人教版数学九年级下册第二十七章第三节位似
一、单选题
1．（2021·青白江模拟）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·深圳期末）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
3．（2021九上·来宾月考）如图所示 是 位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2021九上·来宾月考）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点O，若OC：OF=1：3，则△ABC△DEF的周长之比是（ )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
5．（2021九上·宝安期中）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO：OF的值为（ ）
A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4
6．（2021九上·峄城期中）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
7．（2021九上·济南月考）如图，已知△OCD与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，若C（1，2），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（3，6） C．（3，5） D．（4，5）
8．（2021·徐汇模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似
B．两个含 角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似
D．两个含 角的直角三角形必相似
9．（2021九上·温州期末）如图，在面积为144的正方形ABCD中放两个正方形BMON和正方形DEFG，重合的小正方形OPFQ的面积为4，若点A，O，G在同一直线上，则阴影部分面积为（ ）
A．36 B．40 C．44 D．48
10．（2021九上·皇姑期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的面积是1，则四边形BCED的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2021九上·绥化期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是 ．
12．（2021九上·鞍山期末）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，使它与相似比为2，若点A的坐标为，则位似图形上与点A对应的点的坐标为 ．
13．（2021九上·皇姑期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝7，则 ．
14．（2021九上·朝阳期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，则 ．
15．（2021九上·杨浦期末）如果两个相似三角形对应边之比是 ， 那么它们的周长之比等于 ．
16．（2021九上·石景山期末）如图，，AD，BC交于点O，．若，则OC的长为 ．
三、作图题
17．（2021九上·金塔期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形， 与 是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
⑴画出位似中心点O；
⑵直接写出 与 的位似比；
⑶以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A'B'C'关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出 △A″B″C″ 各顶点的坐标.
四、解答题
18．（2020九上·清涧期末）如图， 与 是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长.
19．如图，如果 ， ，那么 与 是否相似？ 与 是否位似？试说明理由．
20．（2021九上·会同期末）若AE与BD相交于点C.AC=3，BC=6，CD=10，CE=5，证明AB∥DE.
21．（2021九上·禅城月考）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF＝30cm，DE＝40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形：边数相同的两个图形，它们的角对应相等，边对应成比例，这样的两个图形叫相似图形的定义可得结果.
2．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质可得△OA′B′∽△OAB，再利用相似三角形的性质可得，最后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
3．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】第一个图形中的位似中心为A点；第二个图形中的位似中心为BC上的一点；第三个图形中的位似中心为O点；第四个图形中的位似中心为O点；
综上，4个图形都是位似图形.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 依此分别判断，即可作答.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵ △ABC与△DEF位似， OC：OF=1：3，
∴△ABC∽△DEF，AB：DE=1：3，
∴△ABC与△DEF的周长之比为： 1：3.
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质得出△ABC∽△DEF和相似比，然后根据相似三角形的性质，即可解答.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=（ CO：OF ）2=16：9，
∴ CO：OF=4：3.
故答案为：C.
【分析】 根据位似图形的性质，得出△ABC∽△DEF，从而得出△ABC的面积：△DEF面积=（ CO：OF ）2=16：9， 即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于 ；
故答案为：D．
【分析】根据题意找出OB与OD的比值即可。
7．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△OCD与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，
∴ ，
∵点D与点B点的坐标分别是：（3，0），（9，0）
∴△OCD与△OAB的相似比为1：3，
∵点C的坐标为（1，2），
∴点 的坐标为（3，6），
故答案为：B．
【分析】根据位似变换的性质可得 ，且相似比为1：3进而可求点A的坐标。
8．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形的顶角是 ，另一等腰三角形的底角是 ，则不相似，此项不符合题意；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项不符合题意；
D、两个含 角的直角三角形必相似，此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
9．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为144，正方形OPFQ的面积为4，
∴AB=12，OQ=2，
设正方形BMON的边长为x，则AN=12-x，NO=x，QG=12-x，
∵四边形BMON和四边形OPFQ都是正方形，
∴∠ANO=∠BNO=∠OQF=∠OQG=∠POQ=90°，
∴AN∥OQ，
∴∠NAO=∠QOG，
∴△ANO∽△OQG，
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），
∴BN=8，
∴EF=12-x+2=6，
∴阴影部分面积=144-82-62+4=48，
故答案为：D.
【分析】利用正方形的面积可求出正方形的边长AB和OQ，设正方形BMON的边长为x，可表示出AN，NO，QG的长，利用矩形的性质可证得∠ANO=∠BNO=∠OQF=∠OQG=∠POQ=90°；再证明△ANO∽△OQG，利用相似三角形的性质可建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BN，EF的长；然后求出阴影部分的面积.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∵△ADE的面积是1
∴四边形BCED的面积是3
故答案为：C．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质可得==，再利用割补法可得四边形BCED的面积是3。
11．【答案】1∶3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB=1，OD=3，
∴ ，
∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是1∶3．
故答案为：1∶3
【分析】先求出OB和OD的长，再求出，最后根据位似图形的性质可得：△OAB与△OCD的相似比是1∶3。
12．【答案】（8，4）或（-8，-4）-8，-4）或（8，4）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
根据题意可分类讨论：
①设的位似三角形为，此时点在OA的延长线上，如图，
∵它们的相似比为2，
∴，
∴，
∴此时位似图形上与点A对应的点的坐标为(8，4)．
②设的位似三角形为，此时点在OA的反向延长线上，如图，
∵它们的相似比为2，
∴，
∴，
∴此时位似图形上与点A对应的点的坐标为(-8，-4)．
故答案为：(8，4)或(-8，-4)．
【分析】分两种情况：①的位似图形在位似中心原点O的同侧，②的位似图形在位似中心原点O的异侧时，据此分别求解即可.
13．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
【分析】根据位似图形的性质可得。
14．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，
，
则 ，
故答案为 ．
【分析】利用位似图形的性质即可求解。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，
∴它们的周长之比等于4：9．
故答案为：4：9
【分析】根据两个相似三角形对应边之比是4：9，求解即可。
16．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，AD，BC交于点O，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质列出比例式，最后将数据代入计算即可。
17．【答案】解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接CC′、AA′、AA′并延长，交点即为旋转中心；
（2）根据图形可得OA′=6，OA=12，据此可得位似比；
（3）分别连接B′O、A′O、C′O并延长，使OA′′=OA′，OB′′=OB′，OC′′=OC′，然后顺次连接可得△A′′B′′C′′，进而可得各点的坐标.
18．【答案】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA=AD，
∴位似比是OB：OE=1：2，
∵AB=5，
∴DE=10.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】已知△ABC与△DEF是位似图形，且OA=AD，则位似比是OB：OE=1：2，从而可得DE.
19．【答案】解： 与 相似， 与 位似．理由：∵ ， ，∴ ， ，∴ ， ， ， ，∴ ， ，∴ ；∵ 与 的各对应顶点的连线过点 ，∴ 与 位似．
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△OAC △OBD ， △OCE △ODF ，根据相似三角形对应边成比例，对应角相等得出，，∠OCA=∠ODB ， ∠OCE=∠ODF ，故，∠ACE=∠BDF ，从而判断出△ACE △BDF ，又△ACE 与 △BDF 的各对应顶点的连线过点 O ，根据位似的定义得出△ACE 与 △BDF 位似．
20．【答案】证明：∵AC=3，BC=6，CD=10，CE=5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AB∥DE.
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由且，可证，可得，根据平行线的判定即证.
21．【答案】解： ∠DEF=∠DCB = 90°，∠EDF=∠CDB，
△DEF △DCB，
在Rt△DEF中，
答：树高AB是10.5m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出，根据勾股定理得出EF的值，求得BC的值，根据线段的和差即可得出结论。
1 / 1人教版数学九年级下册第二十七章第三节位似
一、单选题
1．（2021·青白江模拟）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形：边数相同的两个图形，它们的角对应相等，边对应成比例，这样的两个图形叫相似图形的定义可得结果.
2．（2021九上·深圳期末）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质可得△OA′B′∽△OAB，再利用相似三角形的性质可得，最后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
3．（2021九上·来宾月考）如图所示 是 位似图形的几种画法，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】第一个图形中的位似中心为A点；第二个图形中的位似中心为BC上的一点；第三个图形中的位似中心为O点；第四个图形中的位似中心为O点；
综上，4个图形都是位似图形.
故答案为：A.
【分析】根据位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 依此分别判断，即可作答.
4．（2021九上·来宾月考）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点O，若OC：OF=1：3，则△ABC△DEF的周长之比是（ )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵ △ABC与△DEF位似， OC：OF=1：3，
∴△ABC∽△DEF，AB：DE=1：3，
∴△ABC与△DEF的周长之比为： 1：3.
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质得出△ABC∽△DEF和相似比，然后根据相似三角形的性质，即可解答.
5．（2021九上·宝安期中）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO：OF的值为（ ）
A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=（ CO：OF ）2=16：9，
∴ CO：OF=4：3.
故答案为：C.
【分析】 根据位似图形的性质，得出△ABC∽△DEF，从而得出△ABC的面积：△DEF面积=（ CO：OF ）2=16：9， 即可得出答案.
6．（2021九上·峄城期中）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于 ；
故答案为：D．
【分析】根据题意找出OB与OD的比值即可。
7．（2021九上·济南月考）如图，已知△OCD与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，若C（1，2），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，4） B．（3，6） C．（3，5） D．（4，5）
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△OCD与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，
∴ ，
∵点D与点B点的坐标分别是：（3，0），（9，0）
∴△OCD与△OAB的相似比为1：3，
∵点C的坐标为（1，2），
∴点 的坐标为（3，6），
故答案为：B．
【分析】根据位似变换的性质可得 ，且相似比为1：3进而可求点A的坐标。
8．（2021·徐汇模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似
B．两个含 角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似
D．两个含 角的直角三角形必相似
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形的顶角是 ，另一等腰三角形的底角是 ，则不相似，此项不符合题意；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项不符合题意；
D、两个含 角的直角三角形必相似，此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
9．（2021九上·温州期末）如图，在面积为144的正方形ABCD中放两个正方形BMON和正方形DEFG，重合的小正方形OPFQ的面积为4，若点A，O，G在同一直线上，则阴影部分面积为（ ）
A．36 B．40 C．44 D．48
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的面积为144，正方形OPFQ的面积为4，
∴AB=12，OQ=2，
设正方形BMON的边长为x，则AN=12-x，NO=x，QG=12-x，
∵四边形BMON和四边形OPFQ都是正方形，
∴∠ANO=∠BNO=∠OQF=∠OQG=∠POQ=90°，
∴AN∥OQ，
∴∠NAO=∠QOG，
∴△ANO∽△OQG，
∴ ，即 ，
解得： 或 （舍去），
∴BN=8，
∴EF=12-x+2=6，
∴阴影部分面积=144-82-62+4=48，
故答案为：D.
【分析】利用正方形的面积可求出正方形的边长AB和OQ，设正方形BMON的边长为x，可表示出AN，NO，QG的长，利用矩形的性质可证得∠ANO=∠BNO=∠OQF=∠OQG=∠POQ=90°；再证明△ANO∽△OQG，利用相似三角形的性质可建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BN，EF的长；然后求出阴影部分的面积.
10．（2021九上·皇姑期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的面积是1，则四边形BCED的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∵△ADE的面积是1
∴四边形BCED的面积是3
故答案为：C．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质可得==，再利用割补法可得四边形BCED的面积是3。
二、填空题
11．（2021九上·绥化期末）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是 ．
【答案】1∶3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵B（0，1），D（0，3），
∴OB=1，OD=3，
∴ ，
∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是1∶3．
故答案为：1∶3
【分析】先求出OB和OD的长，再求出，最后根据位似图形的性质可得：△OAB与△OCD的相似比是1∶3。
12．（2021九上·鞍山期末）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，作的位似图形，使它与相似比为2，若点A的坐标为，则位似图形上与点A对应的点的坐标为 ．
【答案】（8，4）或（-8，-4）-8，-4）或（8，4）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
根据题意可分类讨论：
①设的位似三角形为，此时点在OA的延长线上，如图，
∵它们的相似比为2，
∴，
∴，
∴此时位似图形上与点A对应的点的坐标为(8，4)．
②设的位似三角形为，此时点在OA的反向延长线上，如图，
∵它们的相似比为2，
∴，
∴，
∴此时位似图形上与点A对应的点的坐标为(-8，-4)．
故答案为：(8，4)或(-8，-4)．
【分析】分两种情况：①的位似图形在位似中心原点O的同侧，②的位似图形在位似中心原点O的异侧时，据此分别求解即可.
13．（2021九上·皇姑期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝7，则 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
【分析】根据位似图形的性质可得。
14．（2021九上·朝阳期中）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解： 四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且 ，
，
则 ，
故答案为 ．
【分析】利用位似图形的性质即可求解。
15．（2021九上·杨浦期末）如果两个相似三角形对应边之比是 ， 那么它们的周长之比等于 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，
∴它们的周长之比等于4：9．
故答案为：4：9
【分析】根据两个相似三角形对应边之比是4：9，求解即可。
16．（2021九上·石景山期末）如图，，AD，BC交于点O，．若，则OC的长为 ．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，AD，BC交于点O，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质列出比例式，最后将数据代入计算即可。
三、作图题
17．（2021九上·金塔期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形， 与 是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
⑴画出位似中心点O；
⑵直接写出 与 的位似比；
⑶以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A'B'C'关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出 △A″B″C″ 各顶点的坐标.
【答案】解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接CC′、AA′、AA′并延长，交点即为旋转中心；
（2）根据图形可得OA′=6，OA=12，据此可得位似比；
（3）分别连接B′O、A′O、C′O并延长，使OA′′=OA′，OB′′=OB′，OC′′=OC′，然后顺次连接可得△A′′B′′C′′，进而可得各点的坐标.
四、解答题
18．（2020九上·清涧期末）如图， 与 是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长.
【答案】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA=AD，
∴位似比是OB：OE=1：2，
∵AB=5，
∴DE=10.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】已知△ABC与△DEF是位似图形，且OA=AD，则位似比是OB：OE=1：2，从而可得DE.
19．如图，如果 ， ，那么 与 是否相似？ 与 是否位似？试说明理由．
【答案】解： 与 相似， 与 位似．理由：∵ ， ，∴ ， ，∴ ， ， ， ，∴ ， ，∴ ；∵ 与 的各对应顶点的连线过点 ，∴ 与 位似．
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△OAC △OBD ， △OCE △ODF ，根据相似三角形对应边成比例，对应角相等得出，，∠OCA=∠ODB ， ∠OCE=∠ODF ，故，∠ACE=∠BDF ，从而判断出△ACE △BDF ，又△ACE 与 △BDF 的各对应顶点的连线过点 O ，根据位似的定义得出△ACE 与 △BDF 位似．
20．（2021九上·会同期末）若AE与BD相交于点C.AC=3，BC=6，CD=10，CE=5，证明AB∥DE.
【答案】证明：∵AC=3，BC=6，CD=10，CE=5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AB∥DE.
【知识点】平行线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由且，可证，可得，根据平行线的判定即证.
21．（2021九上·禅城月考）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶B在同一直线上．已知纸板的两条边EF＝30cm，DE＝40cm，延长DF交AB于点C，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，求树高AB．
【答案】解： ∠DEF=∠DCB = 90°，∠EDF=∠CDB，
△DEF △DCB，
在Rt△DEF中，
答：树高AB是10.5m．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出，根据勾股定理得出EF的值，求得BC的值，根据线段的和差即可得出结论。
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