安徽省皖南地区2021-2022学年高二下学期2月开学调研考试数学试题（Word版含答案）

皖南地区2021-2022学年高二下学期2月开学调研考试
数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列的一个通项公式为，且，则实数a等于（ ）
A．3 B．1 C． D．0
2．与直线垂直的直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知等比数列中，，，则（ ）
A． B．9 C． D．15
4．已知椭圆的两个焦点为，过点的直线交椭圆于A，B两点，若的周长为16，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B． C． D．或
6．过点作圆的切线，切点为B，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．已知长方体中，，E是的中点，则异面直线与DE夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，，若，则k的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线的焦点为F，点P在C上，且，若点M的坐标为，且，则抛物线C的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
12．已知正方体的棱长为3，点E在上底面内（不包含边界），若，则AE与平面所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线经过的定点坐标是______．
14．已知数列的前n项和为，，，则______．
15．已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，则______．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若且的周长为，则双曲线C的离心率为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（12分）
已知直线与抛物线．
（1）若直线l与抛物线C相切，求实数b的值；
（2）若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程．
19．（12分）
如图，在多面体ABCEF中，和均为等边三角形，D是AC的中点，，．
（1）证明：；
（2）若平面平面ACE，求异面直线AE与BF所成角的余弦值．
20．（12分）
已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
21．（12分）
如图，在正方体中，E为棱上一点．
（1）若E为棱的中点，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
22．（12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点满足，且的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设E、F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为，直线OF的斜率为，求当为何值时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．
皖南地区2021-2022学年高二下学期2月开学调研考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 因为，，所以，即．
2．D 由题知的斜率为，故直线l的斜率为，倾斜角为150°．
3．B 设等比数列的公比为q，依题意，，又，故．
4．B 由椭圆定义知：，所以．
5．C 由题得，所以，所以．
6．D 由题知圆的圆心为，半径为2，
故．
7．B 建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，∴
∴异面直线与DE夹角的余弦值为．
8．C 因为抛物线的焦点，所以双曲线的焦点坐标为，
因为两曲线有公共点A，设点A位于第一象限，由轴可得，
由，解得，，即该双曲线的离心率为，
9．B 因为，得，解得，
因为得，解得．
10．A 圆的圆心为，半径为r，其关于的对称圆方程为：，根据题意，圆与圆有交点．又两圆圆心距，要满足题意，只需，解得：．
11．A 设P为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以C的方程为或．
12．C ，即，所以，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
因为点E为在四边形内，以为圆心，1为半径的四分之一圆上，可设，且，所以，，．设平面的法向量，
则，不妨令，则．设AE与平面所成角为，
则，
当且仅当时，有最大值．
13． 把直线l的方程改写成：，
由方程组，解得：，所以直线l总过定点．
14． 因为，所以，即，所以数列是以为首项、公比为的等比数列，所以．
15． 因为在平行六面体中，，，
所以
16． 由双曲线定义知，则，，所以，
∴的周长为，
∴，，由，得∴
∴，，∴，在中，，．
17．解：（1）由题意，，解得，
∴．
（2）由，
∴．
18．解：（1）联立，得．
∵直线l与抛物线C相切，
∴．
（2）设，，由（1）方程联立可知，
∴，．
又∵，∴，即，
∴，满足，∴直线l的方程为．
19．（1）证明：连接DE．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为，且D为AC的中点，所以．
因为平面BDE，平面BDE，且，所以平面BDE．
因为，所以平面BDE，所以．
（2）解：由（1）可知．
因为平面平面ACE，平面平面，平面ACE，
所以平面ABC，所以DC，DB，DE两两垂直．
以D为原点，分别以，．的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
从而，．
则，即异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
20．解：（1）根据题意，，①，
当时，，
当时，，②
①②两式作差可得：，
所以数列为等比数列，所以的通项公式为，
因为，所以为等差数列．
因为，，所以公差．
故．
（2）由（1）可知，
，
．
作差可得：，
，所以．
21．（1）证明：在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面，平面．所以平面．
（2）解：设正方体的棱长为2，．
以A为原点，AD，AB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，，．
设平面的法向量为，
由，令，得．
设直线与平面所成的角为，
则，解得，
所以平面的法向量为．
由题知，平面的法向量，
所以，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
22．解：（1）由，则，所以．
又，则点M在椭圆上，
所以．又，联立解得，，所以椭圆C的方程：．
（2）当直线EF的斜率存在时，设直线EF的方程为，，，
直线EF的方程与椭圆方程联立，消去y得，
当判别式时，得，，
设，因为点E，F在直线上，得，
整理得
即，化简得，
原点O到直线EF的距离，则，
由已知有d是定值，所以有，解得
即当时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，验证知当直线EF的斜率不存在时也成立，
此时，定圆的标准方程为．