人教版数学九年级下册第二十七章相似单元测试
一、单选题
1．（2021九上·平果期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多边形相似的判定“各角对应相等、各边的比相等”并结合各选项可判断求解.
2．（2021九上·海曙期末）如图 中， 分别在边 上， ， 则 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴即
解之：BC=6.
故答案为：A.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得比列式，然后代入相关的线段的长进行计算，可求出BC的长.
3．（2021九上·深圳期末）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（ ）
A．30° B．35° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°，
又∵△ABC∽△DEF，
∴∠F=∠C=80°，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠C的度数，再根据相似三角形的性质可得∠F=∠C=80°。
4．（2021九上·深圳期末）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质可得△OA′B′∽△OAB，再利用相似三角形的性质可得，最后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
5．（2021九上·黄浦期末）4和9的比例中项是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设4和9的比例中项为x，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】设4和9的比例中项为x，即可得到，再求出x的值即可。
6．（2021九上·嘉定期末）如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，故A不符合题意；
，故D符合题意；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故答案为：D．
【分析】根据 ，， 再结合图形对每个选项一一判断即可。
7．（2021九上·阳山期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴，即，
∴AB=6．
故答案为：D．
【分析】根据题意已知BO＝8，DO＝4，CD＝3，再利用相似三角形的性质即可得出答案。
8．（2021九上·虹口期末）在中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图：
∵DE∥AC，AE：EB=3：2，
∴
∴
∵，
∴
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再利用等量代换可得。
9．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
10．（2021九上·莲池期末）如图，D，E分别是的边AB，AC的中点，CD与BE交于点O，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是的边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质即可得出的值。
二、填空题
11．（2021九上·海曙期末）若 ， 则 .
【答案】
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a：b=4：3
设a=4x，则b=3x
∴.
故答案为：.
【分析】利用比例的性质可证得a：b=4：3，设a=4x，则b=3x，再代入计算，可求出结果.
12．（2021九上·杨浦期末）如果两个相似三角形对应边之比是 ， 那么它们的周长之比等于 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，
∴它们的周长之比等于4：9．
故答案为：4：9
【分析】根据两个相似三角形对应边之比是4：9，求解即可。
13．（2021九上·虹口期末）已知的两直角边之比为3：4，若与相似，且最长的边长为20，则的周长为 ．
【答案】48
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，的两直角边之比为，
∴由勾股定理可得：的三边之比为，
∴的三边之比为，
又∵的最大边长为20，
∴的另外两边分别为，，
∴的周长为，
故答案为：48．
【分析】根据相似三角形，的两直角边之比为，利用勾股定理得出的三边之比，得出的三边之比，再根据的最大边长为20，得出的另外两边的长度，由此得出答案。
14．（2021九上·虹口期末）如图，过的重心G作分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分，，那么 ．
【答案】8
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】连接CG并延长与AB交于H，
∵G是的重心
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴
∵AD平分
∴
∴
∴
∴，
∴
【分析】连接CG并延长与AB交于H，根据，得出，再根据角平分线的性质得出，，从而得出答案。
15．（2021九上·本溪期末）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点B的对应点的坐标是 .
【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【分析】根据位似中心、相似比、将缩小，即可得出点B的对应点。
16．（2021九上·金山期末）如图，E是的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，，，，那么 ．
【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴，
∵，，，
∴BE=3，
∴，
∴AF=1．
故答案为：1．
【分析】根据平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，即可得出AF的值。
三、解答题
17．（2021八下·姑苏期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 的坐标为（1，0）.
（ 1 ）将 向左平移5个单位长度，得到 ，画出 ；
（ 2 ）以点 为位似中心，将 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到 ，在所给的方格纸中画出 ；
（ 3 ）若点 是 的中点，经过（1）、（2）两次变换， 的对应点 的坐标是 .
【答案】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求. （2）如图，△A2B2C2即为所求.
（3）（6，-2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，-2），
故答案为：（6，-2）.
【分析】（1）根据平移的规律：向左平移5个单位，点的横坐标减5，纵坐标不变，分别找出△A1B1C1的各顶点的坐标，连接即可得到所求三角形；
（2）根据位似变换中对应点的坐标的变化规律分别找出相应的顶点坐标，再连接即可得到图形△A2B2C2；
（3）根据平移和位似变换中的坐标变换规律写出点M2的坐标，即可得出答案.
18．（2021九上·揭阳期中）如图，已知∠1=∠2，AB AC=AD AE．求证：∠C=∠E．
【答案】证明：在△ABE和△ADC中，
∵AB AC=AD AE，
∴
又∵∠1=∠2，
∴△ABE∽△ADC
∴∠C=∠E．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据 AB AC=AD AE， 可得，再结合 ∠1=∠2， 可证明 △ABE∽△ADC ，所以 ∠C=∠E．
19．（2021九上·鹿城期末）
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
，即 ，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF的长；再利用矩形的性质可证得∠D=90°，然后利用勾股定理求出EF的长.
20．（2021九上·包河期中）如图，在 中，DE∥BC，EF∥AB， ．求 长及四边形 的周长．
【答案】解：∵ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AE=2CE，
∴AC=AE+CE=3CE，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF=BD=4，BF=DE=10，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=28．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 △ADE∽△ABC， 再求出 EF=BD=4，BF=DE=10， 最后计算求解即可。
21．（2021九上·衢州月考）下表是小明填写的实践报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度AB.
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据 BCDE，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
【答案】解：∵BCDE，
∴
∴
∵BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
∴
解得
小河的宽度为10m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 由BC∥DE可证，可得，据此即可求解.
1 / 1人教版数学九年级下册第二十七章相似单元测试
一、单选题
1．（2021九上·平果期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
2．（2021九上·海曙期末）如图 中， 分别在边 上， ， 则 （ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
3．（2021九上·深圳期末）如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（ ）
A．30° B．35° C．80° D．100°
4．（2021九上·深圳期末）如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
5．（2021九上·黄浦期末）4和9的比例中项是（ ）
A．6 B． C． D．
6．（2021九上·嘉定期末）如图，已知，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·阳山期末）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2021九上·虹口期末）在中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·黄浦期末）如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·莲池期末）如图，D，E分别是的边AB，AC的中点，CD与BE交于点O，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·海曙期末）若 ， 则 .
12．（2021九上·杨浦期末）如果两个相似三角形对应边之比是 ， 那么它们的周长之比等于 ．
13．（2021九上·虹口期末）已知的两直角边之比为3：4，若与相似，且最长的边长为20，则的周长为 ．
14．（2021九上·虹口期末）如图，过的重心G作分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分，，那么 ．
15．（2021九上·本溪期末）三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，相似比为，将缩小，则点B的对应点的坐标是 .
16．（2021九上·金山期末）如图，E是的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F，，，，那么 ．
三、解答题
17．（2021八下·姑苏期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的顶点在格点（网格线的交点）上，以点 为原点建立平面直角坐标系，点 的坐标为（1，0）.
（ 1 ）将 向左平移5个单位长度，得到 ，画出 ；
（ 2 ）以点 为位似中心，将 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到 ，在所给的方格纸中画出 ；
（ 3 ）若点 是 的中点，经过（1）、（2）两次变换， 的对应点 的坐标是 .
18．（2021九上·揭阳期中）如图，已知∠1=∠2，AB AC=AD AE．求证：∠C=∠E．
19．（2021九上·鹿城期末）
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
20．（2021九上·包河期中）如图，在 中，DE∥BC，EF∥AB， ．求 长及四边形 的周长．
21．（2021九上·衢州月考）下表是小明填写的实践报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度AB.
题目 测量小河的宽度
测量目标示意图
相关数据 BCDE，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多边形相似的判定“各角对应相等、各边的比相等”并结合各选项可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴即
解之：BC=6.
故答案为：A.
【分析】利用平行线分线段成比例定理可得比列式，然后代入相关的线段的长进行计算，可求出BC的长.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-35°-65°=80°，
又∵△ABC∽△DEF，
∴∠F=∠C=80°，
故答案为：C．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠C的度数，再根据相似三角形的性质可得∠F=∠C=80°。
4．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据位似图形的性质可得△OA′B′∽△OAB，再利用相似三角形的性质可得，最后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可。
5．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设4和9的比例中项为x，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】设4和9的比例中项为x，即可得到，再求出x的值即可。
6．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，故A不符合题意；
，故D符合题意；
根据平行线分线段成比例定理无法判定B，C，
故答案为：D．
【分析】根据 ，， 再结合图形对每个选项一一判断即可。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABO∽△CDO，BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴，即，
∴AB=6．
故答案为：D．
【分析】根据题意已知BO＝8，DO＝4，CD＝3，再利用相似三角形的性质即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】如图：
∵DE∥AC，AE：EB=3：2，
∴
∴
∵，
∴
故答案为：B
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再利用等量代换可得。
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质可得它们的对应角平分线之比等于相似比且为1：4。
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是的边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质即可得出的值。
11．【答案】
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a：b=4：3
设a=4x，则b=3x
∴.
故答案为：.
【分析】利用比例的性质可证得a：b=4：3，设a=4x，则b=3x，再代入计算，可求出结果.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，
∴它们的周长之比等于4：9．
故答案为：4：9
【分析】根据两个相似三角形对应边之比是4：9，求解即可。
13．【答案】48
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，的两直角边之比为，
∴由勾股定理可得：的三边之比为，
∴的三边之比为，
又∵的最大边长为20，
∴的另外两边分别为，，
∴的周长为，
故答案为：48．
【分析】根据相似三角形，的两直角边之比为，利用勾股定理得出的三边之比，得出的三边之比，再根据的最大边长为20，得出的另外两边的长度，由此得出答案。
14．【答案】8
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】连接CG并延长与AB交于H，
∵G是的重心
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴
∵AD平分
∴
∴
∴
∴，
∴
【分析】连接CG并延长与AB交于H，根据，得出，再根据角平分线的性质得出，，从而得出答案。
15．【答案】或
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，
∴点的对应点B′的坐标是（2，4）或（-2，-4）．
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【分析】根据位似中心、相似比、将缩小，即可得出点B的对应点。
16．【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴，
∵，，，
∴BE=3，
∴，
∴AF=1．
故答案为：1．
【分析】根据平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，即可得出AF的值。
17．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求. （2）如图，△A2B2C2即为所求.
（3）（6，-2）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（3）若点M是AB的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标为（6，-2），
故答案为：（6，-2）.
【分析】（1）根据平移的规律：向左平移5个单位，点的横坐标减5，纵坐标不变，分别找出△A1B1C1的各顶点的坐标，连接即可得到所求三角形；
（2）根据位似变换中对应点的坐标的变化规律分别找出相应的顶点坐标，再连接即可得到图形△A2B2C2；
（3）根据平移和位似变换中的坐标变换规律写出点M2的坐标，即可得出答案.
18．【答案】证明：在△ABE和△ADC中，
∵AB AC=AD AE，
∴
又∵∠1=∠2，
∴△ABE∽△ADC
∴∠C=∠E．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据 AB AC=AD AE， 可得，再结合 ∠1=∠2， 可证明 △ABE∽△ADC ，所以 ∠C=∠E．
19．【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
，即 ，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF的长；再利用矩形的性质可证得∠D=90°，然后利用勾股定理求出EF的长.
20．【答案】解：∵ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵AE=2CE，
∴AC=AE+CE=3CE，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF=BD=4，BF=DE=10，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=28．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 △ADE∽△ABC， 再求出 EF=BD=4，BF=DE=10， 最后计算求解即可。
21．【答案】解：∵BCDE，
∴
∴
∵BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m
∴
解得
小河的宽度为10m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 由BC∥DE可证，可得，据此即可求解.
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