章章通高中数学北师大版（2019）必修第二册立体几何初步C （word含解析）

立体几何初步
一、单选题
1．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4，，，则该等腰四面体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
2．在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
3．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在四棱锥中，底面为正方形，且平面，则直线与直线所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．且，则
B．且，则
C．，则
D． 则
6．若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
7．在正方体中，，E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C．4 D．
8．以下三视图对应几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知正三棱柱中，为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面， B．和到平面的距离相等
C．存在点，使得平面 D．存在点，使得
10．在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（ ）．
A．
B．平面平面ABC
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
11．如图，点P在棱长为1的正方体的对角线上运动，过点P作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于E，F两点．设，，则（ ）
A．动点E运动形成的轨迹长度为
B．线段EF运动形成的图形面积为
C．
D．当时，
12．如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是_____.
14．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若，，则此球的体积为__________.
15．已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为___________.
16．如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l//平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线.其中成立的结论是________.(写出所有成立结论的序号)
四、解答题
17．判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
18．如图，是单位正方体，红、黑两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”，红蚂蚁的爬行路线是，黑蚂蚁的爬行路线是，它们都依照如下规则：所爬行的第段与第n段所在直线必须是异面直线．设红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时红、黑两只蚂蚁的距离是多少？
19．如图，在三棱柱中，．
(1)证明：；
(2)若，求三棱柱的体积．
20．如图，在长方体的各面所在的平面中，分别写出与直线AB，，AD平行的平面.
21．画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
22．如图，四棱锥中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：平面DCF．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
将等腰四面体补成长方体求解.
【详解】
如图，，
将等腰四面体补成长方体，
设该长方体的长、宽、高分别是，，，
则
解得，，，
则该等腰四面体的体积为：
．
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
根据鳖臑的性质，结合四面体内切球的性质、棱锥的体积公式、棱锥和球的表面积公式进行求解即可.
【详解】
解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，，所以，，，，设四面体内切球的球心为，则，
所以，
因为四面体的表面积为，
又因为四面体的体积，
所以，所以，
故选：B
【点睛】
关键点睛：利用棱锥的等积性进行求解是解题的关键.
3．A
【解析】
【分析】
构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.
【详解】
取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.
故选：A
4．A
【解析】
【分析】
根据异面直线所成角的定义，转化为相交直线所成角，如图，即（或其补角），中，利用余弦定理即可求解.
【详解】
连接交于点O，取的中点E，连接．不妨设．因为四边形是正方形，所以O是的中点，又E是的中点，所以．所以直线与直线所成角即为（或其补角）．因为平面，又平面，所以．在中，，所以；在中，，所以，所以；在中，，所以，即直线与直线所成角的余弦值是．
故选:A．
5．B
【解析】
【分析】
根据线面、面面平行的知识和线线、面面垂直的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
解：对于A选项，且，则或异面或相交，故错误；
对于B选项，且，则，故正确；
对于C选项，，则与可以为平行关系，故错误；
对于D选项，根据，面面平行的判定定理得，时，，故错误；
故选：B
6．D
【解析】
【分析】
根据条件求得圆锥的底面半径和母线长，即可求解圆锥的侧面积.
【详解】
设圆锥的轴截面的边长为，则，则，
得圆锥底面半径，母线，
则圆锥的侧面积.
故选：D
7．D
【解析】
【分析】
先作出平面截正方体的截面，再求出截面的高，由梯形面积公式得出截面面积.
【详解】
取的中点为M，连接EM，，则，且，则．又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为．
故选：D．
8．B
【解析】
【分析】
根据三视图判断空间几何体的形状，结合棱柱和棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】
如图所示，在各棱长都为3的正三棱柱中，D，E是上的两个三等分点，则三视图对应的几何体为三棱柱割去三棱锥和，所以体积为．
故选：B
9．AB
【解析】
【分析】
连接交于点，连接，证得，进而得到平面，可判定A正确；证得，结合斜线与平面所成的角相等，可判断B正确；假设存在点，使得平面，得到，令，结合，可判定C、D错误.
【详解】
对于A中，如图所示，连接交于点，连接，
因为为正三棱柱，所以其侧面都是矩形，所以为的中点，
又因为是的中点，所以，
由平面，且平面，所以平面，所以A正确；
对于B中，因为交于点，，，所以，
因为与与平面成角相等，所以和到平面的距离相等，
所以B正确；
对于C中，假设存在点，使得平面，
因为平面，所以，
令，可得，
因为和所成角为锐角，和所成角为锐角，
所以，所以，
所以不成立，所以C错误；
对于D中，由C知，所以不存在点，使得，所以D错误.
故选：AB.
10．ABC
【解析】
【分析】
通过证明平面来判断AB选项的正确性；通过计算三棱锥的体积来判断C选项的正确性；求出三棱锥的外接球的表面积来判断D选项的正确性.
【详解】
因为，，
所以，所以，
过D作于E．
因为平面平面ABC，平面平面，
所以平面ABC，所以，
假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，
所以，这样与矛盾，
所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，
所以，
由于平面，
所以平面平面ABC，所以A，B正确；
三棱锥的体积为，所以C正确；
设三角形ABC的外心为F，外接圆半径为，
过F作平面ABC，
设O为外接球的球心，则，，
所以，
所以，解得，
所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D不正确．
故选：ABC
11．ABD
【解析】
【分析】
作出线段EF运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可．
【详解】
线段EF运动形成的图形如图所示：
动点E运动形成的轨迹长度为，故A正确；
线段EF运动形成的图形为平行四边行其面积为，故B正确；
当，则，故C错误；
当时，有，则，故D正确；
故选：ABD
12．BD
【解析】
【分析】
由正方体的对称性即可得解.
【详解】
由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形.
故选：BD
13．
【解析】
【分析】
根据圆锥的几何特征即可求解.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，则母线长为，所以，则侧面积.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
先求得的外接圆的半径，再由勾股定理求得球半径，根据球的体积公式可求得答案.
【详解】
解：设的外接圆的圆心为，半径为，球的半径为，球心为，
底面为直角三角形，故其外接圆圆心在斜边中点处，则，
又，在中，.
故答案为：.
15．
【解析】
【分析】
由题设正三角形的边长为，得到底面圆的半径为，圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解.
【详解】
由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，
设正三角形的边长为，可得，解得，
∴底面圆的半径为，圆锥的高为，
所以该圆锥的体积为.
故答案为：.
16．①②③
【解析】
【分析】
①根据线面平行的性质证明出线线平行，进而证明出l//平面ABCD；②结合l∥EF，EF⊥AC，故证得l⊥AC，③l∥EF∥BD，而与平面BCC1B1不垂直，故证明出结论；④得到l是过点M且与直线EF平行的定直线.
【详解】
连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，
∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，
又平面MEF∩平面MPQ＝l，
∴PQ∥l，同理可证：l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，而与平面BCC1B1不垂直∴直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立.
故答案为：①②③
17．(1)错误，理由见解析；
(2)错误，理由见解析.
【解析】
【分析】
依据线面平行判定定理去判断命题是否正确即可.
(1)
若，，则或与平面相交，故不能得到.判断错误.
(2)
若，，则或，故不能得到.判断错误.
18．
【解析】
【分析】
根据题意确定红、黑蚂蚁的行走路线，最终确定红、黑两只蚂蚁都走完2005段后各停在的位置，进而确定距离.
【详解】
由正方体特点及题意可知：蚂蚁是走完一段，在每个端点只有一条路可走，故红黑蚂蚁的路线唯一确定，由题意及推理得：红蚂蚁的行走路线为，回到A点后继续重复之前的路线.
同理黑蚂蚁的路线为：，回到A点后继续重复之前的路线，红、黑蚂蚁走2005段：，故红、黑蚂蚁走完之后分别停在处，即此时红黑蚂蚁的距离为线段的长度，为.
19．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，由，得到，再由，证明平面即可；
（1）解法一：设F为的中点，连接，易证，进而证明平面，然后由求解；解法二：由，得到，进而证明平面，然后由求解..
(1)
证明：如图，连接，
由，可得，
故，故．
又，
所以平面，
因为平面，所以，
又，所以．
(2)
解法一：如图，设F为的中点，连接，
因为，
所以为等边三角形，
所以，
又，所以．
在中，，
则，所以，
故，且．
又平面平面，
所以，而，
故平面，
所以三棱柱的体积．
解法二：因为，
所以为等边三角形，
所以．
由（1）知，所以，
所以，所以，
所以平面．
则，
，
，
.
20．直线平行的平面是平面和平面，直线平行的平面是平面和平面，直线平行的平面是平面和平面.
【解析】
【分析】
结合已知，根据线面平行的判定定理，即可求得答案.
【详解】
平面平面，
平面，
同理可证：平面
与直线平行的平面是平面和平面；
，
平面平面，
平面，
，
同理可证：平面
与直线平行的平面是平面和平面；
平面平面
平面
同理可证：平面
与直线平行的平面是平面和平面.
21．详见解析
【解析】
【分析】
利用斜二测画法求解.
【详解】
如图所示：
22．证明见解析
【解析】
【分析】
以线面平行判定定理去证明即可.
【详解】
连接OF
O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，则
△中，，，则
又平面，平面，则平面DCF．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页