人教版数学九年级下册第二十八章第一节锐角三角函数
一、单选题
1．（2021九上·绥化期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．1
2．（2021九上·吴兴期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·青浦期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·嘉定期末）在中，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·运城期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·金山期末）在中，，，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·平谷期末）如图，角在边长为1的正方形网格中，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·金塔期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．（2021九上·淮北月考）已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（ ）
A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
10．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
11．（2021九上·杨浦期末） ．
12．（2021九上·青浦期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为 ．
13．（2021九上·黄浦期末）在Rt中，，如果，那么
14．（2021九上·牡丹江期末）在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，则∠B＝ ．
15．（2021九上·佛山月考）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 ．
16．（2021九下·福州开学考）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是 cm.
三、解答题
17．（2021九上·香坊期末）先化简，再求代数式的值，其中．
18．（2021九上·肃州期末）在 ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°， ，AD=1，求BC的长.
19．（2020九上·佛山月考）如图，在 中， ， ， ，求 的面积．
20．（2021·红桥模拟）如图，为测量建筑物 的高度，在A处测得建筑物顶部D处的仰角为 ，再向建筑物 前进 到达B处，测得建筑物顶部D处的仰角为 （A，B，C在同一条直线上），求建筑物 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
21．（2021九下·咸宁月考）如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC==3，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理先求出BC=3，再根据锐角三角函数的定义得出，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴=，
故答案为：A．
【分析】根据 Rt△ABC中，∠C=90°， 计算求解即可。
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=6，AC=2，
∴AB=，
A.，符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义逐项判断即可。
5．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C=90°
∵sinA=，
∴可设a=5k，c=13k，由勾股定理可求得b=12k，
∴cosA=，
故答案为：C．
【分析】根据sinA=，再设a=5k，c=13k，再利用勾股定理求出b=12k，最后利用cosA=计算即可。
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图，．
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图
故答案为：A
【分析】根据图象可得AB=2，BC=3，再利用正切的定义求解即可。
8．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与 BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ， ，AB=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AC与BD交点为O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=4，BD=2OD，AB=AD，根据∠DAC的正切函数值可得OD，由勾股定理求出AD，接下来根据菱形的面积公式求出DH，进而可得点D到AB边的距离.
9．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：cosα=≈0.67，cos30°=≈0.87，cos45°=≈0.71，cos60°==0.5，
∵0.5<0.67<0.71，
∴45°<α<60°，
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案。
10．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
=
=
=0，
故答案为：0．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点B向AO作垂线交点为C，O到AB的距离为h
∵，，，
∴
故答案为：．
【分析】利用三角形面积公式先求出，再利用锐角三角函数计算求解即可。
13．【答案】60°
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在Rt中，，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°
【分析】根据，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
14．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，
故答案为：
【分析】先利用特殊角的三角函数值求出∠A和∠C的度数，再利用三角形的内角和求出∠B的度数。
15．【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在网格上取点D，得，
∵CD=4，BD=1
∴．
故答案为：4．
【分析】先求出CD=4，BD=1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA，作OM⊥AB于点M，
∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm
∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm
在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，
∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm)
故答案为：.
【分析】连接OA，作OM⊥AB于点M，则OA＝2cm，∠AOM=30°，然后根据OM=cos30°×OA进行计算.
17．【答案】解：
，
把代入.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
18．【答案】解：∵ ，即 ，
∴DC=1
∵ ，即 ，
∴AB=3
在 中， ，
∴
∴BC=BD+DC= .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据∠C的正切函数可得CD的值，根据∠B的正弦函数可得AB的值，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD，最后根据BC=BD+DC进行计算.
19．【答案】解：作 于点D，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）作 于点D，在中，在 中，在中，利用勾股定理求出CD=8，从而求出BC=BD+CD=14，根据△ABC的面积=计算即得结论.
20．【答案】解：根据题意， ， ， ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：建筑物 的高度约为 ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，由AB=AC-BC，计算得到答案即可。
21．【答案】解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，
∴ ，
∵BC＝8cm，
∴ ， ，
∵点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，则有： ，
∴ ，
①当 时，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
②当 时，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ；
综上所述：当运动时间为 s或 s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由题意可求出sin∠A=，然后根据正弦函数的概念以及BC的值可得AB的值，进而求得AC的值，然后表示出BP、CQ、PC，分①∠PQC=∠A；②∠PQC=∠B，结合相似三角形对应边成比例求解即可.
1 / 1人教版数学九年级下册第二十八章第一节锐角三角函数
一、单选题
1．（2021九上·绥化期末）的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。
2．（2021九上·吴兴期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC==3，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理先求出BC=3，再根据锐角三角函数的定义得出，即可得出答案.
3．（2021九上·青浦期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴=，
故答案为：A．
【分析】根据 Rt△ABC中，∠C=90°， 计算求解即可。
4．（2021九上·嘉定期末）在中，，，，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=6，AC=2，
∴AB=，
A.，符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义逐项判断即可。
5．（2021九上·运城期末）如图，在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，∠C=90°
∵sinA=，
∴可设a=5k，c=13k，由勾股定理可求得b=12k，
∴cosA=，
故答案为：C．
【分析】根据sinA=，再设a=5k，c=13k，再利用勾股定理求出b=12k，最后利用cosA=计算即可。
6．（2021九上·金山期末）在中，，，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
如图，．
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义可得出答案。
7．（2021九上·平谷期末）如图，角在边长为1的正方形网格中，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图
故答案为：A
【分析】根据图象可得AB=2，BC=3，再利用正切的定义求解即可。
8．（2021九上·金塔期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；勾股定理；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设AC与 BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ， ，AB=AD，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴.
故答案为：C.
【分析】设AC与BD交点为O，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC=4，BD=2OD，AB=AD，根据∠DAC的正切函数值可得OD，由勾股定理求出AD，接下来根据菱形的面积公式求出DH，进而可得点D到AB边的距离.
9．（2021九上·淮北月考）已知角α为ABC的内角，且cosα=，则α的取值范围是（ ）
A．0°<α<30° B．30°<α<45°
C．45°<α<60° D．60°<α<90°
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：cosα=≈0.67，cos30°=≈0.87，cos45°=≈0.71，cos60°==0.5，
∵0.5<0.67<0.71，
∴45°<α<60°，
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可得到答案。
10．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题
11．（2021九上·杨浦期末） ．
【答案】0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：
=
=
=0，
故答案为：0．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
12．（2021九上·青浦期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点B向AO作垂线交点为C，O到AB的距离为h
∵，，，
∴
故答案为：．
【分析】利用三角形面积公式先求出，再利用锐角三角函数计算求解即可。
13．（2021九上·黄浦期末）在Rt中，，如果，那么
【答案】60°
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：在Rt中，，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60°
【分析】根据，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
14．（2021九上·牡丹江期末）在△ABC中，∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，则∠B＝ ．
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ∠A，∠C都是锐角，cosA＝，sinC＝，
故答案为：
【分析】先利用特殊角的三角函数值求出∠A和∠C的度数，再利用三角形的内角和求出∠B的度数。
15．（2021九上·佛山月考）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在网格上取点D，得，
∵CD=4，BD=1
∴．
故答案为：4．
【分析】先求出CD=4，BD=1，再利用锐角三角函数计算求解即可。
16．（2021九下·福州开学考）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是 cm.
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA，作OM⊥AB于点M，
∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm
∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm
在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，
∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm)
故答案为：.
【分析】连接OA，作OM⊥AB于点M，则OA＝2cm，∠AOM=30°，然后根据OM=cos30°×OA进行计算.
三、解答题
17．（2021九上·香坊期末）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】解：
，
把代入.
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出a的值，最后将a的值代入计算即可。
18．（2021九上·肃州期末）在 ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°， ，AD=1，求BC的长.
【答案】解：∵ ，即 ，
∴DC=1
∵ ，即 ，
∴AB=3
在 中， ，
∴
∴BC=BD+DC= .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据∠C的正切函数可得CD的值，根据∠B的正弦函数可得AB的值，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD，最后根据BC=BD+DC进行计算.
19．（2020九上·佛山月考）如图，在 中， ， ， ，求 的面积．
【答案】解：作 于点D，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）作 于点D，在中，在 中，在中，利用勾股定理求出CD=8，从而求出BC=BD+CD=14，根据△ABC的面积=计算即得结论.
20．（2021·红桥模拟）如图，为测量建筑物 的高度，在A处测得建筑物顶部D处的仰角为 ，再向建筑物 前进 到达B处，测得建筑物顶部D处的仰角为 （A，B，C在同一条直线上），求建筑物 的高度（结果取整数）．参考数据： ．
【答案】解：根据题意， ， ， ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ 在 中， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
答：建筑物 的高度约为 ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义，由AB=AC-BC，计算得到答案即可。
21．（2021九下·咸宁月考）如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
【答案】解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，
∴ ，
∵BC＝8cm，
∴ ， ，
∵点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，则有： ，
∴ ，
①当 时，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
②当 时，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ；
综上所述：当运动时间为 s或 s时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由题意可求出sin∠A=，然后根据正弦函数的概念以及BC的值可得AB的值，进而求得AC的值，然后表示出BP、CQ、PC，分①∠PQC=∠A；②∠PQC=∠B，结合相似三角形对应边成比例求解即可.
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