2021-2022学年人教版数学九年级下册第二十七章相似测试题（word版、含解析）

2021-2022学年度初中数学九年级下册第二十七章
相似试题
一、单选题
1．如图，在中，，，，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点E、F分别在、边上，连接、，它们相交于点G，延长、，相交于点H，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点的线段分别与，BE交于点M，N，则（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15m B．m C．m D．14m
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点，若AE：AB＝1：3，则S△AEF：S△ADC＝（　　）
A．1：12 B．1：9 C．1：6 D．1：3
6．下列命题正确的是（ ）
A．已知：线段，，，，则a，b，c，d是比例线段
B．已知关于x的方程是一元二次方程
C．已知点、是函数图象上的两点，则
D．位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形
7．如图，E是矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，BD，分别交对角线AC于点F，O．则AF：FO：OC＝（ ）
A．2：1：3 B．3：2：5 C．4：2：7 D．5：3：8
8．如图，将的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点．在以下结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数中k的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1
10．下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．2、5、6、8 B．1、2、3、4 C．3、6、7、9 D．3、6、9、18
二、填空题
11．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______．
12．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B，如果AB＝，AD＝4，AE＝2，那么AF的长为 ___．
13．如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝15，D为BC上一点，且BD＝BC，在AB边上取一点E，使以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则BE＝_____．
14．如图，矩形ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在AC上的点A'处，若AB=2，则A'C的长度为____________．
15．如图，点阵中的相邻4个顶点的小正方形面积为1，则五边形ABCEF的面积为______．
三、解答题
16．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
(1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
(2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．
17．如图，已知矩形ABCD中，于点E，．
(1)若，求CE的长；
(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．
18．如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦ABDP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
(1)求证：AFOD；
(2)若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
19．梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，
则有，，
∴．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：．
(2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________．
(3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【详解】
连接DE，由题意可知E为BC中点，D为AB中点
∴
又∵
∴
∴∠BED=∠BCA，
∴DE//AC
∴∠EDC=∠DCA，∠DEA=∠CAE
∴，且相似比为1：2
故
在中有
即
∴
故选：B．
2．B
【详解】
解：由图可知，，故选项A错误；
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DHE，
∴，故选项B正确；
∵DE∥BC，
∴，故选项C错误；
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△FHG，
∴，故选项D错误；
故选：B．
3．D
【详解】
解：∵A1B1∥BN，
∴△A1B1M∽△NBM，
又A1B1＝BB1＝1，
∴NB：A1B1＝MB：MB1，
即 NB：1＝MB：（MB 1），
整理，得MB＋NB＝MB NB，
两边同除以MB NB得1；
故选：D．
4．C
【详解】
解：过作于,交于，
根据题意 ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
，
又，
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠CBA，
，
，
，
．
故选择C．
5．A
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE：AB＝1：3，
∴AE：CD＝1：3，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴，，
∴S△CDF=9S△AEF，S△ADF=3S△AEF，
∵S△ADC=S△CDF+S△ADF，
∴，
故选：A．
6．B
【详解】
A.1×4≠2×3，不是比例线段，本选项错误；
B.无论m为何值时，>0，所以是一元二次方程，本选项正确；
C.函数中，k=-5<0，函数图象的两个分支分别位于二四象限，y随x的增大而增大，而-1>-2，所以，本选项错误；
D.位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，本选项错误．
故选：B．
7．A
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，OA=OC=AC，
∴△AEF∽△CBF，
∵E是AD的中点，
∴AE=AD，
∴，
∴AF=AC，
∴OF=OA-AF=AC-AC=AC，
∴AF：FO：OC＝AC：AC：AC=2：1：3，
故选：A．
8．C
【详解】
如图，连接AB，BC，CD，DE，EA，
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴∠DAE=∠AEB，
∴AM=ME，
∴，
∴A正确，不符合题意；
∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点，
∴点F是线段BD的黄金分割点，
∴，
∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED，
∴△BCD≌△AED，
∴AD=BD，
∴，
∴B正确，不符合题意；
∵AB=BC=CD=DE=EA， ∠BAE=108°，
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE，
∴∠CAD=36°，
∴D正确，不符合题意；
∵∠CAD=36°， AN=BN=AM=ME，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴AM＞MN，
∴C错误，符合题意；
故选C．
9．A
【详解】
解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图．
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：，
，
故选：A．
10．D
【详解】
解：A、2×8≠5×6，故本选项错误；
B、1×4≠2×3，故本选项错误；
C、3×9≠6×7，故本选项错误；
D、3×18=6×9，故本选项正确．
故选：D．
11．##
【详解】
解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=，
∴点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为-，
∴OC=，
∴BE=，
∵AB∥CD，
∴，
∴EF=OE=，OF=OE=，
∴S△BEF=EF BE=××=，
S△ODF=OD OF=×a×=，
∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=．
故答案为：．
12．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠ADC．
而AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∠ADF=∠DEC．
∴DE2=AE2+AD2=4+16=20，
∴DE=2．
∵∠AFE=∠B，
∴∠AFE=∠ADC，即∠ADF+∠DAF=∠ADF+∠EDC，
∴∠DAF=∠EDC．
∴△ADF∽△DEC，
∴．
∵AD=4，DE=2，
CD=AB=，
∴AF=．
故答案为：．
13．4或
【详解】
解：如图，DE//BC
①当∠AED=∠C时，即DE∥AC
则△BDE∽△BCA，
∴
∵BD＝BC，
∴
∴
②当∠BED=∠C时，△BED∽△BCA
∴，即
∴
综上，BE=4或
故答案为4或
14．##
【详解】
解：如图，连接A'D，设BE与AC交于点M，
由翻折知，BE垂直平分AA'，
∴AB=A'B=2，AM=A'M，AE=A'E，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠DCA=∠BAC，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE=A'E，
∴点A，A'，D三点在以AD为直径的圆上，
∴∠DA'A=∠DA'C=90°=∠AMB，
∴△ABM≌△CDA'（AAS），
∴A'C=AM，
∴AM=A'M=A'C，
∵∠ABC=∠ANB=90°，∠BAM=∠BAM，
∴△BAM∽△CAB，
∴，
设AM=A'M=A'C=x，则AC=3x，
∴，
解得，x=（取正值），
即A'C=，
故答案为：．
15．
【详解】
解：如图所示：
∵GD∥QH，
∴△PGF∽△PQH，
∴，
，
，
∵CD∥PQ，
∴△HCE∽△HQP，
，
，
∴五边形ABCEF的面积=S△PQH-S△PGF-S△HCE-S矩形ABQG
，
故答案为：．
16．(1)见解析
(2)依据见解析，135°
(1)
解：先取一格点A2，点A2向右平移2个单位，得到点C2，则 A2C2＝2，点A2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B2，∠C2A2B2＝135°，则△A2B2C2∽△A1B1C1；
(2)
证明：∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝，A2C2＝2，∠C2A2B2＝135°，根据勾股定理A2B2＝，
∴，，
∴， ∠C2A2B2=∠C1A1B1＝135°，
∴△A2B2C2∽△A1B1C1．
∠C2A2B2＝135°，
17．(1)
(2)见解析
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
.
，
.
，
，
，
.
，，
.
.
.
(2)
由（1）得.
，
.
.
∵点C与点F关于AD对称，
，.
，
∴C，D，F三点共线．
．
∵四边形ABCD是矩形，
，.
，.
，.
.
，
∴B，E，F三点共线.
18．(1)见解析
(2)
(1)
证明：延长DO交AB于点H，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∵ABDP，
∴HD⊥AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AFOD；
(2)
∵OH⊥AB，AB＝8，
∴BH＝AH＝4，
∴OH＝＝＝3，
∵BHED，
∴△BOH∽△EOD，
∴＝，即＝，
解得：ED＝ ，
∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP，
∴四边形AFDH为矩形，
∴DF＝AH＝4，
∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
证明：如图，过点作，交的延长线于点
∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴
∵
∴．
(2)
解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G
∴由题意可知
∵D是BC的中点，为等边三角形
∴，
在中
∵
∴
解得
故答案为：．
(3)
解：如图5，分别过作
∵图5同图1，故可知
∵F为AB中点，CD=BC，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴四边形BCEF的面积为
故答案为：．
答案第1页，共2页
答案第14页，共16页