN上截取OB=OD=1.5cm； (4)连接AB，BC，CD，DA； 则四边形ABCD为所求作的菱形. 2、 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N . 求证：四边形BNDM是菱形. 思路引导：先由□ABCD，利用平行四边形的性质，证四边形BNDM是平行四边形；再由MN⊥BD，根据菱形的判定定理2证四边形BNDM是菱形. 证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ MD∥BN，OB=OD. ∴ ∠ADB=∠CBD，∠DMN=∠BNM. ∴ △ODM≌△OBN. ∴ BN=MD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ MN⊥BD， ∴ 四边形BNDM是菱形.
板书设计 2.6.2菱形的判定 1、 定义法：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2、判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形； 3、判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
课后反思
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
2.6.2 菱形的判定
湘教版 八年级下
教学目标
1. 掌握菱形的判定定理1、判定定理2；
2. 能灵活运用菱形的定义和判定定理判定菱形；
3. 掌握菱形的性质和判定的综合应用；
4. 提高几何审题能力、逻辑推理和几何语言表达能力.
新知导入
什么叫作菱形？
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
菱形有哪些性质？
菱形的四条边都相等，对角相等；
菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
新知讲解
如图，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？
新知讲解
如何证明这个结论呢？
思路：四条边都相等的四边形，当然邻边也相等。由菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形叫作菱形”，要证明四边形是菱形，在已知邻边相等的条件下，就需证明该四边形是平行四边形。
新知讲解
证明 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
∵ AD=BC， AB=DC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ 四边形ABCD是菱形.
又 AB=AD，
O
A
B
C
D
新知讲解
由此得到菱形的判定定理1：
四条边相等的四边形是菱形.
例2 如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2.
求证：四边形ABCD是菱形.
新知讲解
思路：由BD垂直平分AC，可得BA=BC，DA=DC，OA=OC；又∠1=∠2，即可证明△OAB≌△OCD，得AB=BC；从而得四边形ABCD四边相等，判定为菱形.
新知讲解
证明：∵ 线段BD垂直平分AC，
∵ ∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC；
∴ BA=BC，DA=DC，OA=OC；
∴ 四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
在△OAB和△OCD中，
∴ AB=BC.
∴ △OAB≌△OCD.
∴ AB=BC=CD=DA.
新知讲解
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
新知讲解
过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图.
O
A
B
C
D
新知讲解
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
O
A
B
C
D
新知讲解
如何证明□ABCD是菱形呢？
根据菱形的定义“一组邻边相等的四边形叫作菱形”，我们只需证明平行四边形的一组邻边相等。由已知条件对角线互相垂直，则只需证BD所在直线是AC的垂直平分线即可。
O
A
B
C
D
新知讲解
证明 在□ABCD中，AC⊥BD，OA=OC，
∴ DA=DC.
∴ □ABCD是菱形.
∴ DB所在直线是AC的垂直平分线.
O
A
B
C
D
新知讲解
由此得到菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
例3 如图，在□ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5，求AB的长.
新知讲解
思路：由□ABCD，AC=6，BD=8，求出OA，OD；而OA，OD，AD的长度关系满足勾股定理的逆定理，则知△AOD是直角三角形，即AC⊥DB，从而可得□ABCD是菱形，于是AB=AD=5.
O
A
B
C
D
新知讲解
解 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
又∵ AD=5，满足OA +OD =AD ，
∴ □ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
∴ ∠DOA=90°，即DB⊥AC.
∴ △AOD是直角三角形.
∴ AB=AD=5.
O
A
B
C
D
∴ OA=AC=3，OD=BD=4
.
1. 下列条件中，能判断一个四边形是菱形的是（ ）
( )
A. 对角线相等且互相平分的四边形
B. 一组对边平行且相等、对角线垂直的四边形
C. 对角线相等的平行四边形
D. 对角线相等且互相垂直的四边形
巩固练习
B
2. (遵义中考)如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若增加一个条件，使□ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
A. AB=AD
B. AC⊥BD
C. AC=BD
D. ∠BAC=∠DAC
巩固练习
C
O
A
B
C
D
3. (雅安中考)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm ，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为
( )
A. 52cm
B. 40cm
C. 39cm
D. 26cm
巩固练习
A
B
D
A
C
7.2
课堂总结
判定一个四边形是菱形的方法有哪些？
定义法：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形；
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
作业布置
第70页课后练习第1、2题：
1. 画一个菱形，使它的两条对角线的长度分别为4cm，3cm.
O
A
B
C
D
M
N
作法提示：(1)作线段AC=4cm；
(2)作线段AC的垂直平分线MN；
(3)在MN上截取OB=OD=1.5cm；
(4)连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD为所求作的菱形.
作业布置
2. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N .
求证：四边形BNDM是菱形.
思路引导：先由□ABCD，利用平行四边形的性质，证四边形BNDM是平行四边形；再由MN⊥BD，根据菱形的判定定理2证四边形BNDM是菱形.
作业布置
证明 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ MD∥BN，OB=OD.
∴ ∠ADB=∠CBD，∠DMN=∠BNM.
∴ △ODM≌△OBN.
∴ BN=MD.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
又∵ MN⊥BD，
∴ 四边形BNDM是菱形.
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