人教版数学九年级下册第二十六章第一节反比例函数

人教版数学九年级下册第二十六章第一节反比例函数
一、单选题
1．（2021九上·会同期末）下式中表示是的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2019九上·海南期末）若反比例函数y＝ 的图象经过点(－2，3)，则此函数的图象也经过点（　　）
A．(2，－3) B．(－3，－3) C．(2，3) D．(－4，6)
3．（2019·澧县模拟）已知点P(a，m)，点Q(b，n)都在反比例函数y= 的图像上，且a<0A．m+n<0 B．m+n>0 C．mn
4．（2019·海南）如果反比例函数 （a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）
A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2
5．（2019九上·昌图期末）关于反比例函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．图象过（1，1）点 B．图象在第一、三象限
C．当x>0时，y随x的增大而减小 D．当x<0时，y随x的增大而增大
6．（2021·娄底模拟）已知点P（a，b）在反比例函数 的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数 的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
7．（2020九上·渠县期末）下列各点中，在函数y＝－ 图象上的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2016·天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
9．（2016九上·本溪期末）在函数y= （k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（-1，y2）、C（-2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
10．（2017·揭阳模拟）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y= 的图象上，则不在这个函数图象上的点是（　　）
A．（5，1） B．（﹣1，5）
C．（﹣3，﹣ ） D．（ ，3）
二、填空题
11．（2020·龙泉驿模拟）如果反比例函数 在各自象限内y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　 　．
12．（2020八下·黄石期中）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为　 　.
13．（2020·黄石模拟）某中学要在校园内划出一块面积为100 m2的矩形土地做花圃,设这个矩形的相邻两边长分别为xm和ym,那么y关于x的函数解析式为　 　.
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为　 　．
15．（2020九上·蚌埠月考）如图，平行四边形ABCD的顶点A、C在双曲线 上，B、D在双曲线 上， ， 轴， ，则 　 　．
16．（2021八上·西安月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等边 中 ，规定先沿x轴翻折，再向右移动两个单位为一次变换，经过连续2021次这样的变换得到 则点 的坐标是　 　.
三、解答题
17．当m取何值时，函数是反比例函数？
18．（2021九上·岳阳月考）当m为何值时，函数 是反比例函数？
19．（2019八上·虹口月考）已知正比例函数 与反比例函数交于A（-2，a），求这个反比例函数的解析式。
20．反比例函数y= 的图象上有一点P（m，n），其中坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，且P点到原点的距离为 ，求反比例函数的解析式．
21．（2017九上·虎林期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，错误；
B、是二次函数，错误；
C、中，y是x2的反比例函数，错误；
D、表示y是x的反比例函数，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】形如y=(k≠0）的函数，叫做反比例函数，据此逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点(－2，3)代入反比例函数y＝ 即可求得k=-6，根据xy=-6，即可得只有选项A在此函数的图象上，
故答案为：A.
【分析】将点(－2，3)代入反比例函数y＝ 算出k的值，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积是一个常数k，即可一一判断得出答案。
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】y＝ 的k＝2＞0，图象位于一三象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第三象限，
∴m＜0；
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第一象限，
∴n＞0．
∴m＜n，
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 （a是常数）的图象在第一、三象限，
，
。
故答案为：D。
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可知：当比例系数大于0的时候，其图象的两支分别位于第一、三象限，从而列出关于a的不等式，求解即可。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】A、因为 ，所以图象不过点 ，故本选项错误；
B、因为 ，所以函数图象位于二、四象限，故本选项错误；
C、因为 ，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、因为 ，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】反比例函数 中， 时，图象位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；根据这个性质选择则可.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（a，b）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
∴ab＝﹣5，
∵点M（﹣b，a）在反比例函数 的图象上，
∴k＝﹣ba＝﹣ab＝5.
故答案为：B.
【分析】点P（a，b）在反比例函数y＝ 的图象上，求出ab＝﹣5，即可得到k＝﹣ab＝5.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、因为 ，所以符合题意；
B、因为 ，所以不符合题意；
C、因为 ，所以不符合题意；
D、因为 ，所以不符合题意．
故答案为：A．
【分析】直接根据反比例函数的定义进行排除选项即可．
8．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y= 的图象上，
∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，
∴y3一定最大，y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵k＜0，
∴函数y= 的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象的特征，当k<0，反比例函数的图象位于二、四象限，且y值随x的增大而增大；A点是反比例函数第四象限的点，y1＜0；B、C两点都是反比例函数第二象限的点，则y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，则即可判断本题选B。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、k=5×1=5；
B、k=﹣1×5=﹣5；
C、k=﹣3×（﹣ ）=5；
D、k= ×）=5，
故A、C、D在同一函数图象上．
故选B．
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
11．【答案】m＞-1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 在各自象限内y随x的增大而减小，∴ ，解得： .
故答案为： .
【分析】根据反比例函数的性质即可得出关于m的不等式，进一步即可得出答案.
12．【答案】y=
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设该反比例函数的解析式为
将x= ，y=400代入，得
解得：k=100
∴眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为
故答案为： .
【分析】设该反比例函数的解析式为 ，然后将x= ，y=400代入即可求出函数关系式.
13．【答案】y＝ (x＞0)
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得y关于x的函数解析式是y＝ (x＞0).
故答案为y＝ (x＞0).
【分析】根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式.
14．【答案】（1，6）
【知识点】切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（3，2）在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6．
∵⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切，点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，
∴点B的横坐标为1．
∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，
∴点B的坐标为（1，6）．
故答案为：（1，6）．
【分析】将点A的坐标代入函数y＝ 即可求出k的值，从而得出抛物线的解析式，根据切线的性质及⊙A的半径是⊙B的半径的2倍可得点B的横坐标为1，将x=1代入反比例函数的解析式即可算出对应的函数值从而求出B点的坐标。
15．【答案】9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
而点A、C在双曲线 上，B、D在双曲线 上，
∴A、C关于原点对称，B、D关于原点对称，
设D（t，），则C（t， ），B（ t，-），
∵S ABCD＝24，
∴（+）×（t＋t）＝24，
∴k1＋k2＝12，
∵k1＝3k2，
∴k1＋k1＝12，
解得k1＝9．
故答案为9．
【分析】利用平行四边形的性质和反比例函数的性质可判断A、C关于原点对称，B、D关于原点对称，再根据平行四边形的面积公式，从而可求出k1的值，即可作答。
16．【答案】(4040，1+ )
【知识点】点的坐标；翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化﹣平移；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是 、 ，
∴点A的坐标为 ，
根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为 ，即 ，
第2次变换后的点A的对应点的坐标为 ，即 ，
第3次变换后的点A的对应点的坐标为 ，即 ，
第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 ，
∴把等边△ABC经过连续2021次这样的变换得到△A′B′C′，
则点A的对应点A′的坐标是： .即 ，
故答案为： .
【分析】先根据等边三角形的性质，结合B、C点坐标，求出A点坐标，根据前三次的坐标变化，总结出规律，即第n次变换后的点A的对应点的坐标为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 ，则可得出把等边△ABC经过连续2021次这样的变换得到△A′B′C′，A'点坐标为 ，化简即可得出结果.
17．【答案】解：∵函数是反比例函数，
∴2m+1=1，
解得：m=0．
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令2m+1=1即可．
18．【答案】解：因为函数 是反比例函数，
所以 且 ，
解得： 且 ，
故 .
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的表现形式“y=kx-1（k为常数，且k≠0）”可得关于m的方程和不等式，解之可求解.
19．【答案】解：将点A（-2，a）代入 中，解得：
故点A的坐标为：（-2，6）
设反比例函数的解析式为： （k≠0）
将点A的坐标代入得：
解得：
∴这个反比例函数的解析式为： .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】将点A坐标代入正比例函数的解析式中，即可求出点A的坐标，然后设出反比例函数的解析式，将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出反比例函数的解析式.
20．【答案】解：将P（m，n）代入反比例函数y= 得，mn=k；
∵P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，
∴m+n=3，
∵P点到原点的距离为 ，根据勾股定理可得m2+n2=13，
于是由题意，得
②两边平方得m2+n2+2mn=9④，
将①③代入④得2k+13=9，
解得k=﹣2．
反比例函数解析式为y=﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】根据点P（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=k；根据P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，
得到m+n=3，根据P点到原点的距离为 ，利用勾股定理可得m2+n2=13，将所得三个式子组成方程组即可解答．
21．【答案】（1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
∴x1=1，x2=2，
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）
（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，得：2= ，
解得：k=﹣2．
（3）解：假设存在，
设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE= AB= ．
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM= =BE= ，
解得：m1= ，m2=
∴M（ ，2+ ）或（ ，2﹣ ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣ ，4+ ）或（ ，4﹣ ）；
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴ ，
解得：m3=﹣ ，
∴M（﹣ ， ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+ ，4+2﹣ ），即（ ， ）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣ ，4+ ）、（ ，4﹣ ）或（ ， ）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】（1）通过解方程x2﹣3x+2=0，可得OA、OC的长，再结合A、C两点的位置即可写出A、C坐标；
（2）根据（1）中C的坐标可求出直线CD解析式，再根据线段AB两端点的横坐标可知中点E的横坐标，结合直线CD的解析式即可求出点E坐标，从而求出反比例函数中的k值；
（3）设出点M的坐标，分线段BE是菱形边和对角线两种情况，利用菱形的四边都相等及对角线垂直平分的性质，借助两点间距离公式即可列方程求解。
1 / 1人教版数学九年级下册第二十六章第一节反比例函数
一、单选题
1．（2021九上·会同期末）下式中表示是的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【解答】解：A、是一次函数，错误；
B、是二次函数，错误；
C、中，y是x2的反比例函数，错误；
D、表示y是x的反比例函数，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】形如y=(k≠0）的函数，叫做反比例函数，据此逐一判断即可.
2．（2019九上·海南期末）若反比例函数y＝ 的图象经过点(－2，3)，则此函数的图象也经过点（　　）
A．(2，－3) B．(－3，－3) C．(2，3) D．(－4，6)
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点(－2，3)代入反比例函数y＝ 即可求得k=-6，根据xy=-6，即可得只有选项A在此函数的图象上，
故答案为：A.
【分析】将点(－2，3)代入反比例函数y＝ 算出k的值，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积是一个常数k，即可一一判断得出答案。
3．（2019·澧县模拟）已知点P(a，m)，点Q(b，n)都在反比例函数y= 的图像上，且a<0A．m+n<0 B．m+n>0 C．mn
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】y＝ 的k＝2＞0，图象位于一三象限，
∵a＜0，
∴P（a，m）在第三象限，
∴m＜0；
∵b＞0，
∴Q（b，n）在第一象限，
∴n＞0．
∴m＜n，
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
4．（2019·海南）如果反比例函数 （a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　）
A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数 （a是常数）的图象在第一、三象限，
，
。
故答案为：D。
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可知：当比例系数大于0的时候，其图象的两支分别位于第一、三象限，从而列出关于a的不等式，求解即可。
5．（2019九上·昌图期末）关于反比例函数 ，下列说法正确的是（　　）
A．图象过（1，1）点 B．图象在第一、三象限
C．当x>0时，y随x的增大而减小 D．当x<0时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】A、因为 ，所以图象不过点 ，故本选项错误；
B、因为 ，所以函数图象位于二、四象限，故本选项错误；
C、因为 ，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误；
D、因为 ，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】反比例函数 中， 时，图象位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；根据这个性质选择则可.
6．（2021·娄底模拟）已知点P（a，b）在反比例函数 的图象上，点M（﹣b，a）在反比例函数 的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵P（a，b）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
∴ab＝﹣5，
∵点M（﹣b，a）在反比例函数 的图象上，
∴k＝﹣ba＝﹣ab＝5.
故答案为：B.
【分析】点P（a，b）在反比例函数y＝ 的图象上，求出ab＝﹣5，即可得到k＝﹣ab＝5.
7．（2020九上·渠县期末）下列各点中，在函数y＝－ 图象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、因为 ，所以符合题意；
B、因为 ，所以不符合题意；
C、因为 ，所以不符合题意；
D、因为 ，所以不符合题意．
故答案为：A．
【分析】直接根据反比例函数的定义进行排除选项即可．
8．（2016·天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y= 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y= 的图象上，
∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，
∴y3一定最大，y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
9．（2016九上·本溪期末）在函数y= （k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（-1，y2）、C（-2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵k＜0，
∴函数y= 的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，
∴y1＜0，y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数图象的特征，当k<0，反比例函数的图象位于二、四象限，且y值随x的增大而增大；A点是反比例函数第四象限的点，y1＜0；B、C两点都是反比例函数第二象限的点，则y2＞0，y3＞0，且y2＞y3，则即可判断本题选B。
10．（2017·揭阳模拟）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y= 的图象上，则不在这个函数图象上的点是（　　）
A．（5，1） B．（﹣1，5）
C．（﹣3，﹣ ） D．（ ，3）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、k=5×1=5；
B、k=﹣1×5=﹣5；
C、k=﹣3×（﹣ ）=5；
D、k= ×）=5，
故A、C、D在同一函数图象上．
故选B．
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
二、填空题
11．（2020·龙泉驿模拟）如果反比例函数 在各自象限内y随x的增大而减小，那么m的取值范围是　 　．
【答案】m＞-1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 在各自象限内y随x的增大而减小，∴ ，解得： .
故答案为： .
【分析】根据反比例函数的性质即可得出关于m的不等式，进一步即可得出答案.
12．（2020八下·黄石期中）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为　 　.
【答案】y=
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设该反比例函数的解析式为
将x= ，y=400代入，得
解得：k=100
∴眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为
故答案为： .
【分析】设该反比例函数的解析式为 ，然后将x= ，y=400代入即可求出函数关系式.
13．（2020·黄石模拟）某中学要在校园内划出一块面积为100 m2的矩形土地做花圃,设这个矩形的相邻两边长分别为xm和ym,那么y关于x的函数解析式为　 　.
【答案】y＝ (x＞0)
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意，得y关于x的函数解析式是y＝ (x＞0).
故答案为y＝ (x＞0).
【分析】根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式.
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为　 　．
【答案】（1，6）
【知识点】切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（3，2）在函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝3×2＝6．
∵⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切，点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，
∴点B的横坐标为1．
∵点B在反比例函数y＝ 的图象上，
∴点B的坐标为（1，6）．
故答案为：（1，6）．
【分析】将点A的坐标代入函数y＝ 即可求出k的值，从而得出抛物线的解析式，根据切线的性质及⊙A的半径是⊙B的半径的2倍可得点B的横坐标为1，将x=1代入反比例函数的解析式即可算出对应的函数值从而求出B点的坐标。
15．（2020九上·蚌埠月考）如图，平行四边形ABCD的顶点A、C在双曲线 上，B、D在双曲线 上， ， 轴， ，则 　 　．
【答案】9
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
而点A、C在双曲线 上，B、D在双曲线 上，
∴A、C关于原点对称，B、D关于原点对称，
设D（t，），则C（t， ），B（ t，-），
∵S ABCD＝24，
∴（+）×（t＋t）＝24，
∴k1＋k2＝12，
∵k1＝3k2，
∴k1＋k1＝12，
解得k1＝9．
故答案为9．
【分析】利用平行四边形的性质和反比例函数的性质可判断A、C关于原点对称，B、D关于原点对称，再根据平行四边形的面积公式，从而可求出k1的值，即可作答。
16．（2021八上·西安月考）如图，在平面直角坐标系中，已知等边 中 ，规定先沿x轴翻折，再向右移动两个单位为一次变换，经过连续2021次这样的变换得到 则点 的坐标是　 　.
【答案】(4040，1+ )
【知识点】点的坐标；翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化﹣平移；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是 、 ，
∴点A的坐标为 ，
根据题意得：第1次变换后的点A的对应点的坐标为 ，即 ，
第2次变换后的点A的对应点的坐标为 ，即 ，
第3次变换后的点A的对应点的坐标为 ，即 ，
第n次变换后的点A的对应点的为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 ，
∴把等边△ABC经过连续2021次这样的变换得到△A′B′C′，
则点A的对应点A′的坐标是： .即 ，
故答案为： .
【分析】先根据等边三角形的性质，结合B、C点坐标，求出A点坐标，根据前三次的坐标变化，总结出规律，即第n次变换后的点A的对应点的坐标为：当n为奇数时为 ，当n为偶数时为 ，则可得出把等边△ABC经过连续2021次这样的变换得到△A′B′C′，A'点坐标为 ，化简即可得出结果.
三、解答题
17．当m取何值时，函数是反比例函数？
【答案】解：∵函数是反比例函数，
∴2m+1=1，
解得：m=0．
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令2m+1=1即可．
18．（2021九上·岳阳月考）当m为何值时，函数 是反比例函数？
【答案】解：因为函数 是反比例函数，
所以 且 ，
解得： 且 ，
故 .
【知识点】反比例函数的定义
【解析】【分析】根据反比例函数的表现形式“y=kx-1（k为常数，且k≠0）”可得关于m的方程和不等式，解之可求解.
19．（2019八上·虹口月考）已知正比例函数 与反比例函数交于A（-2，a），求这个反比例函数的解析式。
【答案】解：将点A（-2，a）代入 中，解得：
故点A的坐标为：（-2，6）
设反比例函数的解析式为： （k≠0）
将点A的坐标代入得：
解得：
∴这个反比例函数的解析式为： .
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】将点A坐标代入正比例函数的解析式中，即可求出点A的坐标，然后设出反比例函数的解析式，将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出反比例函数的解析式.
20．反比例函数y= 的图象上有一点P（m，n），其中坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，且P点到原点的距离为 ，求反比例函数的解析式．
【答案】解：将P（m，n）代入反比例函数y= 得，mn=k；
∵P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，
∴m+n=3，
∵P点到原点的距离为 ，根据勾股定理可得m2+n2=13，
于是由题意，得
②两边平方得m2+n2+2mn=9④，
将①③代入④得2k+13=9，
解得k=﹣2．
反比例函数解析式为y=﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】根据点P（m，n）在反比例函数y= 的图象上，得到mn=k；根据P（m，n）的坐标是关于t的一元二次方程t2﹣3t+k=0的两根，
得到m+n=3，根据P点到原点的距离为 ，利用勾股定理可得m2+n2=13，将所得三个式子组成方程组即可解答．
21．（2017九上·虎林期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
∴x1=1，x2=2，
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）
（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
∴E（﹣1，2）．
将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，得：2= ，
解得：k=﹣2．
（3）解：假设存在，
设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
∴BE= AB= ．
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM= =BE= ，
解得：m1= ，m2=
∴M（ ，2+ ）或（ ，2﹣ ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（﹣ ，4+ ）或（ ，4﹣ ）；
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴ ，
解得：m3=﹣ ，
∴M（﹣ ， ），
∵B（0，4），E（﹣1，2），
∴N（0﹣1+ ，4+2﹣ ），即（ ， ）．
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣ ，4+ ）、（ ，4﹣ ）或（ ， ）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】（1）通过解方程x2﹣3x+2=0，可得OA、OC的长，再结合A、C两点的位置即可写出A、C坐标；
（2）根据（1）中C的坐标可求出直线CD解析式，再根据线段AB两端点的横坐标可知中点E的横坐标，结合直线CD的解析式即可求出点E坐标，从而求出反比例函数中的k值；
（3）设出点M的坐标，分线段BE是菱形边和对角线两种情况，利用菱形的四边都相等及对角线垂直平分的性质，借助两点间距离公式即可列方程求解。
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