2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册第六章杨辉三角的性质与应用课件(共15张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册第六章杨辉三角的性质与应用课件(共15张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 454.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-02 08:30:06 | ||
图片预览
文档简介
(共15张PPT)
杨辉三角的性质与应用
第六章 计数原理
目录
知识讲解
知识讲解
在探究 (a＋b)n 的展开式的二项式系数性质时，我们曾把系数写成一张表（图 1），借助它发现了系数的一些规律．事实上，在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表．所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示（图 2）．我们称这个表为杨辉三角．
知识讲解
(a＋b)1………………1 1
(a＋b)2……………1 2 1
(a＋b)3…………1 3 3 1
(a＋b)4………1 4 6 4 1
(a＋b)5……1 5 10 10 5 1
(a＋b)6…1 6 15 20 15 6 1
图 1
一
一
一
左积
右隅
二
一
一
三
三
一
一
四
四
六
一
一
五
五
十
十
一
一
六
六
十五
十五
二十
一
一
本积
商除
平方
立方
三乘
四乘
五乘
命实而除之
以廉乘商方
中藏者皆廉
右袤乃隅算
左袤乃积数
图 2
知识讲解
杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法．杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约11世纪）曾用过．由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（B. Pascal，1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题．下面让我们一起来探索吧！
知识讲解
一、探究的内容：杨辉三角的性质与应用
（一）杨辉三角的性质
1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连一连，算一算，写出你发现的结论．
例如：
（1）结合图 1 和图 2，可以发现，杨辉三角的第 n 行的第 r 个数可以表示为 ，第 n 行就是 (a＋b)n 的展开式的二项式系数，如图 3 所示．
知识讲解
第 0 行 1
第 1 行 1 1
第 2 行 1 2 1
第 3 行 1 3 3 1
第 4 行 1 4 6 4 1
第 5 行 1 5 10 10 5 1
第 6 行 1 6 15 20 15 6 1
第 n－1 行 1 1
第 n 行 1 1
图 3
知识讲解
（2）观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰都是由数字 1 组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加．
如图 4 所示，2＝1＋1，3＝1＋2，4＝1＋3，6＝3＋3，．一般地，有
＝＋． ①
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
1
1
5
6
15
20
15
6
1
1
图 4
知识讲解
2．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明．
例如，对于①式，可按如下方式进行证明．
因为
＋＝＋＝[r＋(n－r)]＝，
又 ＝，所以 ＝＋．
上式是杨辉三角最基本的性质，也是二项式系数和组合数的性质．正因为杨辉三角中的数与开方、解方程、组合数学、概率论都有密切的关系，所以历代数学家从不同角度研究它的性质，例如帕斯卡在《论算术三角》一书中就给出了 19 条性质．你也来试一试吧，看能发现和证明多少性质！
知识讲解
（二）杨辉三角的应用
在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题等．
例如，开方古算题（出自杨辉《详解九章算法》）：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何．
在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方．因此，这个问题相当于解方程 x4＝1 336 336．
杨辉三角（图 2）中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方．
知识讲解
你可以查阅相关书籍或上网搜索相关资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古代数学的独特风格．
再如，数列古算题（出自杨辉《详解九章算法》）：
三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何．
在我国古代，很多数学家研究数列的问题，并取得了辉煌的成就．就像通过研究“三角垛”这样的一类问题——垛积问题，发现了一系列数列的求和公式．上述三角垛问题一般化后，就相当于如下将圆球堆成三角垛的问题：
底层是每边堆 n 个圆球的三角形（如图 5），向上逐层每边减少 1 个，顶层是 1 个，求总数．
图 5
……
……
……
……
知识讲解
利用杨辉三角，就可以解决以上问题，并获得每层圆球数所构成的数列的一般求和公式．你可以试一试．
除此之外，你还可以通过查阅相关书籍或上网搜索相关资料，从杨辉三角出发，一步步探究，拓展到更多类数列的问题．
二、对探究活动的要求
以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动．建议按如下步骤完成：
1．小组集体讨论探究方案，确定研究思路．
2．小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告．
3．小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告．
4．全班进行成果交流、评价．
知识讲解
三、研究报告的参考形式
杨辉三角的性质与应用
______年级______班
完成时间：_____________
1．课题组成员及分工
2．发现的数学结论及发现过程概述
知识讲解
3．证明思路及其形成过程描述
4．结论的证明或否定
5．杨辉三角的应用举例
6．收获与体会
谢谢观看
杨辉三角的性质与应用
第六章 计数原理
目录
知识讲解
知识讲解
在探究 (a＋b)n 的展开式的二项式系数性质时，我们曾把系数写成一张表（图 1），借助它发现了系数的一些规律．事实上，在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表．所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示（图 2）．我们称这个表为杨辉三角．
知识讲解
(a＋b)1………………1 1
(a＋b)2……………1 2 1
(a＋b)3…………1 3 3 1
(a＋b)4………1 4 6 4 1
(a＋b)5……1 5 10 10 5 1
(a＋b)6…1 6 15 20 15 6 1
图 1
一
一
一
左积
右隅
二
一
一
三
三
一
一
四
四
六
一
一
五
五
十
十
一
一
六
六
十五
十五
二十
一
一
本积
商除
平方
立方
三乘
四乘
五乘
命实而除之
以廉乘商方
中藏者皆廉
右袤乃隅算
左袤乃积数
图 2
知识讲解
杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法．杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约11世纪）曾用过．由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（B. Pascal，1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题．下面让我们一起来探索吧！
知识讲解
一、探究的内容：杨辉三角的性质与应用
（一）杨辉三角的性质
1．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连一连，算一算，写出你发现的结论．
例如：
（1）结合图 1 和图 2，可以发现，杨辉三角的第 n 行的第 r 个数可以表示为 ，第 n 行就是 (a＋b)n 的展开式的二项式系数，如图 3 所示．
知识讲解
第 0 行 1
第 1 行 1 1
第 2 行 1 2 1
第 3 行 1 3 3 1
第 4 行 1 4 6 4 1
第 5 行 1 5 10 10 5 1
第 6 行 1 6 15 20 15 6 1
第 n－1 行 1 1
第 n 行 1 1
图 3
知识讲解
（2）观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰都是由数字 1 组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加．
如图 4 所示，2＝1＋1，3＝1＋2，4＝1＋3，6＝3＋3，．一般地，有
＝＋． ①
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
1
1
5
6
15
20
15
6
1
1
图 4
知识讲解
2．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明．
例如，对于①式，可按如下方式进行证明．
因为
＋＝＋＝[r＋(n－r)]＝，
又 ＝，所以 ＝＋．
上式是杨辉三角最基本的性质，也是二项式系数和组合数的性质．正因为杨辉三角中的数与开方、解方程、组合数学、概率论都有密切的关系，所以历代数学家从不同角度研究它的性质，例如帕斯卡在《论算术三角》一书中就给出了 19 条性质．你也来试一试吧，看能发现和证明多少性质！
知识讲解
（二）杨辉三角的应用
在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题等．
例如，开方古算题（出自杨辉《详解九章算法》）：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何．
在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方．因此，这个问题相当于解方程 x4＝1 336 336．
杨辉三角（图 2）中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方．
知识讲解
你可以查阅相关书籍或上网搜索相关资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古代数学的独特风格．
再如，数列古算题（出自杨辉《详解九章算法》）：
三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何．
在我国古代，很多数学家研究数列的问题，并取得了辉煌的成就．就像通过研究“三角垛”这样的一类问题——垛积问题，发现了一系列数列的求和公式．上述三角垛问题一般化后，就相当于如下将圆球堆成三角垛的问题：
底层是每边堆 n 个圆球的三角形（如图 5），向上逐层每边减少 1 个，顶层是 1 个，求总数．
图 5
……
……
……
……
知识讲解
利用杨辉三角，就可以解决以上问题，并获得每层圆球数所构成的数列的一般求和公式．你可以试一试．
除此之外，你还可以通过查阅相关书籍或上网搜索相关资料，从杨辉三角出发，一步步探究，拓展到更多类数列的问题．
二、对探究活动的要求
以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动．建议按如下步骤完成：
1．小组集体讨论探究方案，确定研究思路．
2．小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告．
3．小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告．
4．全班进行成果交流、评价．
知识讲解
三、研究报告的参考形式
杨辉三角的性质与应用
______年级______班
完成时间：_____________
1．课题组成员及分工
2．发现的数学结论及发现过程概述
知识讲解
3．证明思路及其形成过程描述
4．结论的证明或否定
5．杨辉三角的应用举例
6．收获与体会
谢谢观看