天津市第四十七中学 2021-2022 学年高三开学能力调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1 2．已知实数集R ，集合 A x log2 x 1 ， B x Z x 4 5x ，则 (CRA) B （ ）
A．[2，4] B． 2,3,4 C． 1,2,3,4 D．[1,4]
2．设 x R ，则“ x 1 2 ”是“ x2 1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 f x x2 1 ln x 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
1 1
4．定义在 R上的函数 f (x) sin x 2x，若 a f ，2 b f (ln 2)
， c f e3 ，则比较 a，b， c的大小关
系为（ ）
A． a b c B． a c b C． c a b D．b a c
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若样本数据 x1,x2 , ,x10 的方差为 2，则数据 2x1 1,2x2 1, , 2x10 1的方差为 8
B．若回归方程为 y 0.45x 0.6，则变量 y与 x正相关
C 2．若随机变量 X服从正态分布 N 3, ， P X 4 0.64，则 P 2 X 3 0.07
D．在线性回归分析中相关指数 R2用来刻画回归的效果，若 R2值越小，则模型的拟合效果越好
6．已知 A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为 4π，
AB BC AC OO1，则球O的表面积为( )
A． 48π B．64π
C．36π D．32π
试卷第1页，共6页
2 2
7．如图， F F x y1， 2是双曲线C : Fa2
1 a 0 的左右焦点，过
3 1
的直线与双曲线C的
两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为 F1B的中点，且 F1B F2B ，则 F1F2 （ ）
A．4 B． 4 3 C．6 D．9
8、某港口一天 24h内潮水的高度 S（单位：m）随时间 t（单位：h，0 t 24）的
π 5π
变化近似满足关系式 S t 3sin t ，则下列说法正确的有（ ）
6 3
A S t 0,2 3 3． 在 上的平均变化率为 m/h B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
4
π
C．当 t 6时，潮水的高度会达到一天中最低 D．4时潮水起落的速度为 m/h
6
2
f x x a x , x s,9．已知 a 0，k R ，设函数 ，若对任意的实数 s 2, 2 ，都有 f x 在区间 ,
kx k 1, x s,
上至少存在两个零点，则（ ）
A． a 4，且 k 1 B． a 4，且 0 k 1
C． 0 a 4，且 k 1 D． 0 a 4，且 0 k 1
二、填空题
1 3i
10．复数 的虚部是___________.
3 i
6
11 x 2． 展开式的 x 2 为____________．
2 x
12．若圆 x2＋y2＝4与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为 2 3，则 a＝________.
13．袋中有 5个小球(3白 2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，
第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．
m2 1 114.设m n 0，则 mn m(m n) 的最小值是___________.
15．在平行四边形 ABCD中， AB 2, ABC 60 ， AC，BD相交于点O， E为线
AB BO 7
段 AC上的动点，若 ，则 BE DE的最小值为___________2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10. __________ 11.__________ 12.__________
13.__________ 、________ 14.__________ 15.__________
三、解答题
试卷第2页，共6页
16 2．（本小题满分 14分）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 3b 2c bcos A a b 2 c 2 .
(1)求 cos A的值；
cos (2)求 2A 的值.
3
17．（本小题满分 15分）如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1C1C为长方形，AA1 1，AB BC 2，
ABC 120 ， AM CM .
(1)求证：平面 AA1C1C 平面C1MB；
(2)求直线 A1B和平面C1MB所成角的正弦值；
(3) A B 13在线段 1 上是否存在一点 T，使得点 T到直线MC1的距离是 ，若存在求
3
A1T 的长，不存在说明理由.
试卷第3页，共6页
2 2
18. x y（本小题满分 15分）已知椭圆C : 1，F1， F2分别为椭圆的左右焦点， P为椭圆上任意一点4 3
（1）若 PF1 PF2 1，求 PF1F2 的面积；
（2）是否存在着直线 l，使得当 l经过椭圆左顶点 A且与椭圆相交于点 B，点D与点 B关于 x轴对称，满足
OB OD 20 ，若存在，请求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由．
7
试卷第4页，共6页
19．（本小题满分 15分）已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，公比 q 0，S2 2a2 2，S3 a4 2，数列 bn
满足 2bn bn 1 bn 1 n N * 且 a2 4b1，a3 b8 .
（1）求 an 和 bn 的通项公式；
（2）将 an 和 bn 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 cn ，求数列 cn 的前100项和T100；
an bn
2
,n 2m 1
2 2n
（3）设数列 dn 的通项公式为： dn ，m N *，求 di ．
a
2
n bn i 1
,n 2m
4
试卷第5页，共6页
20. （本小题满分 16分）已知函数 f (x) x2 x ln a(a (0,1))， x (0,1)．
(1)当 a e时，求 g(x) e x f (x) 在 0, g(0) 处的切线方程.
(2)讨论函数 f (x)的单调性；
(3)若 f (x) aex ln x对 x (0,1)恒成立，求实数 a的取值范围.
试卷第6页，共6页答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.B
7.A
8.A
9.B
10.-1
11.-96
12.1:
13}·0
14.4
15.-4
16.
(1)因为(3b-2c)bcos A=a2+b2-c2,所以(3b-2C)cosA=2 a cos C,
由正弦定理可得(3sinB-2sinC)cosA=2 sin A cos C,
3 sin B cos A =2(sin A cos C+cos Asin C)=2 sin(A+C)=2sin B
因为sinB卡0，所以cosA=
2
3
(2)由()可得c0sA-名，可得sinA=V-c0s2A-5
3’
sin 2A=2 sin AcosA=
4v5
=2 cos2 A.
所以
cos(2A+-
}=cs2Aem写-in2Am君=()×-4y5×
×14v5V3
1+415
18
17.(2)
V15
(3)
5
5
18.
第1页，共4页
a1a于闲-：
IPFf-IPR+FFPR151-3
[y=k(x+2)
(2)设1：xy-1故(4+3到x+16kx+162-12=0
=1
43
162-12
6-8
X4X8=
4k2+3
且x4=-2,g=
4k+3
6-82
12k
6-8k2
12k
B
4K+34k2+3
故D
4k+34k2+3
0B.0D=
6-8k2
2
144k2
64k-240k2+3620
4k2+3
(4k2+3
4k2+3
7
即16k4-25k2+9=0故(2-1)-(16k2-9)=0
k=1或k=±
19.
(1)由S2=2a2-2;S3=a4-2两式相减得S3-S2=a3=a4-2a2即
a2q=a2q-2a2,化简得g-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去)，
将g=2代入S2=2a2-2,得a1+2a1=4a1-2,解得a1=2,所以an=2×2m-1=2”
由2bn=bn-1十b+1,得bn+1-bn=bn-bn-1,所以数列{bmn}为等差数列，令其公差为d;
F4=1、6s=as=22=8,
则7d=bs-b1=7,解得d=1.所以bn=n.
(2)令{bn}的前n项和为Pn,易知an=2m;bn=n均为递增数列，
且n=6时，a6=64<100、n=7时，a7=128>100,
则数列{cn}的前100项和Too满足T1o0=S6十P94,所以
2(1-26)+94y
1-2+
2×(1+94)=127+47×95=4592
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