空间向量及其加减运算
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.对于空间向量,有以下命题:
①单位向量的模为1,但方向不确定;
②如果一个向量和它的相反向量相等,那么该向量的模为0;
③若a∥b,b∥c,则a∥c;
④若ABCD-A'B'C'D'为平行六面体,则=.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,能与向量相等的向量有( )
A.0个 B.3个
C.6个 D.9个
3.在空间四边形OABC中,+-等于( )
A. B. C. D.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为向量的是
( )
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②③④
5.(2013·成都高二检测)设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·=0,
·=0,·=0,则△BCD的形状是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.无法确定
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量表达式-+的化简结果是 .
7.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,=a,=b,=c,则= ,
= .
8.化简:-+--= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图,几何体ABCDEF -A'B'C'D'E'F'为正六棱柱,在顶点连接的向量中,
(1)与相等的向量有哪些
(2)与,,相等吗
10.如图,已知空间四边形ABCD中,向量=a,=b,=c,若M为BC的中点,G为△BCD的重心,试用a,b,c表示向量.
11.(能力挑战题)线段AB,AC,AD不共面,连接BC,CD,DB,取AB,BC,CD,DA的中点E,F,G,H,如图所示,试判断四边形EFGH的形状,并用向量的相关知识给出证明.
答案解析
1.【解析】选D.①为真命题.模为1的向量叫单位向量,但方向不唯一;②为真命题.相反向量的模相等,且方向相反,所以如果一个向量和它的相反向量相等,那么该向量为零向量,模为0;③为真命题.平行向量的方向要么方向相同,要么方向相反,具有传递性;④为真命题.与的方向相同,且大小相等,所以是相等向量.
2.【解析】选B.相等向量的模相等,并且方向相同,所以,与相等的向量有,,,共3个.
3.【解析】选C.+-=-=+=.
4.【解析】选D.①
5.【解析】选C.·=(-)·(-)=·-·-·+2=
2>0,同理·>0,·>0,所以△BCD是锐角三角形.
6.【解析】-+
=-+
=+=.
答案:
7.【解析】=++
=-++=-a+b+c.
=++
=-++
=-c+a+b
=a+b-c
答案:-a+b+c a+b-c
8.【解题指南】根据向量的减法运算法则将-化为,根据加法运算将--化为-即可解决.
【解析】原式=(+)-(+)
=0-=-=.
答案:
9.【解析】(1)与相等的向量有,,.
(2)由正六棱柱的性质可知,BD与B'D',AE,A'E'分别平行且相等,
∴===.
【举一反三】若本例条件不变,所求问题改为:与平行的向量有多少个
【解析】可知在顶点连接的线段中,与AD平行的有BC,B'C',A'D',F'E',FE共5条.
根据平行向量的定义可知,与平行的向量共有
5×2+1=11(个).
10.【解析】在△BCD中,注意到三角形重心的性质,
得=+=c+
=c+(+)
=c+(-+-)
=c+(a+b-2c)
=(a+b+c).
【拓展提升】用已知向量表示指定向量的方法
用已知向量来表示指定向量时,常结合具体图形.通过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三角形或四边形中,通过向量的运算性质将指定向量表示出来,然后转化为已知向量的线性式.
11.【解析】四边形EFGH是平行四边形.证明如下:
∵=+=(+)=,
=+=(+)=,
∴=.
又E点不在上,
∴EH∥FG且EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
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第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
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情
景
导
学
探
新
知
*
*
*
大小
方向
大小
有向线段
|a|
*
任意
0
0
1
相反
－a
相等
*
b＋a
a＋(b＋c)
*
向量
相同
相反
0
*
*
*
互相平行或重合
共线向量
平行
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*
同一个平面
p＝x a＋y b
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合
作
探
究
释
疑
难
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空间向量的有关概念
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空间向量的线性运算
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共线问题
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向量共面问题
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课
堂
小
结
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素
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C
A
B
D
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A
B空间向量的数乘运算
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知向量a=4e1-e2,b=e1-e2,则( )
A.a,b一定共线
B.a,b不一定共线
C.只有当e1,e2不共线时,a,b才共线
D.只有当e1,e2为不共线的非零向量时,a,b才共线
2.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点( )
A.一定不共面 B.一定共面
C.不一定共面 D.无法判断
3.(2013·重庆高二检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且=α+β,则( )
A.α=,β=-1 B.α=-,β=1
C.α=1,β=- D.α=-1,β=
4.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( )
A.点P一定在直线AB上
B.点P一定不在直线AB上
C.点P可能在直线AB上,也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
5.若a,b是平面α内的两个向量,则( )
A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0
C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
D.若a,b不共线,则α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.非零向量e1,e2不共线,若向量ke1+e2与e1+ke2共线,则k= .
7.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z= .
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=,若=x+y(+),则x= ,y= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图,已知四边形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.
10.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外一点O,当=2--时,点P是否与A,B,C共面
11.(能力挑战题)如图所示,若P为平行四边形ABCD所在平面外一点,点H为PC上的点,且=,点G在AH上,且=m,若G,B,P,D四点共面,求m的值.
答案解析
1.【解析】选A.∵a=4e1-e2,b=e1-e2,
∴a=4(e1-e2)=4b,∴a,b一定共线.
2.【解析】选B.∵++=1,根据向量共面定理,
∴A,B,C,P四点共面.
3.【解析】选A.=++
=++
=-+(-)+(-)
=(1-)-=-=α+β,
∴α=,β=-1.
4.【解题指南】考查点P是否在直线AB上,只需考查与是否共线.解决本题的关键是利用条件m+n=1把判断三点共线问题转化为判断与是否共线.
【解析】选A.已知m+n=1,则m=1-n.
=(1-n)+n=-n+n
-=n(-) =n,
因为≠0,
所以和共线,即点A,P,B共线,故选A.
5.【解析】选D.当a与b是共线向量时,A不正确;当a与b是相反向量,λ=μ≠0时,λa+μb=0,故B不正确;若a,b不共线,则平面α内的向量都可用a,b表示,对空间向量则不一定适合,故C不正确,D正确,故选D.
6.【解析】∵ke1+e2与e1+ke2共线,
∴存在实数λ使得ke1+e2=λ(e1+ke2)成立.
∵e1,e2不共线,
∴∴k=±1.
答案:±1
【举一反三】若本题条件改为:设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=2e1+
ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,且A,B,D三点共线.所求问题不变,结果如何
【解析】∵A,B,D三点共线,
∴向量与共线,于是存在实数λ,使=λ,即=λ(-),
∴2e1+ke2=λ[(2e1-e2)-(e1+3e2)] (2-λ)e1+(k+4λ)e2=0,
∵e1,e2不共线,
∴2-λ=0且k+4λ=0,得k=-8.
答案:-8
7.【解析】∵A,B,C,D共面,
∴=+λ+μ
=+λ(-)+μ(-)
=(1-λ-μ)+λ+μ
=(λ+μ-1)-λ-μ
=2x+3y+4z,
∴2x+3y+4z=(λ+μ-1)+(-λ)+(-μ)
=-1.
答案:-1
8.【解析】=+=+
=+(+)=+(+),对比系数可得x=1,y=.
答案:1
9.【证明】=++
=++
=(+)++(+)
=++++
=+.
又与不共线,根据共面向量定理,可知,,共面.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
【拓展提升】利用向量法证明线面平行的技巧
(1)用向量法证明直线与平面平行一般有两种方法:一是证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行;二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面.
(2)线面平行的证明方法包含着证明空间线与线,面与面平行的方法.
【变式备选】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.求证:平面EFG∥平面AB1C.
【证明】设=a,=b,=c,
则=+=(a+b),
=a+b=2,
∴∥,
=+=b-c=(b-c),
=+=b-c=2,
∴∥.
又∵EG与EF相交,AC与B1C相交,
∴平面EFG∥平面AB1C.
10.【解析】若P与A,B,C共面,则存在惟一的实数对(x,y)使=x+y,于是对平面ABC外一点O,有-=x(-)+y(-),
∴=(1-x-y)+x+y,比较原式得
此方程组无解,这样的x,y不存在,
所以A,B,C,P四点不共面.
11.【解析】连接BD,BG.
∵=-,=,
∴=-,∵=+,
∴=+-=-++.
∵=,∴=,
∴=(-++)
=-++.
又∵=-,
∴=-++,
∵=m,
∴=m·=-++,
∵=-+=-+,
∴=(1-)+(-1)+.
又∵G,B,P,D四点共面,
∴1-=0,m=.
即m的值是.
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