内蒙古喀喇沁旗锦山蒙古族中学2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学（理）试卷（Word版含答案）

蒙古族中学2021-2022学年高二下学期开学考试
数学
2022.02
第I卷（选择题）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了从甲、乙两组学生中选一组参加“喜迎祖国七十华诞，共建全国文明城市”知识竞赛活动，班主任老师将这两组学生最近6次的测试成绩进行统计，得到如图所示的茎叶图．若甲、乙两组的平均成绩分别是，则下列说法正确的是（ ）
A．，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛
B．，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛
C．，甲组比乙组成绩稳定，应选甲组参加竞赛
D．，乙组比甲组成绩稳定，应选乙组参加竞赛
2．下列说法中正确的是（ ）
A．若命题“”为假命题，则命题“”是真命题
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“”是“”的充要条件
D．命题“平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题
3．双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有(　　)
①恰有一名男生和全是男生；
②至少有一名男生和至少有一名女生；
③至少有一名男生和全是男生；
④至少有一名男生和全是女生．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若|MD|=，则抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
7．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：
将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ）
A．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸
B．该校只有50名学生不喜欢阅读
C．该校只有50名学生喜欢阅读
D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸
8．已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线左支的一个交点为，若与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
11．在中，，，边的四等分点分别为， 靠近，执行下图算法后结果为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．已知直线与椭圆切于点，与圆交于点，圆在点处的切线交于点，为坐标原点，则的面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
第II卷（非选择题）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
13．某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为________人
同意 不同意 合计
高一 2
高二 4
高三 1
14．已知是抛物线的焦点，点，抛物线上有某点，使得取得最小值，则点的坐标为______．
15．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm的圆面，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似计算)
16．某曲线的方程为，若直线与该曲线有公共点，则实数的取值范围是_____.
三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤。
17．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间【90,100】内的概率．
18．（Ⅰ）设 ，，若 是的必要不充分条件，求实数的取值范围
（Ⅱ）已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率．若 有且只有一个为真命题，求的取值范围．
19．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在S市的A区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记x表示在各区开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．
x（个） 2 3 4 5 6
y（百万元） 2.5 3 4 4.5 6
（1）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）假设该公司在A区获得的总年利润z（单位：百万元）与x，y之间满足的关系式为：,请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在A区开设多少个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大？
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
（参考数据：，）
20．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，
点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H．将沿
折到的位置，．
（I）证明：平面ABCD；
（II）求二面角的正弦值．
21．已知的短轴长，离心率为，圆．
（1）求椭圆和圆的方程；
（2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，，若直线于圆交于两点，求直线的方程及与的面积之比．
22．O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．
（1）求的方程；
（2）过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．
蒙古族中学2021-2022学年高二下学期开学考试
数学答案
一、单选题
1．D 2.D 3．B. 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D 9．A 10．C11．D 12．A
二、填空题
13．126 14． 15． 16．
三、解答题
17．（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间内的频率为
.
所以平均分，
众数的估计值是65.
（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”，
由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人，
记这4名学生分别为，，，，
成绩在区间内的学生有人，记这2名学生分别为，，
则从这6人中任选2人的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：，，，，
，，，，，共9种，所以．
故所求事件的概率为：．
18．（Ⅰ）：由题意得，， ．
是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
且（等号不能同时取得），．故实数的取值范围为．
（Ⅱ）将方程 改写为 ，只有当，即时，
方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，所以命题等价于；
因为双曲线 的离心率，所以 ，且，解得 ，
所以命题等价于 ．若真假，则不存在；
若假真，则．
综上可知的取值范围为．
19．（1），，
设y关于x的线性回归方程为,
则，，
∴y关于x的线性回归方程为．
（2），
∴平均每个分店的年利润为.
∵，当且仅当即时取等号，
∴．
∴该公司应在A区开设个分店，才能使A区平均每个分店的年利润最大．
20．
21．（1）由题得，所以即，所以，则，
所以椭圆的方程为：，圆的方程为：.
（2）根据题意可知，左焦点，且直线的斜率存在且不为0，
不妨设，联立，整理得，
所以，
所以，
解得，则，
所以原点到的距离，所以面积为，
，所以面积为，
所以与的面积之比为．
22．（1）
因为，，，
所以①
因为，所以②
由①得：，解得：，代入②式中，
解得：，
所以的方程为：，的方程为：
（2）
，因为直线不垂直于y轴
所以设方程为：
联立 得：
设，，
则，，，
则，
因为点M在直线上，所以，
直线：
联立得：
解得：，显然，故
当时，，当时，
则，
，点直线距离分别是：
，
因为，点直线两侧，故
显然，所以
所以
则
则四边形面积
当时，四边形面积取得最小值，此时
此时方程为：，符合题意，故四边形面积的最小值为1