人教版数学九年级下册第二十八章第二节解直角三角形及其应用
一、单选题
1．（2021九上·杨浦期末）在 Rt 中，，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·松江期末）已知在RtABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA
3．（2021九上·浦东期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（ ）米
A． B． C． D．
4．（2021九上·莲池期末）一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
5．（2021九上·香坊期末）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O相距30米的点A处，测得楼顶B点的仰角，则这幢大楼的高度为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．（2021九上·二道期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
7．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（2021九上·东坡期末）某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（ ）
A．1000 m B．500 m C．500m D．m
9．（2021九上·枣庄月考）将一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·上城月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·杨浦期末）已知在 中， ， 那么 ．
12．（2021九上·青浦期末）如图，如果小华沿坡度为的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为 米．
13．（2021九上·黄浦期末）已知某小山坡的坡长为400米、山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度
14．（2021九上·东营月考）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？ ．（结果保留根号）
15．（2021九上·会同期末）某楼梯的侧面如所述，测得，，则该楼梯的高度 .
16．（2021九上·芝罘期中）如图甲、乙两艘船同时从港口
A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是 海里．
三、解答题
17．（2020·郑州模拟）先化简，再求值： ÷（ ﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+ ．
18．（2021九上·石景山期末）如图，在中，，，，求BC的长．
19．（2020九上·长春月考）如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
20．（2021九上·安吉期末）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞．运载火箭从地面О处垂直地面发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.经过3秒后，火箭从点A直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45° .已知c，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：).
21．（2021九上·昌平期末）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
题目 测量城楼顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 BM=16m， BC=13m，∠ABC=35°，∠ACE=45°
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∠A＝α，AC＝1，
cosα＝，
故AB＝．
故答案为：D
【分析】先求出∠A＝α，AC＝1，再利用锐角三角函数求解即可。
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则cosA＝，
∴b＝ccosA，
故答案为：D．
【分析】先求出cosA＝， 再求解即可。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，BD=20米，DE=1.5米
在Rt△ABD中，∠ADB=α
∴
又四边形BCED是矩形，
∴BC=DE=1.5米
∴AC=AB+BC=
所以，旗杆的高为（1.5+20tanα）米．
故答案为：C
【分析】根据题意知BD=20米，DE=1.5米，四边形BCED是矩形，得出BC、AC的值，再代入计算即可。
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如下图所示：
由题意即图可知：，，
在中，由勾股定理可得：，
坡度为：．
故答案为：B．
【分析】由题意即图可知：，，在中，由勾股定理得出OB的值，从而得出答案。
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABO中，
∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m，
∴tan65°＝，
∴BO＝30 tan65°米．
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数列出算式tan65°＝，再将数据代入计算即可。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°，
又∵sinB=，
∴AC=AB sinB=2sin40°．
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得，AE=1000米，tanA=1：，
∴∠A=30°.
∴EF=AE sinA=1000×sin30°=1000×=500(m)
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由题意得：AE=1000米，tanA=1：，据此可得∠A的度数，然后根据∠A的正弦函数进行求解.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥FD于M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝，
∴BC＝AC＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝，
∴CM＝BM＝6，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝，
∴CD＝CM MD＝．
故答案为：C．
【分析】过点B作BM⊥FD于M，先利用解直角三角形的方法求出BM的长，再利用含30°角的直角三角形的方法可得MD＝，最后利用CD=CM-MD计算即可。
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC、AC，作CD⊥OA于D，
∵OA＝OC＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∵CD⊥OA，∠CDO=90°，OD=AD=，
∴CD=OD×tan60°=，
S△OAC＝，
∴∠BOC＝30°，
，
S扇形OAC＝，
则阴影部分的面积＝﹣（﹣）＝﹣，
故答案为：B.
【分析】连接OC、AC，作CD⊥OA于D，求出△AOC为等边三角形得∠OAC＝60°，∠CDO=90°，OD=AD=，从而求出CD=，∠BOC＝30°，利用阴影部分的面积=扇形OBC-（扇形OAC-△AOC的面积）计算即可.
11．【答案】14
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=10，
∴AD=AB·sin60°=10×= ，BD=AB·cos60°=10×=5，
∵BC=16，
∴CD=BC－BD=16－5=11，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：= =14，
故答案为：14．
【分析】先求出AD和BD的值，再求出CD=11，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵i=1：，
∴tanA=，
∴∠A=30°，
∴上升的高度=AB=4（米）.
故答案为4．
【分析】先求出tanA=，再求出∠A=30°，最后求解即可。
13．【答案】1：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由勾股定理可知山坡的水平距离为：＝200米，
∴坡度i＝＝1：．
故答案为：1：．
【分析】先利用勾股定理求出山坡的水平距离，再利用锐角三角函数可得坡度i＝＝1：．
14．【答案】 米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设 米
在 中， ，则
在 中， ，则
，即 ，解得
即 米
故答案为 米
【分析】设 米，在 中，表示出BD的长，在 中，表示出BC的长利用即可求得答案。
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵，，
∴.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，由即可求解.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∴∠CDB=90°，
∵甲船沿北偏东45°的方向前进，
∴∠NAB=45，
∵乙船沿北偏东75°的方向前进，
∴∠NAC=75，
∴∠BAC=75°-45°=30°
∵B在C的正西方向，
∴∠ACB=90°-75°=15°，
∴∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°，
∵AC=2×30=60，
∴CD= AC=30，
∴BC= ．
【分析】先求出∠NAC=75，再求出∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°，最后利用勾股定理计算求解即可。
17．【答案】解：当x=sin30°+2﹣1+ 时，
∴x= + +2=3，
原式= ÷ = =﹣5.
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．
18．【答案】解：根据题意，过点A作AD⊥BC，如图：
∴△ABD，△ACD都是直角三角形，
∵，
设，，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴；
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，证出△ABD，△ACD都是直角三角形，设，，利用勾股定理得出AC的值，求出BD即可得出答案。
19．【答案】解：
，
．
．
在 中
，
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在 中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
20．【答案】解：设火箭从到处的平均速度为米/秒，根据题意可知：，在Rt中，米，
米，
米，
米，
米，
在Rt中，，
米，
米，
，
解得(米/秒).
答：火箭从到处的平均速度约为335米/秒.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设火箭从到处的平均速度为米/秒 ，可表示出AB的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，根据OC=OD-CD可求出OC的长；再在Rt△BOC中，利用解直角三角形求出BO的长，根据OB=OC，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
21．【答案】解：根据题意，得BM=ED=16m，∠AEC=90°
设AE为x m，在Rt△ACE中，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE=45°，
∴AE=CE
在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE=，
又∵∠ABE=35°，
∴tan35°=
即
解得x≈30.3
∴AD=AE+ED≈30.3+16≈31.9（m）
答：城楼顶端距地面约为31.9m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设AE为x m ，可得△ACE为等腰直角三角形，即得AE=CE，可得BE=13+x， 在Rt△ABE中， 利用tan∠ABE=建立方程，求出x值，利用AD=AE+ED即可求解.
1 / 1人教版数学九年级下册第二十八章第二节解直角三角形及其应用
一、单选题
1．（2021九上·杨浦期末）在 Rt 中，，如果，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∠A＝α，AC＝1，
cosα＝，
故AB＝．
故答案为：D
【分析】先求出∠A＝α，AC＝1，再利用锐角三角函数求解即可。
2．（2021九上·松江期末）已知在RtABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则cosA＝，
∴b＝ccosA，
故答案为：D．
【分析】先求出cosA＝， 再求解即可。
3．（2021九上·浦东期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示，BD=20米，DE=1.5米
在Rt△ABD中，∠ADB=α
∴
又四边形BCED是矩形，
∴BC=DE=1.5米
∴AC=AB+BC=
所以，旗杆的高为（1.5+20tanα）米．
故答案为：C
【分析】根据题意知BD=20米，DE=1.5米，四边形BCED是矩形，得出BC、AC的值，再代入计算即可。
4．（2021九上·莲池期末）一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）
A．30° B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如下图所示：
由题意即图可知：，，
在中，由勾股定理可得：，
坡度为：．
故答案为：B．
【分析】由题意即图可知：，，在中，由勾股定理得出OB的值，从而得出答案。
5．（2021九上·香坊期末）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O相距30米的点A处，测得楼顶B点的仰角，则这幢大楼的高度为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ABO中，
∵∠AOB＝90°，∠A＝65°，AO＝30m，
∴tan65°＝，
∴BO＝30 tan65°米．
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数列出算式tan65°＝，再将数据代入计算即可。
6．（2021九上·二道期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，AB＝2，则AC＝（ ）
A．2sin50° B．2sin40° C．2tan50° D．2tan40°
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°，
又∵sinB=，
∴AC=AB sinB=2sin40°．
故答案为：B．
【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
8．（2021九上·东坡期末）某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（ ）
A．1000 m B．500 m C．500m D．m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得，AE=1000米，tanA=1：，
∴∠A=30°.
∴EF=AE sinA=1000×sin30°=1000×=500(m)
故答案为：B.
【分析】画出示意图，由题意得：AE=1000米，tanA=1：，据此可得∠A的度数，然后根据∠A的正弦函数进行求解.
9．（2021九上·枣庄月考）将一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥FD于M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝，
∴BC＝AC＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin45°＝，
∴CM＝BM＝6，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDF＝60°，
∴MD＝，
∴CD＝CM MD＝．
故答案为：C．
【分析】过点B作BM⊥FD于M，先利用解直角三角形的方法求出BM的长，再利用含30°角的直角三角形的方法可得MD＝，最后利用CD=CM-MD计算即可。
10．（2021九上·上城月考）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接OC、AC，作CD⊥OA于D，
∵OA＝OC＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠OAC＝60°，
∵CD⊥OA，∠CDO=90°，OD=AD=，
∴CD=OD×tan60°=，
S△OAC＝，
∴∠BOC＝30°，
，
S扇形OAC＝，
则阴影部分的面积＝﹣（﹣）＝﹣，
故答案为：B.
【分析】连接OC、AC，作CD⊥OA于D，求出△AOC为等边三角形得∠OAC＝60°，∠CDO=90°，OD=AD=，从而求出CD=，∠BOC＝30°，利用阴影部分的面积=扇形OBC-（扇形OAC-△AOC的面积）计算即可.
二、填空题
11．（2021九上·杨浦期末）已知在 中， ， 那么 ．
【答案】14
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=10，
∴AD=AB·sin60°=10×= ，BD=AB·cos60°=10×=5，
∵BC=16，
∴CD=BC－BD=16－5=11，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：= =14，
故答案为：14．
【分析】先求出AD和BD的值，再求出CD=11，最后利用勾股定理计算求解即可。
12．（2021九上·青浦期末）如图，如果小华沿坡度为的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为 米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵i=1：，
∴tanA=，
∴∠A=30°，
∴上升的高度=AB=4（米）.
故答案为4．
【分析】先求出tanA=，再求出∠A=30°，最后求解即可。
13．（2021九上·黄浦期末）已知某小山坡的坡长为400米、山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度
【答案】1：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由勾股定理可知山坡的水平距离为：＝200米，
∴坡度i＝＝1：．
故答案为：1：．
【分析】先利用勾股定理求出山坡的水平距离，再利用锐角三角函数可得坡度i＝＝1：．
14．（2021九上·东营月考）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？ ．（结果保留根号）
【答案】 米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：设 米
在 中， ，则
在 中， ，则
，即 ，解得
即 米
故答案为 米
【分析】设 米，在 中，表示出BD的长，在 中，表示出BC的长利用即可求得答案。
15．（2021九上·会同期末）某楼梯的侧面如所述，测得，，则该楼梯的高度 .
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵，，
∴.
故答案为：.
【分析】在Rt△ABC中，由即可求解.
16．（2021九上·芝罘期中）如图甲、乙两艘船同时从港口
A 出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是 海里．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】
解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，
∴∠CDB=90°，
∵甲船沿北偏东45°的方向前进，
∴∠NAB=45，
∵乙船沿北偏东75°的方向前进，
∴∠NAC=75，
∴∠BAC=75°-45°=30°
∵B在C的正西方向，
∴∠ACB=90°-75°=15°，
∴∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°，
∵AC=2×30=60，
∴CD= AC=30，
∴BC= ．
【分析】先求出∠NAC=75，再求出∠CBD=∠BAC+∠ACB=45°，最后利用勾股定理计算求解即可。
三、解答题
17．（2020·郑州模拟）先化简，再求值： ÷（ ﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+ ．
【答案】解：当x=sin30°+2﹣1+ 时，
∴x= + +2=3，
原式= ÷ = =﹣5.
【知识点】实数的运算；分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．
18．（2021九上·石景山期末）如图，在中，，，，求BC的长．
【答案】解：根据题意，过点A作AD⊥BC，如图：
∴△ABD，△ACD都是直角三角形，
∵，
设，，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴，，
∵，
∴，
∴；
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，证出△ABD，△ACD都是直角三角形，设，，利用勾股定理得出AC的值，求出BD即可得出答案。
19．（2020九上·长春月考）如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
【答案】解：
，
．
．
在 中
，
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在 中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
20．（2021九上·安吉期末）2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞．运载火箭从地面О处垂直地面发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.经过3秒后，火箭从点A直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45° .已知c，D两处相距460米，求火箭从A 到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：).
【答案】解：设火箭从到处的平均速度为米/秒，根据题意可知：，在Rt中，米，
米，
米，
米，
米，
在Rt中，，
米，
米，
，
解得(米/秒).
答：火箭从到处的平均速度约为335米/秒.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设火箭从到处的平均速度为米/秒 ，可表示出AB的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，根据OC=OD-CD可求出OC的长；再在Rt△BOC中，利用解直角三角形求出BO的长，根据OB=OC，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
21．（2021九上·昌平期末）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
题目 测量城楼顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据 BM=16m， BC=13m，∠ABC=35°，∠ACE=45°
【答案】解：根据题意，得BM=ED=16m，∠AEC=90°
设AE为x m，在Rt△ACE中，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE=45°，
∴AE=CE
在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE=，
又∵∠ABE=35°，
∴tan35°=
即
解得x≈30.3
∴AD=AE+ED≈30.3+16≈31.9（m）
答：城楼顶端距地面约为31.9m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 设AE为x m ，可得△ACE为等腰直角三角形，即得AE=CE，可得BE=13+x， 在Rt△ABE中， 利用tan∠ABE=建立方程，求出x值，利用AD=AE+ED即可求解.
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