2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册6.3二项式定理课件 (共23张PPT)

(共23张PPT)
6.3　二项式定理
第六章　计数原理
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
五、本章知识结构
一、上节回溯
区别
排列与排列数
无条件限制的排列
有条件
限制的排列
组合与组合数
排列数公式及性质
排列的概念
联系
证明
化简求值
无条件限制的组合
有条件
限制的组合
组合数公式及性质
组合的概念
证明
化简求值
二、知识讲解
6.3.1　二项式定理
　　我们知道，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．
（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律
（2）根据你发现的规律，你能写出 (a＋b)4 的展开式吗？
（3）进一步地，你能写出 (a＋b)n 的展开式吗？
探究
二、知识讲解
　　我们先来分析 (a＋b)2 的展开过程．根据多项式乘法法则，
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a(a＋b)＋b(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2．
　　可以看到，(a＋b)2 是 2 个 (a＋b) 相乘，只要从一个 (a＋b) 中选一项（选 a 或 b），再从另一个 (a＋b) 中选一项（选 a 或 b），就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 的展开式共有 ×＝22 项，而且每一项都是 a2－kbk (k＝0，1，2) 的形式．
二、知识讲解
　　下面我们再来分析一下形如 a2－kbk 的同类项的个数．
　　当 k＝0 时，a2－kbk＝a2，这是由 2 个 (a＋b) 中都不选 b 得到的．因此，a2出现的次数相当于从 2 个 (a＋b) 中取 0 个 b（都取 a）的组合数 ，即 a2 只有 1 个．
　　当 k＝1 时，a2－kbk＝ab，这是由 1 个 (a＋b) 中选 a，另 1 个 (a＋b) 中选 b得到的．由于 b 选定后，a 的选法也随之确定，因此，ab 出现的次数相当于从 2 个 (a＋b) 中取 1 个 b 的组合数 ，即 ab 共有 2 个．
　　当 k＝2 时，a2－kbk＝b2，这是由 2 个 (a＋b) 中都选 b 得到的．因此，b2 出现的次数相当于从 2 个 (a＋b) 中取 2 个 b 的组合数 ，即 b2 只有 1 个．
　　由上述分析可以得到 (a＋b)2＝a2＋ab＋b2．
二、知识讲解
　　 仿照上述过程，你能利用计数原理，写出 (a＋b)3，(a＋b)4 的展开式吗？
？
思考
　　从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数 n，我们有如下猜想：
（1）
　　下面我们对上述猜想的正确性予以说明．
　　由于 (a＋b)n 是 n 个 (a＋b) 相乘，每个 (a＋b) 在相乘时有两种选择，选 a或 b，而且每个 (a＋b) 中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a＋b)n 的展开式共有 2n 项，其中每一项都是 an－kbk (k＝0，1，，n) 的形式．
(a＋b)n＝an＋an－1b1＋＋an－kbk＋＋bn，n∈N*．
二、知识讲解
　　对于每个 k (k＝0，1，2，，n)，对应的项 an－kbk 是由 (n－k) 个 (a＋b) 中选 a，另外 k 个 (a＋b) 中选 b 得到的．由于 b 选定后，a 的选法也随之确定，因此，an－kbk 出现的次数相当于从 n 个 (a＋b) 中取 k 个 b 的组合数 ．这样， (a＋b)n 的展开式中，an－kbk 共有 个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式．
　　公式（1）叫做二项式定理（binomial theorem），右边的多项式叫做 (a＋b)n 的二项展开式，其中各项的系数 (k＝0，1，2，，n) 叫做二项式系数．式中的 an－kbk 叫做二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项为展开式的第 k＋1 项：Tk＋1＝an－kbk．
　　在二项式定理中，若设 a＝1，b＝x，则得到公式：
(1＋x)n＝＋x＋x2＋＋xk＋＋xn．
二、知识讲解
例1　求 6 的展开式．
解：根据二项式定理，
6＝(x＋x－1)6
＝x6＋x5x－1＋x4x－2＋x3x－3＋x2x－4＋x1x－5＋x－6
＝x6＋6x4＋15x2＋20＋15x－2＋6x－4＋x－6．
二、知识讲解
例2　（1）求 (1＋2x)7 的展开式的第 4 项的系数；
（2）求 6 的展开式中 x2 的系数．
解：（1）(1＋2x)7 的展开式的第 4 项是
T3＋1＝×17－3×(2x)3＝×23x3＝35×8×x3＝280x3．
（2）6 的展开式的通项是 (2)6－kk＝(－1)k26－kx3－k．
根据题意，得 3－k＝2，k＝1．
因此，x2 的系数是 (－1)×25×＝－192．
二、知识讲解
6.3.2　二项式系数的性质
　　用计算工具计算 (a＋b)n 的展开式的二项式系数，并填入表 6.3-1．
　　通过计算、填表，你发现了什么规律？
探究
(a＋b)n 的展开式的二项式系数
表 6.3-1
2
n
1
3
4
5
6
二、知识讲解
　　从表 6.3-1 可以发现，每一行中的系数具有对称性．除此以外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写成如图 6.3-1 所示的形式．
　　　　(a＋b)1……………………………………1 1
　　　　(a＋b)2…………………………………1 2 1
　　　　(a＋b)3………………………………1 3 3 1
　　　　(a＋b)4……………………………1 4 6 4 1
　　　　(a＋b)5…………………………1 5 10 10 5 1
　　　　(a＋b)6………………………1 6 15 20 15 6 1
图 6.3-1
　　观察图 6.3-1，你还能发现哪些规律？
二、知识讲解
　　对于 (a＋b)n 的展开式的二项式系数
，，，，，
我们还可以从函数的角度分析它们． 可看成以 r 为自变量的函数 f (r)，其定义域是
{0，1，2，，n}．
对于确定的n，我们还可以画出它的图象．例如，当 n＝6 时，函数 f (r)＝ (r∈{0，1，2，3，4，5，6}) 的图象是 7 个离散点，如图 6.3-2 所示．
f (r)
r
O
2
1
3
4
5
6
5
15
10
20
图 6.3-2
二、知识讲解
　　分析图 6.3-1 和图 6.3-2，可以得到二项式系数的以下性质．
1．对称性
　　与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由 ＝ 得到．
　　直线 r＝ 将函数 f (r)＝ 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
　　（1）观察图 6.3-2，你发现了什么规律
　　（2）请你分别画出 n＝7，8，9 时函数 f (r)＝ 的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律？
探究
二、知识讲解
2．增减性与最大值
　　因为 ＝＝，
即 ＝，
所以，当 >1，即 k< 时， 随 k 的增加而增大；由对称性知，当 k> 时， 随 k 的增加而减小．当 n 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当 n 是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值．
二、知识讲解
3．各二项式系数的和
　　已知
(1＋x)n＝＋x＋x2＋＋xn，
令 x＝1，得
2n＝＋＋＋＋．
这就是说，(a＋b)n 的展开式的各二项式系数的和等于 2n．
二、知识讲解
例3　求证：在 (a＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
分析：奇数项的二项式系数的和为
＋＋＋，
偶数项的二项式系数的和为
＋＋＋．
由于
(a＋b)n＝an＋an－1b＋an－2b2＋＋bn
中的 a，b 可以取任意实数，因此我们可以通过对 a，b 适当赋值来得到上述两个系数和．
三、小结
二项式定理
二项式系数的性质
通项
二项式系数
二项展开式
各二项式系数的和
增减性与最大值
对称性
1．写出 (p＋q)5 的展开式．
答案：(p＋q)5＝p5＋p4q1＋p3q2＋p2q3＋p1q4＋q5．
四、练习
2．求 (2a＋3b)6 的展开式的第 3 项．
答案：(2a)4(3b)2＝2160a4b2．
3．写出 n 的展开式的第 r＋1 项．
答案：()n－rr＝rx．
四、练习
4．填空题
（1）＋＋＋＋＝__________；
（2）＝__________．
答案：（1）1024；（2）．
四、练习
5．证明：＝2n－1（n 是偶数）．
答案：因为 ＝2n，
＝，
所以
＝()＋()
＝2()
＝2n．
当 n 是偶数时，＝＝2n－1．
五、本章知识结构
二项式定理
组合，组合数公式
应用
排列，排列数公式
两个计数原理
谢谢观看