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8.4.2机械能守恒定律的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021·全国·高一专题练习）关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是（ ）
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
【答案】B
【详解】A．若物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故A错误；
B．物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体做自由落体运动，故B正确；
C．物体在竖直方向做匀速直线运动时，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，故C错误；
D．物体所受合力做功为零，它的动能不变，重力势能可能变化，机械能不一定守恒，故D错误。故选B。
2．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）如图所示，具有一定初速度v的物块，在沿倾角为的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为5m/s2，方向沿斜面向下，g取10m/s2，那么在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块的机械能一定增加
B．物块的机械能一定减少
C．物块的机械能不变
D．物块的机械能可能增加，也可能减少
【答案】C
【详解】以物体为研究对象进行受力分析如图
根据牛顿第二定律得mgsin＋Ff－F＝ma
代入数据得Ff＝F
故此过程中只有重力做功，物块的机械能守恒，故选C。
3．（2022·全国·高三专题练习）内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为的小球乙。现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后（ ）
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点
【答案】A
【详解】环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒，知甲不可能滑到槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到槽的最低点。故选A。
4．（2021·云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）如图所示，在“蹦极跳”中，质量为m的游戏者身系一根长为L、弹性优良的轻柔蹦极绳，从水面上方的高台由静止开始下落到达最低点。假定空气阻力可忽略，则下列说法中正确的是（ ）
A．游戏者在下落过程中机械能守恒
B．游戏者从开始下落到最低点动能增加了
C．游戏者从开始下落到最低点重力势能减少了
D．在最低点处蹦极绳的弹性势能为
【答案】D
【详解】A．游戏者在下落过程中，由于受到蹦极绳向上的拉力，拉力对游戏者做负功，故在下落过程中，游戏者机械能不守恒，故A错误；
B．橡皮绳绷紧前，游戏者做匀加速运动，橡皮绳绷紧后，开始阶段，拉力小于重力，游戏者向下做加速运动，当拉力大于重力后，游戏者做减速运动，即速度先增大后减小，当拉力等于重力时速度最大，动能最大，下落到最低点动能为零，故B错误；
C．人的高度下降1.5L，重力做功WG=1.5mgL，其重力势能减小1.5mgL，故C错误；
D．在整个运动过程中，根据动能定理可知mg 1.5L-Ep=0-0
解得Ep=1.5mgL
故在最低点处蹦极绳的弹性势能为1.5mgL，故D正确。故选D。
5．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L=0.2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h=0.1m。两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2则下列说法中正确的是（ ）
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为J
【答案】D
【详解】A B. 由于AB之间杆上的力不为零，所以单独的A球和B球机械能不守恒，故AB错误；
CD. 整个下滑过程中AB两球组成的系统机械能守恒
整个下滑过程中B球机械能的增加量为
根据系统机械能守恒可知整个下滑过程中A球机械能的减小量为J，故C错误，D正确。故选D。
6．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，将一表面光滑的半圆柱体固定于水平桌面上，一跨过圆柱表面不可伸长的轻绳分别与甲、乙两个质量不同的小球相连，乙球的质量大于甲球的质量。开始时用手按住甲球位于水平桌面且靠住圆柱侧面。现静止释放甲球，为使小球甲能恰好通过圆柱的最高点，球可看成质点，则下列说法正确的是（ ）
A．甲球在运动到圆柱顶前两球速度相同
B．乙球下落过程中机械能守恒
C．当两球质量比满足时，甲球能恰好通过圆柱顶端
D．当两球质量比满足时，甲球能恰好通过圆柱顶端
【答案】C
【详解】A．速度是矢量，A错误；
B．乙球下落过程中还受到轻绳的拉力，故机械能不守恒，B错误；
C．假设甲恰好能通过圆柱的顶端，若使甲到达最高点，根据机械能守恒有
且甲恰能通过最高点满足，解得，C正确；
D．当
时，甲在到达最高点之前脱离
甲可以顺利通过最高点，D错误。故选C。
7．（2022·全国·高一课时练习）如图甲所示，a、b两小球通过长度一定轻细线连接跨过光滑定滑轮，a球放在地面上，将连接b球的细线刚好水平拉直，由静止释放b球，b球运动到最低点时，a球对地面的压力刚好为零；若将定滑轮适当竖直下移一小段距离，再将连接b球的细线刚好水平拉直，如图乙所示，由静止释放b球，不计一切阻力．则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的质量相等
B．两小球的质量大小无法判断
C．在b球向下运动过程中，a球可能会离开地面
D．b球运动到最低点时，a球对地面的压力仍恰好为零
【答案】D
【详解】在甲图中，设b球做圆周运动的半径为d，b球运动到最低点时速度为v，根据机械能守恒定律有
在最低点时
解得
又
因此有
若改变b球做圆周运动的半径，b球运动到最低点时对细线的拉力仍等于，因此b球运动到最低点时，小球a对地面的压力恰好为零。故选D。
8．（2021·河北·高考真题）一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】小球下落的高度为h = πR - R + R = R
小球下落过程中，根据动能定理有mgh = mv2
综上有v = ，故选A。
9．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（不计液体内能的变化）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在液柱流动过程中除受重力作用外，还受大气压力作用，但在液体流动过程中，右侧大气压力做的正功等于左侧大气压力做的负功，所以满足机械能守恒条件。以原来左侧液面处为重力势能的参考平面，则由机械能守恒定律得(设高h的液柱质量为m)
解得，故选A。
二、解答题
10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放。
（1）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
（2）在杆刚转到竖直位置的瞬间，杆对B球的作用力为多大？是推力还是拉力？
【答案】（1）－mgl；（2）mg；推力
【详解】
（1）小球A和B及杆组成的系统机械能守恒.设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有
mg·2l－mgl＝mvA2＋mvB2
vA＝2lω
vB＝lω
对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝mvA2
联立解得W＝－mgl
（2）在杆刚转到竖直位置的瞬间，设杆对B球有向下的拉力F，根据向心力公式有mg＋F＝m
解得F＝－mg
负号表示杆对B球的作用力方向与假设方向相反，即向上，所以对B球的作用力为推力。
11．（2022·全国·高一课时练习）质量均为m＝1kg的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为θ＝37°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为h＝1m，如图所示。若斜面足够长，B与斜面、细绳与滑轮间的摩擦不计，从静止开始放手让它们运动。（g取10m/s2）求：
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)若物体A着地瞬间物体B与细绳之间的连接断开，则从此时刻起物体B又回到斜面的底端所需的时间。
【答案】(1)2m/s；(2)1s
【详解】
(1)设物体A着地前瞬间的速度为v，据动能定理mgh－mghsinθ＝（m＋m）v2
解得v＝2m/s
(2)设物体B在斜面上运动的加速度为a，有ma＝mgsinθ
所以a＝6m/s2
方向沿斜面向下
设物体B回到斜面底端的速度为vB，由机械能守恒定律有mv＝mghsinθ＋mv2
所以vB＝4m/s
取沿斜面向下的方向为正方向，知v＝-2m/s
则有vB＝v＋at
解得t＝1s
12．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，质量为m的物体，以某一初速度v0从A点向下在光滑的轨道中运动。不计空气阻力，若物体通过B点时的速度为，求：
(1)物体在A点时的速度；
(2)物体离开C点后还能上升的高度。
【答案】(1) ，方向向下；(2)3.5R
【详解】
(1)从A点到B点，根据机械能守恒得
解得
方向向下。
(2)以C点为参考点，则根据机械能守恒得
解得
13．（2021·广东潮州·高一期末）如图所示，一内壁光滑的细管弯成半径R=0.4m的半圆形轨道BC，将其竖直放置并将B点与一水平轨道相连。置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B至墙壁的距离为弹簧的自然长度。将一个质量m=0.8kg的小滑块放在弹簧的右侧，向左推滑块，压缩弹簧使弹簧右端至A处，然后将滑块由静止释放，滑块进入半圆轨道继续滑行（不计滑块与轨道的碰撞）。已知滑块运动到B处刚刚进入半圆轨道时对轨道的压力F1=58N，水平轨道AB长度l=0.3m，滑块与轨道的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2，求∶
(1)弹簧压缩到A处时的弹性势能；
(2)小滑块运动到轨道最高处C点时对轨道的压力大小。
【答案】(1)11.2J；(2)10N。
【详解】
(1)滑块运动到B处时，由牛顿第二定律得
代入数据解得v1=5m/s
根据动能定理得
代入数据解得EP=11.2J
(2)小球从B到C过程，由机械能守恒定律得
代入解得v2=3m/s
由于
所以小球在D处对轨道外壁有压力，由牛顿第二定律得
代入数据解得F2=10N
根据牛顿第三定律得，小球对轨道的压力为10N，方向向上。
14．（2021·河南·驻马店市第二高级中学高三期中）如图所示，从A点以某一水平速度v0抛出一质量m=1 kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入∠BOC=37°的固定光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量M=4 kg，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6 m、h=0.15 m，R=0.75 m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1=0.7，长木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.2，g=10 m/s2求：（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（1）小物块的初速度v0及在B点时的速度大小；
（2）小物块滑至C点时，对圆弧轨道的压力大小；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。
【答案】（1）4 m/s，5 m/s；（2）47.3 N；（3）2.0 m
【详解】
（1）从A点到B点的过程中，小物块做平抛运动，则有
设小物块到达B点时竖直分速度为，则有
代入数据，联立解得
又因为此时小物块的速度方向与水平方向的夹角为
则有
可得小物块的初速度
则小物块在B点时的速度大小
（2）小物块从A点至C点的过程中，由动能定理可得
设物块在C点受到的支持力为，则有
解得，
根据牛顿第三定律得，物块在C点时对圆弧轨道的压力大小为47.3 N
（3）小物块与长木板间的滑动摩擦力
长木板与地面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力
因为，所以小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动，小物块在长木板上做匀减速运动，则长木板的长度至少为
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8.4.2机械能守恒定律的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021·全国·高一专题练习）关于机械能守恒的叙述，下列说法正确的是（ ）
A．做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
B．物体所受的合力不等于零，机械能可能守恒
C．物体做匀速直线运动，机械能一定守恒
D．物体所受合力做功为零，机械能一定守恒
2．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）如图所示，具有一定初速度v的物块，在沿倾角为的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为5m/s2，方向沿斜面向下，g取10m/s2，那么在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块的机械能一定增加 B．物块的机械能一定减少
C．物块的机械能不变 D．物块的机械能可能增加，也可能减少
3．（2022·全国·高三专题练习）内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为的小球乙。现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后（ ）
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点
4．（2021·云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）如图所示，在“蹦极跳”中，质量为m的游戏者身系一根长为L、弹性优良的轻柔蹦极绳，从水面上方的高台由静止开始下落到达最低点。假定空气阻力可忽略，则下列说法中正确的是（ ）
A．游戏者在下落过程中机械能守恒
B．游戏者从开始下落到最低点动能增加了
C．游戏者从开始下落到最低点重力势能减少了
D．在最低点处蹦极绳的弹性势能为
5．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在倾角θ=30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L=0.2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h=0.1m。两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2则下列说法中正确的是（ ）
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为J
6．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，将一表面光滑的半圆柱体固定于水平桌面上，一跨过圆柱表面不可伸长的轻绳分别与甲、乙两个质量不同的小球相连，乙球的质量大于甲球的质量。开始时用手按住甲球位于水平桌面且靠住圆柱侧面。现静止释放甲球，为使小球甲能恰好通过圆柱的最高点，球可看成质点，则下列说法正确的是（ ）
A．甲球在运动到圆柱顶前两球速度相同
B．乙球下落过程中机械能守恒
C．当两球质量比满足时，甲球能恰好通过圆柱顶端
D．当两球质量比满足时，甲球能恰好通过圆柱顶端
7．（2022·全国·高一课时练习）如图甲所示，a、b两小球通过长度一定轻细线连接跨过光滑定滑轮，a球放在地面上，将连接b球的细线刚好水平拉直，由静止释放b球，b球运动到最低点时，a球对地面的压力刚好为零；若将定滑轮适当竖直下移一小段距离，再将连接b球的细线刚好水平拉直，如图乙所示，由静止释放b球，不计一切阻力．则下列判断正确的是（ ）
A．两小球的质量相等
B．两小球的质量大小无法判断
C．在b球向下运动过程中，a球可能会离开地面
D．b球运动到最低点时，a球对地面的压力仍恰好为零
8．（2021·河北·高考真题）一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示，长度为、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球，小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直，将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为（重力加速度为g，不计空气阻力）（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（不计液体内能的变化）（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
10．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放。
（1）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
（2）在杆刚转到竖直位置的瞬间，杆对B球的作用力为多大？是推力还是拉力？
11．（2022·全国·高一课时练习）质量均为m＝1kg的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为θ＝37°的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物体A离地面的高度为h＝1m，如图所示。若斜面足够长，B与斜面、细绳与滑轮间的摩擦不计，从静止开始放手让它们运动。（g取10m/s2）求：
(1)物体A着地时的速度大小；
(2)若物体A着地瞬间物体B与细绳之间的连接断开，则从此时刻起物体B又回到斜面的底端所需的时间。
12．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，质量为m的物体，以某一初速度v0从A点向下在光滑的轨道中运动。不计空气阻力，若物体通过B点时的速度为，求：
(1)物体在A点时的速度；
(2)物体离开C点后还能上升的高度。
13．（2021·广东潮州·高一期末）如图所示，一内壁光滑的细管弯成半径R=0.4m的半圆形轨道BC，将其竖直放置并将B点与一水平轨道相连。置于水平轨道上的弹簧左端与竖直墙壁相连，B至墙壁的距离为弹簧的自然长度。将一个质量m=0.8kg的小滑块放在弹簧的右侧，向左推滑块，压缩弹簧使弹簧右端至A处，然后将滑块由静止释放，滑块进入半圆轨道继续滑行（不计滑块与轨道的碰撞）。已知滑块运动到B处刚刚进入半圆轨道时对轨道的压力F1=58N，水平轨道AB长度l=0.3m，滑块与轨道的动摩擦因数μ=0.5，取重力加速度g=10m/s2，求∶
(1)弹簧压缩到A处时的弹性势能；
(2)小滑块运动到轨道最高处C点时对轨道的压力大小。
14．（2021·河南·驻马店市第二高级中学高三期中）如图所示，从A点以某一水平速度v0抛出一质量m=1 kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入∠BOC=37°的固定光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面上的长木板上，圆弧轨道C端的切线水平。已知长木板的质量M=4 kg，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6 m、h=0.15 m，R=0.75 m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1=0.7，长木板与地面间的动摩擦因数μ2=0.2，g=10 m/s2求：（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（1）小物块的初速度v0及在B点时的速度大小；
（2）小物块滑至C点时，对圆弧轨道的压力大小；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。
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