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2.7 正方形教案
主备人： 审核人： 本章课时序号：14
课 题 正方形的性质和判定 课型 新授课
教学目标 1. 掌握正方形的定义，及它与其它特殊四边形的关系； 2. 掌握正方形的性质，能运用这些性质解决问题； 3. 掌握正方形的判定方法，能判定正方形； 4. 学会三角形、四边形的综合应用； 5. 提高推理的逻辑性，培养说理的有序性.
教学重点 1. 理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法； 2. 能用正方形的性质解决问题，会判定四边形是正方形。
教学难点 1. 掌握正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与不同点； 2. 正方形的性质的应用，根据条件正确、有条理地进行正方形的判定。
教 学 活 动
一、温故知新 师问生答，PPT展示 1、 什么叫作矩形？ PPT：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 2、 矩形有哪些性质？ PPT：矩形的四个角相等，都是直角. 矩形的对角线相等. 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 3、 什么叫作菱形？ PPT：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 4、 菱形有哪些性质？ PPT：菱形的四条边都相等，对角相等； 菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 5、 判定一个四边形是矩形有哪些方法？ PPT：①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形； ②用角判定：三个角是直角的四边形是矩形； ③用对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形. 6、 判定一个四边形是菱形的方法有哪些？ PPT：菱定义法：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形； 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 二、教学新知 （一）教学正方形的概念 1、 出示问题：装修房子铺地板的砖(如下图)大都是正方形的形状，它是什么样的四边形 呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？ 2、 学生观察，交流 生1：正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 生2： 正方形既是矩形又是菱形. 3、 归纳概念 师：我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. PPT：正方形与平行四边形、矩形、菱形关系示意图 （二）探究正方形的性质 提问：你能概括出正方形的性质吗？ 生1：因为正方形既是矩形也是菱形，所以它的四个角都是直角，四条边都相等；它的对角线相等，并且互相垂直平分. 生2：因为矩形和菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，所以正方形既是中心对称图形又是轴对称图形. PPT：正方形的四条边相等，四个角都是直角. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. （三）教学例题，掌握性质 例1 如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F. 求证：DE=DF. 思路 要证DE=DF，可△ADE≌△CDF.而从正方形ABCD，由正方形的性质可以得出△ADE与△CDF全等的条件。 证明 ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AD=CD，∠A=∠DCF=90°. ∵ DF⊥DE， ∴ ∠EDF=90°，即∠1+∠3 =90°. 又∵ ∠2+∠3 =90°， ∴ ∠1 =∠2. ∴ △AED≌△CFD(ASA). ∴ DE=DF. （四）探究正方形的判定方法 1、 提出问题：观察示意图，说一说如何判断一个四边形是正方形？ 2、 学生讨论，教师引导 生1：可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等. 生2：也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角. （五）教学例题，学会判定 例2 如图， 已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形. 思路： 由正方形ABCD及AA′=BB′=CC′=DD′，得△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.从而四边形A′B′C′D′是菱形.再证菱形的一个角是直角，即可完成证明. 证明 ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB=BC=CD=DA. 又∵ AA′=BB′=CC′=DD′， 又∵ ∠A =∠B =C=∠D=90°， ∴ △AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′. ∴ A′D′=B′A′=C′B′=D′C′. ∴ 四边形A′B′C′D′是菱形. 又∵ ∠1=∠3， ∠1+∠2 =90°， ∴ ∠2 +∠3=90°. ∴ ∠D′A′B′=90°. ∴ 四边形是A′B′C′D′正方形. 三、巩固练习 1、(内江中考)下列命题中，真命题是( ) A. 对角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 2、 能判定一个四边形是正方形的条件是( ) A. 对角线相等，对边平行且相等 B. 一组对边平行，一组对角相等 C. 对角线互相垂直平分且相等 D. 一组邻边相等，对角线互相平分 【答案】C 3、 (河北中考)关于□ABCD的叙述，正确的是( ) A. 若AC⊥BC，则□ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则□ABCD是正方形 C. 若AC=BD，则□ABCD是矩形 D. 若AB=AD，则□ABCD是正方形 【答案】C 4、 (阳谷县模拟)矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( ) A. 邻边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】D 六、课堂总结 师问生答，ppt展示 1、 什么叫作正方形？ PPT：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2、 正方形有哪些性质？ PPT：正方形的四条边相等，四个角都是直角. 正方形的对角线相等，且互相垂直平分. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 3、 如何判定一个四边形是正方形？ PPT：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等. 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角. 七、作业布置及指导 第74页课后练习第1、2题： 1、 已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积. 解 如图，∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB=BC，∠B=90°. 在Rt△ABC中， ∵AB +BC =AC ，AB=BC，AC=4cm， ∴ 2AB =4 ，即AB =8. ∴ AB=2(cm). ∴ 正方形的边长是2cm，面积为8cm . 2、 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？ 答：矩形的对角线互相垂直则为菱形.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.所以一定是正方形. 第74页习题2.7第1、2、3题： 1、 在正方形ABCD的外侧作等边△DCE，求∠AEB的度数. 解 ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AD=DC，∠ADC=90°， 又∵ △DCE是等边三角形， ∴ DC=DE，∠CDE=60°. ∴ AD=DE，∠ADE=150°. ∴ ∠DEA=15°. 同理，∠CEB=15°. ∴ ∠AEB=∠CED-2∠DEA=30°. 2、 如图，将正方形ABCD各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH. 求证：四边形EFGH是正方形. 证明 ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB=BC=CD=DA. 又∵ BE=CF=DG=AH， ∴ AE=BF=CG=DH. 又∵ ∠EAH=∠FBE=∠GCF=∠HDG=90°， ∴ △EAH≌△FBE≌△GCF≌△HDG(SAS). ∴ HE=EF=FG=GH. ∴ 四边形ABCD是菱形. ∵ △EAH≌△FBE， ∴ ∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF. 又∵ ∠AEH+∠AHE=90°. ∴ ∠AEH+∠BEF=90°. ∴ ∠HEF=90°. ∴ 四边形是EFGH正方形. 3、 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G. 求证：四边形OGCF是正方形. 证明 ∵ OF⊥AC，OG⊥BC， ∴ ∠OFC=∠OGC=90°. 又 ∠C=90°， ∴ 四边形OGCF是矩形. 又∵ 点O是△ABC的角平分线AD，BE的交点， ∴ OF=OG. ∴ 四边形OGCF是正方形.
板书设计 2.7正方形的性质和判定 1、 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 2、 正方形的性质： ①正方形的四条边相等，四个角都是直角. ②正方形的对角线相等，且互相垂直平分. ③正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形. 3、 正方形的判定：①先证为矩形，再证一组邻边相等； ②先证为菱形，再证一个角是直角。
课后反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共37张PPT)
2.7 正 方 形
湘教版 八年级下
教学目标
1. 掌握正方形的定义，及它与其它特殊四边形的关系；
2. 掌握正方形的性质，能运用这些性质解决问题；
3. 掌握正方形的判定方法，能判定正方形；
4. 学会三角形、四边形的综合应用；
5. 提高推理的逻辑性，培养说理的有序性.
新知导入
矩形有哪些性质？
矩形的两组对边平行且相等.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线互相平分且相等.
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
什么叫作矩形？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
新知导入
什么叫作菱形？
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
菱形有哪些性质？
菱形的四条边都相等，对角相等；
菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
新知导入
判定一个四边形是矩形有哪些方法？
①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；
②用角判定：三个角是直角的四边形是矩形；
③用对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形.
新知导入
判定一个四边形是菱形的方法有哪些？
定义法：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形；
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
新知讲解
装修房子铺地板的砖(如下图)大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？
新知讲解
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形既是矩形又是菱形.
新知讲解
我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
平行四边形
有一个角是直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
新知讲解
你能概括出正方形的性质吗？
因为正方形既是矩形也是菱形，所以它的四个角都是直角，四条边都相等；它的对角线相等，并且互相垂直平分.
新知讲解
因为矩形和菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，所以正方形既是中心对称图形又是轴对称图形.
新知讲解
由此得出正方形的性质：
正方形的四条边相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
新知讲解
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一
组对边中点的直线都是它的对称轴.
例1 如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.
求证：DE=DF.
新知讲解
思路：
要证DE=DF，可△ADE≌△CDF.而从正方形ABCD，由正方形的性质可以得出△ADE与△CDF全等的条件。
新知讲解
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形，
∵ DF⊥DE，
∴ AD=CD，∠A=∠DCF=90°.
∴ ∠EDF=90°，即∠1+∠3 =90°.
.
∴ △AED≌△CFD(ASA).
又∵ ∠2+∠3 =90°，
∴ ∠1 =∠2.
∴ DE=DF.
新知讲解
观察示意图，说一说如何判断一个四边形是正方形？
平行四边形
有一个角是直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
新知讲解
可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.
也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.
例2 如图， 已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
新知讲解
思路：
由正方形ABCD及AA′=BB′=CC′=DD′，得△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.从而四边形A′B′C′D′是菱形.再证菱形的一个角是直角，即可完成证明.
新知讲解
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形，
又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，
∴ AB=BC=CD=DA.
∴ D′A=A′B =B′C=C′D.
.
∴ A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.
又∵ ∠A =∠B =C=∠D=90°，
∴ △AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.
∴ 四边形A′B′C′D′是菱形.
新知讲解
.
又∵ ∠1=∠3，
∠1+∠2 =90°，
∴ ∠2 +∠3=90°.
∴ ∠D′A′B′=90°.
∴ 四边形是A′B′C′D′正方形.
1. (内江中考)下列命题中，真命题是( )
A. 对角相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
巩固练习
C
2. 能判定一个四边形是正方形的条件是( )
A. 对角线相等，对边平行且相等
B. 一组对边平行，一组对角相等
C. 对角线互相垂直平分且相等
D. 一组邻边相等，对角线互相平分
巩固练习
C
3. (河北中考)关于□ABCD的叙述，正确的是( )
A. 若AC⊥BC，则□ABCD是菱形
B. 若AC⊥BD，则□ABCD是正方形
C. 若AC=BD，则□ABCD是矩形
D. 若AB=AD，则□ABCD是正方形
巩固练习
C
4. (阳谷县模拟)矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是( )
A. 邻边相等
B. 四个角都是直角
C. 对角线相等
D. 对角线互相平分
巩固练习
D
课堂总结
什么叫作正方形？
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
正方形有哪些性质？
正方形的四条边相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
课堂总结
如何判定一个四边形是正方形？
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.
作业布置
第74页课后练习第1、2题：
1. 已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积.
A
D
B
C
解 如图，∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠B=90°.
在Rt△ABC中，
∵AB +BC =AC ，AB=BC，AC=4cm，
∴ 2AB =4 ，即AB =8.
∴ AB=2.
∴ 正方形的边长是2cm，面积为8cm
.
作业布置
2. 如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？
解 矩形的对角线互相垂直则为菱形.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.所以一定是正方形.
作业布置
第74页习题2.7第1、2、3题：
1. 在正方形ABCD的外侧作等边△DCE，求∠AEB的度数.
A
D
B
C
E
作业布置
A
D
B
C
E
解 ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=DC，∠ADC=90°，
又∵ △DCE是等边三角形，
∴ DC=DE，∠CDE=60°.
∴ AD=DE，∠ADE=150°.
∴ ∠DEA=15°.
同理，∠CEB=15°.
∴ ∠AEB=∠CED-2∠DEA=30°.
作业布置
2. 如图，将正方形ABCD各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH.
求证：四边形EFGH是正方形.
新知讲解
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形，
又∵ BE=CF=DG=AH，
∴ AB=BC=CD=DA.
∴ AE=BF=CG=DH.
∴ △EAH≌△FBE≌△GCF≌△HDG(SAS).
又∵ ∠EAH=∠FBE=∠GCF=∠HDG=90°，
∴ HE=EF=FG=GH.
∴ 四边形ABCD是菱形.
新知讲解
.
∵ △EAH≌△FBE，
∴ ∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF.
又∵ ∠AEH+∠AHE=90°.
∴ ∠AEH+∠BEF=90°.
∴ ∠HEF=90°.
∴ 四边形是EFGH正方形.
作业布置
3. 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G.
求证：四边形OGCF是正方形.
作业布置
证明 ∵ OF⊥AC，OG⊥BC，
又 ∠C=90°，
∴ ∠OFC=∠OGC=90°.
∴ 四边形OGCF是矩形.
又∵ 点O是△ABC的角平分线AD，BE的交点，.
∴ OF=OG.
∴ 四边形OGCF是正方形.
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