第18章平行四边形练习题2020－2021学年宁夏部分地区人教版数学八年级下学期期末试题选编（Word版含解析）

第18章：平行四边形练习题
一、单选题
1．（2021·宁夏盐池·八年级期末）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
2．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）八年级期末）下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是（　　）
A．一组对边相等且平行的四边形
B．两条对角线互相平分的四边形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形
D．两组对角分别相等的四边形
3．（2021·宁夏大武口·八年级期末）在平行四边形中，的角平分线与边所在直线交于点，若，，则平行四边形的周长为（ ）
A．22 B．16 C．22或18 D．24或16
4．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）八年级期末）在 ABCD中，若∠B＝70°，则∠D＝（　　）
A．35° B．70° C．110° D．130°
5．（2021·宁夏原州·八年级期末）如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．（2021·宁夏红寺堡·八年级期末）如图,菱形ABCD的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是(　　)
A．24 B．16 C． D．
7．（2021·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D的坐标为（ ）
A．(4，5) B．(5，4) C．(5，3) D．(4，3)
8．（2021·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．ABDC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
9．（2021·宁夏大武口·八年级期末）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF的值为（ ）
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
10．（2021·宁夏盐池·八年级期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．12 B．16 C．20 D．24
11．（2021·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点， F是AB上的一点， EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm．矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长是（ ）
A．5 cm B．6cm C．7cm D．8cm
12．（2021·宁夏·同心县韦州中学八年级期末）如图将一矩形纸片对折后再对折，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
13．（2021·宁夏红寺堡·八年级期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
14．（2021·宁夏西吉·八年级期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被三条直线所截，内错角相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
二、填空题
15．（2021·宁夏红寺堡·八年级期末）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
（2021·宁夏红寺堡·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．
17．（2021·宁夏大武口·八年级期末）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是的对角线，点在上，，，则的度数是______．
18．（2021·宁夏兴庆·八年级期末）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则CE的长是___．
19．（2021·宁夏原州·八年级期末）菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____．
20．（2021·宁夏同心·八年级期末）在中，，，则斜边的中线长为______________．
21．（2021·宁夏西吉·八年级期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是______．
22．（2021·宁夏原州·八年级期末）正方形的面积为9cm2，则它的对角线长为______cm．
23．（2021·宁夏西吉·八年级期末）菱形的周长是8，高为1，则菱形两邻角的度数比是 ___．
24．（2021·宁夏盐池·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AB＝2，∠AOB＝60°，则对角线AC的长为___．
25．（2021·宁夏同心·八年级期末）如图，矩形ABCD中，DE平分∠BDC，EF⊥BD于点F，若∠ABD＝60°，AB，则EF的长为____．
26．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）八年级期末）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线，若，，则的长是______
27．（2021·宁夏盐池·八年级期末）如图，菱形ABCD对角线AC=6cm，BD=8cm，AH⊥BC于点H，则AH的长为_______．
28．（2021·宁夏同心·八年级期末）在边长为2的正方形中，点E是的中点，于点F，则的长度________．
三、解答题
29．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）八年级期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
30．（2021·宁夏原州·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
31．（2021·宁夏盐池·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．
32．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）八年级期末）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点上．若，，求BF的长．
33．（2021·宁夏大武口·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
34．（2021·宁夏银川二十四中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
35．（2021·宁夏西吉·八年级期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．
（1）求证：；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形是菱形；并给予证明．
36．（2021·宁夏原州·八年级期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF，求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．
37．（2021·宁夏兴庆·八年级期末）如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若去掉已知条件的“∠DAB＝60°，上述的结论还成立吗 ”若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
38．（2021·宁夏银川二十四中八年级期末）在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，A B′和CD相交于点O．求证：OA=OC．
39．（2021·宁夏红寺堡·八年级期末）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交于点E，DF∥AC交于AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．
40．（2021·宁夏红寺堡·八年级期末）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．
求证： DE=BF．
41．（2021·宁夏原州·八年级期末）如图，四边形和都是平行四边形.求证：四边形是平行四边形.
42．（2021·宁夏西吉·八年级期末）已知：如图，在□ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．
43．（2021·宁夏大武口·八年级期末）如图，在平行四边形中，，垂足分别为点E，F，求证：．
44．（2021·宁夏同心·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，连接EF，分别与BC，AD交于点G，H，EG＝FH．求证：BE＝DF．
45．（2021·宁夏兴庆·八年级期末）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，BE＝DF．试判定四边形AECF的形状，并说明理由．
46．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）八年级期末）如图，在矩形中，是的中点，连接交延长线于点．求证：．
47．（2021·宁夏红寺堡·八年级期末）如图，E、F分别为△ABC的边BC、AB的中点，延长EF到D，使得DF＝EF，连接DA、DB、AE．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AB＝AC，试说明四边形AEBD是矩形．
48．（2021·宁夏同心·八年级期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连结，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求证：平分．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】
直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断；
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【点睛】
此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．
2．C
【分析】
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
A、∵一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或等腰梯形，
∴选项C符合题意；
D、∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定.熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
3．C
【分析】
分两种情况讨论，当在边上时，当在直线上时，根据平行四边形的性质，可得，，，推出，根据角平分线的性质的出，推出，求出，再根据平行四边形周长求出结论即可．
【详解】
解：如图，当在边上时，
平行四边形，
，，，
，
的角平分线与边所在直线交于点，
，
，
又，
，
，
，
平行四边形的周长是：，
如图，当在直线上时，
同理可得：
平行四边形的周长是：，
故选：
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的角平分线，等腰三角形的判定等知识，综合运用这些知识进行计算是解题的关键．
4．B
【分析】
根据平行四边形对角相等的性质求解 ．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝70°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
5．C
【分析】
由题意，图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对称图形的性质得到解答．
【详解】
由题意，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，所以由中心对称图形的性质可得：
所求的面积=．
故选C．
【点睛】
本题考查中心对称图形的判定和性质，掌握中心对称图形的性质是解题关键．
6．C
【分析】
由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，
OA=AC=3，
OB=BD=2，
AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB==，
∴菱形的周长为4．
故选C．
7．B
【分析】
首先根据菱形的性质和点的坐标求出AD＝AB＝BC＝5，再利用勾股定理求出OA的长度，进而得到点D的坐标．
【详解】
解：∵菱形ABCD的顶点A在y轴上，B（﹣3，0），C（2，0），
∴AB＝AD＝BC，OB＝3，OC＝2，
∴AB＝AD＝BC＝OB+OC＝5，
∴AD＝AB＝CD＝5，
∴OA＝＝＝4，
∴点D的坐标为（5，4）．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
8．C
【分析】
根据三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理得到四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定定理解答即可．
【详解】
解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，
∴EH＝BD，EH∥BD，FG＝BD，FG∥BD，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当AC⊥BD时，AC⊥EH，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的中位线定理和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．D
【分析】
首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OD=，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案．
【详解】
解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S矩形ABCD=AB BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，
∴S△AOD=S矩形ABCD=3，OA=OD=，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=3，
∴PE+PF==2.4．
故选：D．
【点睛】
此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．D
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【详解】
解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．B
【分析】
先证∠AEF=∠ECD，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，然后结合题目中已知的线段关系求解．
【详解】
解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD，
在△AEF与△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
∴AE=CD，
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）=32，即2（2AE+4）=32，
整理得：2AE+4=16
解得：AE=6（cm）．
故选择：B
【点睛】
本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．C
【分析】
由图可知三角形为直角三角形，展开后为菱形．
【详解】
解：如图，展开后图形为菱形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
13．B
【分析】
根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
【详解】
解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意；
C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
D、对角线平分对角，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形．
14．D
【分析】
根据平行四边形的判定、全等三角形的判定方法、平行线的性质、菱形的判定分别判断即可．
【详解】
解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故为假命题；
B、两边及其中一边的对角分别相等满足SSA，则两个三角形不一定全等，故为假命题；
C、两条平行线被三条直线所截，内错角相等，故为假命题；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握三角形全等的判定方法，垂径定理，平行四边形的判定，平行线的性质是解题的关键．
15．3
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
16．AF=CE（答案不唯一）．
【详解】
根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.
添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.
17．24°
【分析】
根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°，
∴∠BAC＝24°，
故答案为：24°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
18．
【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AD＝BC＝EB＝5，根据勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根据勾股定理可求CE的长．
【详解】
解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，
在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，
在Rt△EDC中，CE＝．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理及勾股定理等知识，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
19．20
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【详解】
解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD．
∴△AOB是直角三角形．
∴．
∴此菱形的周长为：5×4=20
故答案为：20．
20．
【分析】
根据题意画出图形，然后由勾股定理可求得斜边，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可求得答案．
【详解】
解：根据题意画图如下：
∵在中，，，
∴
∵是斜边上的中线
∴．
故答案是：
【点睛】
本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
21．菱形
【分析】
连接对角线AC、BD，由三角形中位线定理得：EF=BD，GH=BD，EH=AC，GF=AC，根据矩形对角线相等得：EF=GH=EH=GF，则中点四边形EFGH是菱形．
【详解】
解：如图所示：E、F、G、H分别是矩形ABCD四条边的中点，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，GH是△BCD的中位线，EH是△ACD的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴EF=BD，GH=BD，EH=AC，GF=AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=GH=EH=GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∴顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是菱形；
故答案为：菱形．
【点睛】
本题考查了中点四边形、矩形的性质、菱形的判定，三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
22．
【分析】
根据正方形的面积为cm2，所以正方形的边长为cm，因此正方形的对角线为cm．
【详解】
解：正方形的面积为cm2，
正方形的边长为cm，
正方形的对角线为cm．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解题的关键是正确运用勾股定理．
23．5：1
【分析】
先根据菱形的性质求出边长AB＝2，取AB的中点F，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＋∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
取AB的中点F，
∴EF=AF=AB
∴AE＝EF=AF，
∴∠BAE=60°，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1，
故答案是：5：1．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，添加辅助线构造等边三角形是解决问题的关键．
24．4
【分析】
根据矩形的性质可得OA=OB、AC=2OA,再结合∠AOB=60°可得三角形AOB为等边三角形，则OA=AB=2,最后根据 AC=2OA解答即可．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
∴OA=OB，AC=2OA
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=2×2=4．
故填4．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25．1
【分析】
根据矩形性质可得DC⊥BC，AB∥DC，根据角平分线的性质可得EF=CE，∠CDE=30°，根据勾股定理即可得CE的长，进而可得EF的长．
【详解】
解：在矩形ABCD中，DC⊥BC，AB∥DC，
∴∠BDC=∠ABD=60°，
∵DE平分∠BDC，EF⊥BD，
∴EF=CE，∠CDE=30°，
∴DE=2CE，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得：即
∵DC=AB=，
∴CE=1．
则EF的长为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
26．16
【分析】
首先证明四边形ADGE是菱形，得到，再利用勾股定理计算出AO，从而得到AG的长．
【详解】
解：连接EG，设与相交于点，如下图：
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴
∴
∴四边形ADGE是平行四边形
又∵
∴平行四边形ADGE是菱形
∴，．
在中，，
∴
故答案为16．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ADGE为菱形是解决问题的关键．
27．cm
【分析】
根据菱形的性质求出BC=5，然后根据菱形ABCD面积等于BC AH进一步求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC==5cm，
∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AH，
∴BC×AH=24，
∴AH=cm．
故答案为：cm．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
28．
【分析】
根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，EF=BF，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
29．（1）证明见解析；（2）2.
【详解】
分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.
详解：（1）证明：∵∥，
∴
∵平分
∴，
∴
∴
又∵
∴
又∵∥，
∴四边形是平行四边形
又∵
∴是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点．
∴．，，
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴．
在中，．为中点．
∴．
点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.
30．解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
【详解】
试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
31．见解析
【分析】
由平行四边形的性质知AB=CD，再有中点定义得CE=BE，从而可以由ASA定理证明△CED≌△BEF，则CD=BF，故AB=BF
【详解】
证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，，
∴△CED≌△BEF（ASA），
∴CD=BF，
∴AB=BF．
考点：1．平行四边形的性质 2．三角形全等的判定定理
32．4．
【分析】
先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC-BF=9-BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．
【详解】
解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上
∴BC'=AB=3，CF=C'F
在Rt△BC'F中，C'F2=BF2+C'B2，
∴CF2=（9-CF）2+9
∴CF=5
∴BF=4．
【点睛】
本题考查折叠问题及勾股定理的应用，同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
33．（1）B（12，4）；（2）；（3）
【分析】
（1）由四边形是平行四边形，得到，，于是得到 ，，可求出点的坐标；
（2）根据四边形是平行四边形，得到，即，解方程即可得到结论；
（3）如图2，可分三种情况：①当时，②当时，③当 时分别讨论计算即可．
【详解】
解：如图1，过作于，过作于 ，
四边形是平行四边形，
，，
，的坐标分别为， ，
，，
，
；
（2）设点运动秒时，四边形是平行四边形，
由题意得：，
点是的中点，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
当秒时，四边形是平行四边形；
（3）如图2，①当时，过作于 ，
则，
，
，
又，的坐标分别为，，
∴,
即有，当点与点重合时，，
；
②当时，过作于 ，
则，
，
；
③当时，过作于 ，
则，，
，；
综上所述：当是等腰三角形时，点的坐标为， ，，，．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
34．（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形，见解析
【分析】
（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形及菱形的性质与判定是解题的关键．
35．（1）见解析；（2）补充的条件是：，证明见解析．（答案不唯一）
【分析】
（1）由四边形是平行四边形，可得，再证明，从而可得答案；
（2）补充的条件是：．（答案不唯一） 由四边形是平行四边形，可得，，再证明，证明四边形是平行四边形，从而可得结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
又∵，
∴．
（2）补充的条件是：．（答案不唯一）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
36．见解析
【分析】
（1）首先根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，从而利用AAS判定△AED≌△CFD．
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定得出即可．
【详解】
证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C．
在△AED和△CFD中：∵，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
（2）∵△AED≌△CFD
∴AD=CD．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形．
37．（1）证明见解析（2）成立,理由见解析
【分析】
（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．
（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四边形EAFC是平行四边形．
38．见解析.
【分析】
由在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，即可求得∠DCA＝∠B′AC，则可证得OA＝OC．
【详解】
∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠B′AC，
∴OA＝OC．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质，解题关键是注意数形结合思想的应用．
39．见解析.
【分析】
先由题意得到AEDF是平行四边形，再由题意结合菱形的判定即可得到答案.
【详解】
连接EF，作图如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠2=∠3．
∵AD平分∠BAC
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴ AEDF为菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定、菱形的判定，解答本题的关键是掌握菱形的判定解答．
40．证明见解析.
【详解】
试题分析：由同角的余角相等知，∠FAB=∠DAE，由正方形的性质知，AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，则ASA证得△AFB≌△ADE即可证得DE=BF．
试题解析：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°
∵EA⊥AF，
∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴DE=BF.
41．证明见解析.
【分析】
首先根据平行四边形的性质，可得AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF，进而得出AD∥EF，AD＝EF，即可判定.
【详解】
解：∵四边形ABCD和BEFC都是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，BC∥EF，BC＝EF．
∴AD∥EF，AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
【点睛】
此题主要考查利用平行四边形的性质进行平行四边形的判定，熟练掌握，即可解题.
42．见解析
【详解】
试题分析：由平行四边形的性质得到邻角互补，再根据角平分线的性质得到两锐角互余，得到直角，于是可得结论．
试题解析：证明：在 ABCD中，
∵AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC，
∴∠BAF=∠DAF，∠ABE=∠CBE，
∴∠FAB+∠ABE= (∠DAB+∠ABC)=90°，
∴∠HEF=∠AEB=90°，
同理∠EFG=∠HGF=90°，
∴四边形MFNE是矩形．
43．见解析
【分析】
根据平行四边形的性质可得AD=CB，∠DAE=∠BCF，从而结合题意证明△ADE≌△BCF，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．
44．见解析
【分析】
由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE＝DF．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠F，∠EBG＝∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（AAS），
∴BE＝DF．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
45．平行四边形，理由见解析
【分析】
根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，从而BE＝DF，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可．
【详解】
解：四边形AECF是平行四边形．
∵AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，
∴OB-BE＝OD-DF， 即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分、对角线互相平分的四边形是平行四边形是解答本题的关键．
46．见解析
【分析】
由题意根据矩形的性质以及全等三角形的判定与性质进行分析即可求证.
【详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，，
是的中点，
，
在和中，
．
，而
．
【点睛】
本题考查矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.
47．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由已知可得：EF是△ABC的中位线，则可得EF∥AC，EF=AC，又由DF=EF，易得AC=DE，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ACED是平行四边形；
（2）由（1）可得四边形AEBD是平行四边形，又由AB=AC，AC=DE，易得AB=DE，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形AEBD是矩形．
【详解】
证明：（1）∵E、F分别为△ABC的边BC、BA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，EFAC，
∵DF＝EF，
∴EFDE，
∴AC＝DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵DF＝EF，AF＝BF，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AC＝DE，
∴AB＝DE，
∴四边形AEBD是矩形．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的性质与判定，矩形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
48．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再由DE⊥AB，可得结论；
（2）根据矩形的性质求出∠BFC=90°，根据勾股定理求出BC，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．
【详解】
解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵CF=AE，
∴CD-CF=AB-AE，
∴DF=BE且DC∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）∵四边形DEBF为矩形，
∴∠BFC=90°，
∵CF=6，BF=8，
∴BC==10，
∴AD=BC=10，
∴AD=DF=10，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF平分∠DAB．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
答案第1页，共2页