2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册6.2排列与组合课件 (共44张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册6.2排列与组合课件 (共44张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-02 08:38:33 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
6.2 排列与组合
第六章 计数原理
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
区别
分类加法计数原理
应用
概念
分步乘法计数原理
应用
概念
二、知识讲解
6.2.1 排列
问题1 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
此时，要完成的一件事是“选出 2 名同学参加活动，1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：
第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种选法；
第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的 2 人中去选，有 2 种选法．
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为
3×2＝6．
二、知识讲解
这 6 种不同的选法如图 6.2-1 所示．
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：
从 3 个不同的元素 a，b，c 中任意取出 2 个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
不同的排列方法种数为
3×2＝6．
上午
下午
相应的选法
甲
乙
丙
甲
丙
甲
乙
丙
乙
甲乙
甲丙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
图 6.2-1
问题 1 中的“顺序”是什么？
？
二、知识讲解
问题2 从 1，2，3，4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：
第 1 步，确定百位上的数字，从 1，2，3，4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字
二、知识讲解
只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1，2，3，4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
4×3×2＝24．
因而共可得到 24 个不同的三位数，如图 6.2-2 所示．
1
2
3
百位
4
2
3
4
3
4
个位
十位
2
4
2
3
1
3
图 6.2-2
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
二、知识讲解
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143，
213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342，
412，413，421，423，431，432．
同样，问题 2 可以归结为：
从 4 个不同的元素 a，b，c，d 中任意取出 3 个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
二、知识讲解
abc，abd，acb，acd，adb，adc，
bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，
cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，
dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．
不同的排列方法种数为
4×3×2＝24．
问题 2 中的“顺序”是什么？
？
上述问题 1，2 的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
？
思考
二、知识讲解
问题 1 和问题 2 都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数．
一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列（arrangement）．
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．例如，在问题 1 中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．又如，在问题 2 中，123 与 134 的元素不完全相同，它们是不同的排列；123 与 132 虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
二、知识讲解
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有 6 支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛 1 场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意 2 支队之间进行的 1 场比赛，可以看作是从该组 6 支队中选取2 支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列．
二、知识讲解
例2 （1）一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3 名同学每人从 5 盘不同的菜中取 1 盘菜，可看作是从这 5 盘菜中任取3 盘，放在 3 个位置（给 3 名同学）的一个排列；而 3 名同学每人从食堂窗口的 5 种菜中选 1 种，每人都有 5 种选法，不能看成一个排列．
二、知识讲解
6.2.2 排列数
前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式．
我们把从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示．
例如，前面问题 1 是求从 3 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，表示为．已经算得
＝3×2＝6．
问题 2 是求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数，表示为 ．已经算得
＝4×3×2＝24．
二、知识讲解
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 ．根据前面的求解经验，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图 6.2-3 所示，从 n 个不同元素中取出 2 个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数 ．
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 (m≤n) 是多少
探究
第 1 位
第 2 位
n 种
(n－1) 种
图 6.2-3
二、知识讲解
现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：
第 1 步，填第 1 个位置的元素，可以从这 n 个不同元素中任选 1 个，有 n种选法；
第 2 步，填第 2 个位置的元素，可以从剩下的 (n－1) 个元素中任选 1 个，有 (n－1) 种选法．
根据分步乘法计数原理，2 个空位的填法种数为
＝n(n－1)．
同理，求排列数 可以按依次填 3 个空位来考虑，有
＝n(n－1)(n－2)．
二、知识讲解
一般地，求排列数 可以按依次填 m 个空位来考虑：
假定有排好顺序的 m 个空位，如图 6.2-4 所示，从 n 个不同元素中取出 m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数 ．
…
第 1 位
第 2 位
第 3 位
第 m 位
n 种
(n－1) 种
(n－2) 种
(n－m＋1) 种
图 6.2-4
二、知识讲解
填空可以分为 m 个步骤完成：
第 1 步，从 n 个不同元素中任选 1 个填在第 1 位，有 n 种选法；
第 2 步，从剩下的 (n－1) 个元素中任选 1 个填在第 2 位，有 (n－1) 种选法；
第 3 步，从剩下的 (n－2) 个元素中任选 1 个填在第 3 位，有 (n－2) 种选法；
第 m 步，从剩下的 [n－(m－1)] 个元素中任选 1 个填在第 m 位，有 (n－m＋1) 种选法．
二、知识讲解
根据分步乘法计数原理，m 个空位的填法种数为
n(n－1)(n－2)(n－m＋1)．
这样，我们就得到公式
＝ n(n－1)(n－2)(n－m＋1)．
这里，m，n∈N*，并且 m≤n．这个公式叫做排列数公式．
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素的所有排列的个数．例如，
＝5×4＝20，
＝8×7×6＝336．
你能说一下排列数公式的特点吗？
？
二、知识讲解
特别地，我们把 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列．这时，排列数公式中 m＝n，即有
＝n(n－1)(n－2)××3×2×1．
也就是说，将 n 个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积．正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．于是，n 个元素的全排列数公式可以写成
＝ n!．
另外，我们规定，0!＝1．
二、知识讲解
例3 计算：（1）；（2）；（3）；（4）×．
解：根据排列数公式，可得
（1）＝7×6×5＝210；
（2）＝7×6×5×4＝840；
（3）＝＝7×6×5＝210；
（4）×＝6×5×4×3×2×1＝6!＝720 ．
二、知识讲解
由例 3 可以看到，＝＝；×＝6!＝，即 ＝＝．观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
？
思考
事实上，
＝ n(n－1)(n－2)(n－m＋1)
＝＝＝．
因此，排列数公式还可以写成
＝．
二、知识讲解
例4 用 0～9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在 0～9 这 10 个数字中，因为 0 不能在百位上，而其他 9 个数字可以在任意数位上，因此 0 是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．
百位
十位
个位
种
种
图 6.2-5
二、知识讲解
百位
十位
个位
种
图 6.2-6
百位
十位
个位
种
百位
十位
个位
种
0
0
二、知识讲解
6.2.3 组合
在 6.2.1 节问题 1 的 6 种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2 种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙 2 名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有 2 种方法．而从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，就只需考虑将选出的 2 名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在
从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法 这一问题与 6.2.1 节的问题 1 有什么联系与区别？
探究
二、知识讲解
6.2.1节问题 1 的 6 种选法中，将选出的 2 名同学作为一组的选法就只有如下 3种情况：
甲乙，甲丙，乙丙．
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从 3 个不同元素中取出 2 个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
这就是我们要研究的问题．
一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）．
二、知识讲解
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素，这是它们的共同点．但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图 6.2-7 所示．
你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
？
思考
二、知识讲解
甲乙
组合
图 6.2-7
排列
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
由此，6.2.1 节问题 1 的 6 个排列可以分成每组有 2 个不同排列的 3 个组，也就是上面探究问题的 3 个组合．
二、知识讲解
校门口停放着 9 辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有 3 辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选 3 辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选 3 辆给 3 位同学，有多少种不同的方法？
？
思考
二、知识讲解
例5 平面内有 A，B，C，D 共 4 个点．
（1）以其中 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中 2 个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．
利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
？
思考
二、知识讲解
6.2.4 组合数
类比排列数，我们引进组合数概念：
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示．
例如，从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数表示为 ，从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合数表示为 ．
前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？
探究
二、知识讲解
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数
＝3．
运用同样的方法，我们来求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合数 ．设这 4 个元素为 a，b，c，d，那么从中取出 3 个元素的排列数 ＝24，以“元素相同”为标准将这 24 个排列分组，一共有 4 组，如图 6.2-8 所示，因此组合数 ＝4．
二、知识讲解
组合
排列
a b c
图 6.2-8
a c d
a b c b a c c a b
a c b b c a c b a
b c d
a b d
a b d b a d d a b
a d b b d a d b a
a c d c a d d a c
a d c c d a d c a
b c d c b d d b c
b d c c d b d c b
二、知识讲解
观察图 6.2-8，也可以这样理解求“从 4 个元素中取出 3 个元素的排列数 ”：
第 1 步，从 4 个元素中取出 3 个元素作为一组，共有 种不同的取法；
第 2 步，将取出的 3 个元素作全排列，共有 种不同的排法．
于是，根据分步乘法计数原理，有
＝·，
即
＝＝4．
二、知识讲解
同样地，求“从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数 ”，可以看作由以下两个步骤得到：
第 1 步，从 n 个不同元素中取出 m 个元素作为一组，共有 种不同的取法；
第 2 步，将取出的 m 个元素作全排列，共有 种不同的排法．
根据分步乘法计数原理，有
＝·．
因此，
这里 n，m∈N*，并且 m≤n．这个公式叫做组合数公式．
＝＝．
二、知识讲解
因为
＝ ，
所以，上面的组合数公式还可以写成
＝．
另外，我们规定 ＝1．
二、知识讲解
例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：根据组合数公式，可得
（1）＝＝＝120；（2）＝＝＝＝120；（3）＝＝＝1；（4）＝1．
观察例 6 的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
？
思考
二、知识讲解
分析：（1）从 100 件产品中任意抽出 3 件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从 2 件次品中抽出 1 件，再从 98 件合格品中抽出 2 件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
从 2 件次品中抽出 1 件的抽法数可以是 吗？
？
例7 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件．
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
三、小结
区别
排列与排列数
无条件限制的排列
有条件
限制的排列
组合与组合数
排列数公式及性质
排列的概念
联系
证明
化简求值
无条件限制的组合
有条件
限制的组合
组合数公式及性质
组合的概念
证明
化简求值
1．写出：
（1）用 0～4 这 5 个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
（2）从 a，b，c，d 中取出 2 个字母的所有排列．
答案：（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43；（2）ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc．
四、练习
四、练习
2．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；（2）；（3）－15；（4）．
答案：（1）11880；（2）40320；（3）0；（4）6．
四、练习
3．求证：
（1）＝n；（2）－8＋7＝．
答案：（1）＝，n＝n·＝＝，
所以 ＝n．
（2）－8＋7＝8!－8×7!＋7×6!＝8!－8!＋7!＝7!＝．
四、练习
4．甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况．
答案：（1）甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁；
（2）甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，甲丁，丁甲，乙丙，丙乙，乙丁，丁乙，丙丁，丁丙．
四、练习
5．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；（2）；（3）－；（4）3－2．
答案：（1）15；（2）36；（3）20；（4）148．
6．求证：＝．
答案：＝＝＝．
谢谢观看
6.2 排列与组合
第六章 计数原理
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
区别
分类加法计数原理
应用
概念
分步乘法计数原理
应用
概念
二、知识讲解
6.2.1 排列
问题1 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
此时，要完成的一件事是“选出 2 名同学参加活动，1 名同学参加上午的活动，另 1 名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：
第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种选法；
第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的 2 人中去选，有 2 种选法．
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为
3×2＝6．
二、知识讲解
这 6 种不同的选法如图 6.2-1 所示．
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：
从 3 个不同的元素 a，b，c 中任意取出 2 个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
不同的排列方法种数为
3×2＝6．
上午
下午
相应的选法
甲
乙
丙
甲
丙
甲
乙
丙
乙
甲乙
甲丙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
图 6.2-1
问题 1 中的“顺序”是什么？
？
二、知识讲解
问题2 从 1，2，3，4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
显然，从 4 个数字中，每次取出 3 个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：
第 1 步，确定百位上的数字，从 1，2，3，4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；
第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字
二、知识讲解
只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．
根据分步乘法计数原理，从 1，2，3，4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
4×3×2＝24．
因而共可得到 24 个不同的三位数，如图 6.2-2 所示．
1
2
3
百位
4
2
3
4
3
4
个位
十位
2
4
2
3
1
3
图 6.2-2
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
二、知识讲解
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143，
213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342，
412，413，421，423，431，432．
同样，问题 2 可以归结为：
从 4 个不同的元素 a，b，c，d 中任意取出 3 个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
二、知识讲解
abc，abd，acb，acd，adb，adc，
bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，
cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，
dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．
不同的排列方法种数为
4×3×2＝24．
问题 2 中的“顺序”是什么？
？
上述问题 1，2 的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
？
思考
二、知识讲解
问题 1 和问题 2 都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数．
一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列（arrangement）．
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．例如，在问题 1 中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．又如，在问题 2 中，123 与 134 的元素不完全相同，它们是不同的排列；123 与 132 虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
二、知识讲解
例1 某省中学生足球赛预选赛每组有 6 支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛 1 场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意 2 支队之间进行的 1 场比赛，可以看作是从该组 6 支队中选取2 支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列．
二、知识讲解
例2 （1）一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
分析：3 名同学每人从 5 盘不同的菜中取 1 盘菜，可看作是从这 5 盘菜中任取3 盘，放在 3 个位置（给 3 名同学）的一个排列；而 3 名同学每人从食堂窗口的 5 种菜中选 1 种，每人都有 5 种选法，不能看成一个排列．
二、知识讲解
6.2.2 排列数
前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式．
我们把从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 表示．
例如，前面问题 1 是求从 3 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，表示为．已经算得
＝3×2＝6．
问题 2 是求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数，表示为 ．已经算得
＝4×3×2＝24．
二、知识讲解
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 ．根据前面的求解经验，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图 6.2-3 所示，从 n 个不同元素中取出 2 个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数 ．
从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 (m≤n) 是多少
探究
第 1 位
第 2 位
n 种
(n－1) 种
图 6.2-3
二、知识讲解
现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：
第 1 步，填第 1 个位置的元素，可以从这 n 个不同元素中任选 1 个，有 n种选法；
第 2 步，填第 2 个位置的元素，可以从剩下的 (n－1) 个元素中任选 1 个，有 (n－1) 种选法．
根据分步乘法计数原理，2 个空位的填法种数为
＝n(n－1)．
同理，求排列数 可以按依次填 3 个空位来考虑，有
＝n(n－1)(n－2)．
二、知识讲解
一般地，求排列数 可以按依次填 m 个空位来考虑：
假定有排好顺序的 m 个空位，如图 6.2-4 所示，从 n 个不同元素中取出 m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数 ．
…
第 1 位
第 2 位
第 3 位
第 m 位
n 种
(n－1) 种
(n－2) 种
(n－m＋1) 种
图 6.2-4
二、知识讲解
填空可以分为 m 个步骤完成：
第 1 步，从 n 个不同元素中任选 1 个填在第 1 位，有 n 种选法；
第 2 步，从剩下的 (n－1) 个元素中任选 1 个填在第 2 位，有 (n－1) 种选法；
第 3 步，从剩下的 (n－2) 个元素中任选 1 个填在第 3 位，有 (n－2) 种选法；
第 m 步，从剩下的 [n－(m－1)] 个元素中任选 1 个填在第 m 位，有 (n－m＋1) 种选法．
二、知识讲解
根据分步乘法计数原理，m 个空位的填法种数为
n(n－1)(n－2)(n－m＋1)．
这样，我们就得到公式
＝ n(n－1)(n－2)(n－m＋1)．
这里，m，n∈N*，并且 m≤n．这个公式叫做排列数公式．
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素的所有排列的个数．例如，
＝5×4＝20，
＝8×7×6＝336．
你能说一下排列数公式的特点吗？
？
二、知识讲解
特别地，我们把 n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列．这时，排列数公式中 m＝n，即有
＝n(n－1)(n－2)××3×2×1．
也就是说，将 n 个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数 1 到 n 的连乘积．正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．于是，n 个元素的全排列数公式可以写成
＝ n!．
另外，我们规定，0!＝1．
二、知识讲解
例3 计算：（1）；（2）；（3）；（4）×．
解：根据排列数公式，可得
（1）＝7×6×5＝210；
（2）＝7×6×5×4＝840；
（3）＝＝7×6×5＝210；
（4）×＝6×5×4×3×2×1＝6!＝720 ．
二、知识讲解
由例 3 可以看到，＝＝；×＝6!＝，即 ＝＝．观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
？
思考
事实上，
＝ n(n－1)(n－2)(n－m＋1)
＝＝＝．
因此，排列数公式还可以写成
＝．
二、知识讲解
例4 用 0～9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在 0～9 这 10 个数字中，因为 0 不能在百位上，而其他 9 个数字可以在任意数位上，因此 0 是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．
百位
十位
个位
种
种
图 6.2-5
二、知识讲解
百位
十位
个位
种
图 6.2-6
百位
十位
个位
种
百位
十位
个位
种
0
0
二、知识讲解
6.2.3 组合
在 6.2.1 节问题 1 的 6 种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2 种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙 2 名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有 2 种方法．而从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，就只需考虑将选出的 2 名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在
从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法 这一问题与 6.2.1 节的问题 1 有什么联系与区别？
探究
二、知识讲解
6.2.1节问题 1 的 6 种选法中，将选出的 2 名同学作为一组的选法就只有如下 3种情况：
甲乙，甲丙，乙丙．
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从 3 个不同元素中取出 2 个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
这就是我们要研究的问题．
一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）．
二、知识讲解
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素，这是它们的共同点．但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图 6.2-7 所示．
你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
？
思考
二、知识讲解
甲乙
组合
图 6.2-7
排列
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
由此，6.2.1 节问题 1 的 6 个排列可以分成每组有 2 个不同排列的 3 个组，也就是上面探究问题的 3 个组合．
二、知识讲解
校门口停放着 9 辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有 3 辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选 3 辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选 3 辆给 3 位同学，有多少种不同的方法？
？
思考
二、知识讲解
例5 平面内有 A，B，C，D 共 4 个点．
（1）以其中 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中 2 个点为端点的线段共有多少条？
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．
利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
？
思考
二、知识讲解
6.2.4 组合数
类比排列数，我们引进组合数概念：
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 表示．
例如，从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数表示为 ，从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合数表示为 ．
前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？
探究
二、知识讲解
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数
＝3．
运用同样的方法，我们来求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合数 ．设这 4 个元素为 a，b，c，d，那么从中取出 3 个元素的排列数 ＝24，以“元素相同”为标准将这 24 个排列分组，一共有 4 组，如图 6.2-8 所示，因此组合数 ＝4．
二、知识讲解
组合
排列
a b c
图 6.2-8
a c d
a b c b a c c a b
a c b b c a c b a
b c d
a b d
a b d b a d d a b
a d b b d a d b a
a c d c a d d a c
a d c c d a d c a
b c d c b d d b c
b d c c d b d c b
二、知识讲解
观察图 6.2-8，也可以这样理解求“从 4 个元素中取出 3 个元素的排列数 ”：
第 1 步，从 4 个元素中取出 3 个元素作为一组，共有 种不同的取法；
第 2 步，将取出的 3 个元素作全排列，共有 种不同的排法．
于是，根据分步乘法计数原理，有
＝·，
即
＝＝4．
二、知识讲解
同样地，求“从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数 ”，可以看作由以下两个步骤得到：
第 1 步，从 n 个不同元素中取出 m 个元素作为一组，共有 种不同的取法；
第 2 步，将取出的 m 个元素作全排列，共有 种不同的排法．
根据分步乘法计数原理，有
＝·．
因此，
这里 n，m∈N*，并且 m≤n．这个公式叫做组合数公式．
＝＝．
二、知识讲解
因为
＝ ，
所以，上面的组合数公式还可以写成
＝．
另外，我们规定 ＝1．
二、知识讲解
例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
解：根据组合数公式，可得
（1）＝＝＝120；（2）＝＝＝＝120；（3）＝＝＝1；（4）＝1．
观察例 6 的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
？
思考
二、知识讲解
分析：（1）从 100 件产品中任意抽出 3 件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从 2 件次品中抽出 1 件，再从 98 件合格品中抽出 2 件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
从 2 件次品中抽出 1 件的抽法数可以是 吗？
？
例7 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件．
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
三、小结
区别
排列与排列数
无条件限制的排列
有条件
限制的排列
组合与组合数
排列数公式及性质
排列的概念
联系
证明
化简求值
无条件限制的组合
有条件
限制的组合
组合数公式及性质
组合的概念
证明
化简求值
1．写出：
（1）用 0～4 这 5 个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
（2）从 a，b，c，d 中取出 2 个字母的所有排列．
答案：（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43；（2）ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc．
四、练习
四、练习
2．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；（2）；（3）－15；（4）．
答案：（1）11880；（2）40320；（3）0；（4）6．
四、练习
3．求证：
（1）＝n；（2）－8＋7＝．
答案：（1）＝，n＝n·＝＝，
所以 ＝n．
（2）－8＋7＝8!－8×7!＋7×6!＝8!－8!＋7!＝7!＝．
四、练习
4．甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠、亚军的可能情况．
答案：（1）甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁；
（2）甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，甲丁，丁甲，乙丙，丙乙，乙丁，丁乙，丙丁，丁丙．
四、练习
5．先计算，然后用计算工具检验：
（1）；（2）；（3）－；（4）3－2．
答案：（1）15；（2）36；（3）20；（4）148．
6．求证：＝．
答案：＝＝＝．
谢谢观看