初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 全章测试
一、单选题
1．下列命题宜用反证法证明的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；反证法
【解析】【解答】解：A、利用三角形面积公式即可证明，错误；
B、根据条件，利用等边三角形的判定定理即可证明，错误；
C、难以用直接的方法证明，只能用反证法证明，正确；
D、根据全等的定义即可直接证明，错误.
故答案为：C.
【分析】先判断能否用直接的方法证明，不能用直接法证明，则只能尝试用反证法证明，即可作答.
2．（2021八上·金华期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，EC在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质进行解答.
3．（2021八上·义乌月考）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（ ）
A．a≤45° B．0° ＜ α ＜ 90°
C．α＝90° D．90° ＜ α ＜ 180°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B=∠C＝α，
∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C＜180°，
即：2α＜180°，
∴α＜90°，
又由题意可知，α＞0° ，
∴0°＜α＜90°.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C＝α，根据内角和定理可得∠B+∠C＜180°，据此求出α的范围.
4．（2021·大冶模拟）如图， 的斜边 在 轴上， ，将 绕原点顺时针旋转 ，则 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：过点A′作A′H⊥x轴于H，如图，
∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝ ，
∴OA＝ ，
∵∠AOA′＝60°，
∴∠A′OH＝30°，
∴A′H＝ OA′＝1，OH＝ A′H＝ ，
∴A′（ ，1），
故答案为：C.
【分析】在Rt△OAB中，由OB=，∠AOB=30°，可求得OA=2.将Rt△OAB顺时针旋转60°，可知∠AOA′＝60°，所以∠A′OH＝30°，依此，在Rt△A′OH中，可求得OH=，A′H=1，所以，A′（ ，1）.
5．（2018八上·双城期末）如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，且 AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵AD=BE，
∴CE=BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△DCB，
∴∠DCB=∠CAE，
∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG=30°，
∴FG：AF= .
故答案为：B.
【分析】首先利用SAS判断出△CAE≌△DCB，从而得出∠DCB=∠CAE，根据三角形的外角得出∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出答案。
6．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
7．（2020八上·荣县月考）如图，是△的角平分线，于，点分别是上的点， ， △与△的面积分别是和，则△的面积是（ ）
A．a-b B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，交于点H
是△的角平分线，于，
则
由可以证明≌
≌
.
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥AC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证Rt△ADE≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DHG，得，再由即可求出答案.
8．（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.
二、填空题
9．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【分析】先求出∠C=70°，再求出，最后计算求解即可。
10．（2021八上·长兴月考）如图，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线.若 的周长为15，则 .
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线
∴BD=AD，CF=AF
∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF
∵ 的周长为15
∴AD+DF+AF=15
∴BC=15
故答案为：15.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=AD，CF=AF，由此可推出BC=AD+DF+AF，再利用△ADF得周长为15，可求出BC的长.
11．（2020八上·五峰期中）如图， 中， 于D，要使 ，若根据“ ”判定，还需要加条件
【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
故答案为：AB=AC.
【分析】观察图形可知两个三角形有一条公共边AD，且是直角边，根据HL定理“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等”可知应添加的条件应该是直角三角形的斜边.
12．（2021九上·金华月考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图2，衣架杆，若衣架收拢时，，如图1，若衣架打开时，，则此时，两点之间的距离扩大了 .
【答案】（）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，当∠AOB=60°时，连接AB
∵
∴△OAB是等边三角形
∴
如图，当∠AOB=120°时，连接AB，过O点作OC⊥AB
∵
∴∠A=∠B=，AC=BC
∴OC=cm
∴AC=cm
∴AB=2AC=cm
∴A，B两点之间的距离扩大了（）cm
故答案为：().
【分析】先求就出当∠AOB=60°时AB的长，再求出当∠AOB=120°时AB的长，然后相减即得结论.
13．（2021九上·杭州月考）如图，在等边中，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得，延长交于点F，则 .
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠CED+∠D，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°，
∴设AF＝x，则AE＝2x，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴AB＝AC＝BC＝4x，
∴BF＝3x，
∵CD＝CE，
∴BD＝6x，
∴，
∴ED＝，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠A＝60°，∠ACB＝60°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°=∠AEF，从而得出∠AFE＝90°，设AF＝x，则AE＝2x， 利用勾股定理可得EF=x，DF=3x，从而求出ED=，然后求出比值即可.
14．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CD，如图，
∵为边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD，
∴当AD+CD有最小值时，周长的最小，
当A、D、C在一条直线上时，AD+CD有最小值，此时AD+CD最小值为AC的长，
∴周长的最小值为AB+AC的值，
∵，，
∴周长的最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【分析】利用线段垂直平分线的性质，最短距离问题即可得出答案。
15．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
16．（2021八上·镇江月考）如图，在平面直角坐标系中，的横坐标分别为分别以为边作等边三角形，一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，运动路径则蚂蚁在40秒时的坐标为 .
【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】根据题意，的过程中，
路程和为
即
秒
一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，
即40秒时的位置位于从运动 过程中运行了4秒的位置，即在线段上点的位置，过点作轴于点，如图，
是等边三角形，
则
中，
即蚂蚁在40秒时的坐标为
故答案为：.
【分析】根据题意，O→A1→B1→B2→A2→A3→B3→B4…的过程中，路程和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋…，而可知40秒时的位置位于从B8→A8运动过程中运行了4秒的位置，即在线段B8A8上P点的位置，然后通过含30°角的直角三角形的性质，求出点P的坐标即可．
三、计算题
17．（2019八上·呼兰期中）如图，在 中， ，点 在边 上，且 ，连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中 ，
即 ，
，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据 可得 ， 可得 ， ，可得 ，在 中利用三角形内角和定理列出关于 的等式解出即可．
四、作图题
18．（2021八上·西湖期中）如图，已知△ABC.
⑴尺规作图：求作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
⑵若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连结EF.请依据上述几何语言，画出完整图形，再判断AD是否垂直平分EF，并说明理由.
【答案】解：（1）如图，AD即为所求；
（2）如图即为完整图形，AD为EF的垂直平分线.理由如下：
∵△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF；
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法作图即可；
（2）由角平分线的性质可得DE＝DF，则点D在EF的垂直平分线上，证明Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE＝AF，则点A在EF的垂直平分线上，进而根据两点确定一条直线可得直线AD是EF的垂直平分线.
五、解答题
19．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
20．（2021·渭滨模拟）如图，△ABC中，点D、E在边BC上，∠ADC＝∠AEB，CD＝BE.求证：∠BAD＝∠CAE.
【答案】证明：∵∠ADC＝∠AEB，
∴AD＝AE，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等角对等边得出AD=AE，由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得∠BAE＝∠DAC，可得结论.
21．（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
22．（2021·泰安期中）上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC=15°，∠NBC=30°．若该船从海岛B继续向正北航行，求船与灯塔C的最短距离．
【答案】解：根据题意得，AB＝15×2＝30（海里），
当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为CD的长度，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，
∴∠ACB＝15°，
∴BC＝AB＝30（海里），
∴CD＝ BC＝15（海里），
∴船与灯塔C的最短距离15海里
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据题意得出∠ACB＝∠NAC＝15°，得出BC＝AB＝30海里， 再根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，得出CD＝BC＝15海里，即可得出答案.
六、综合题
23．（2021八下·柯桥开学考）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容
（1）问题解决：请根据教材分析，结合图①写出证明过程.
（2）类比探究一：如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；
（3）类比探究二：如图③，中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DC＝，直接写出的面积.
【答案】（1）证明：∵OC是∠AOB的平分线，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴PD＝PE；
（2）证明：如图，
过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PE＝PF，
∵∠PMO+∠PME＝180°，∠PMO+∠PNO＝180°，
∴∠PME＝∠PNO，
在和中，
，
∴，
∴PM＝PN；
（3）解：△ABD的面积为1.
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（3）解：如图，
过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
在中，∠C＝45°，，
∴DH＝DC＝1，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴，
在中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴，
由三角形的外角性质可知，∠BDA＝∠DBC+∠C＝75°，
∴∠BDA＝∠A，
∴BA＝BD＝2，
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DH⊥BC，
∴DG＝DH＝1，
∴的面积.
【分析】（1）用角角边可证△OPE≌△OPD，根据全等三角形的性质可求解；
（2）过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根据角平分线的性质得到PE＝PF，根据同角的补角相等得∠PME=∠PNO，用角角边可证△PME≌△PNF，根据全等三角形的性质可求解；
（3）过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质得DH=DC，由含30°角的直角三角形的性质可求得BD的值，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质得∠BDA＝∠A，根据等腰三角形的性质求出BA，根据角平分线的性质求出DG，根据三角形的面积公式计算即可求解．
24．（2021八上·道里期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B，C在x轴上，，，．
（1）求线段AC的长；
（2）点P从C点出发沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，过点A作，点F在y轴的左侧，，过点F作轴，垂足为E，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示EF的长；
（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于点K，，当时，求t的值，并求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：作PG⊥OA于G，
当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△AFE≌△PAG，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t -8，
同理可得△AFE≌△PAG，
（3）解：作PN⊥OB于N，
如图，∵，，，
∴Rt△BOK≌Rt△AOC，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
此时，点P在线段CA延长线上，
∴，
；
∵，
∴，
∵PN⊥OB，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
点P的坐标为（，）
如图，同理可知Rt△BOK≌Rt△AOC，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
同理可得，，，，
点P的坐标为（，）；
综上，点P的坐标为（，）或（，）；
【知识点】含30°角的直角三角形；一次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据，，得出，再根据三角形性质即可得出结论；
（2）作PG⊥OA于G，当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，证出△AFE≌△PAG，当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t -8，同理可得△AFE≌△PAG，即可得出结论；
（3）作PN⊥OB于N，证出Rt△BOK≌Rt△AOC，得出AP的值，此时，点P在线段CA延长线上，解出t的值，得出NP的值即可得出解。
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 全章测试
一、单选题
1．下列命题宜用反证法证明的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
2．（2021八上·金华期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，EC在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．（2021八上·义乌月考）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠B＝α，则α的取值范围是（ ）
A．a≤45° B．0° ＜ α ＜ 90°
C．α＝90° D．90° ＜ α ＜ 180°
4．（2021·大冶模拟）如图， 的斜边 在 轴上， ，将 绕原点顺时针旋转 ，则 的对应点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2018八上·双城期末）如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，且 AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·江津期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，点F，作直线EF交BC于点D，连接AD，若AB＝3，BC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2020八上·荣县月考）如图，是△的角平分线，于，点分别是上的点， ， △与△的面积分别是和，则△的面积是（ ）
A．a-b B． C． D．
8．（2021八上·柯桥月考）如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
二、填空题
9．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是 ．
10．（2021八上·长兴月考）如图，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线.若 的周长为15，则 .
11．（2020八上·五峰期中）如图， 中， 于D，要使 ，若根据“ ”判定，还需要加条件
12．（2021九上·金华月考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图2，衣架杆，若衣架收拢时，，如图1，若衣架打开时，，则此时，两点之间的距离扩大了 .
13．（2021九上·杭州月考）如图，在等边中，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得，延长交于点F，则 .
14．（2021八上·吉林期末）如图，在中，，．为边上的垂直平分线，若点D在直线上，连接，，则周长的最小值为 ．
15．（2021八上·营口期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，△ABC的面积为20，DE垂直平分AC，分别交边AB，AC于点D，E，点F为直线DE上一动点，点G为BC的中点，连接FG，FC，则FC＋FG的最小值为 ．
16．（2021八上·镇江月考）如图，在平面直角坐标系中，的横坐标分别为分别以为边作等边三角形，一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，运动路径则蚂蚁在40秒时的坐标为 .
三、计算题
17．（2019八上·呼兰期中）如图，在 中， ，点 在边 上，且 ，连接 ，若 ，求 的度数．
四、作图题
18．（2021八上·西湖期中）如图，已知△ABC.
⑴尺规作图：求作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
⑵若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连结EF.请依据上述几何语言，画出完整图形，再判断AD是否垂直平分EF，并说明理由.
五、解答题
19．（2021八上·姜堰月考）已知，如图AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，且BC=DC.求证：BE=DF.
20．（2021·渭滨模拟）如图，△ABC中，点D、E在边BC上，∠ADC＝∠AEB，CD＝BE.求证：∠BAD＝∠CAE.
21．（2021八上·房山期末）如图，中，CD平分，且E为AB的中点，于M，于N，请你判断线段BM与AN的数量关系并加以证明．
22．（2021·泰安期中）上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC=15°，∠NBC=30°．若该船从海岛B继续向正北航行，求船与灯塔C的最短距离．
六、综合题
23．（2021八下·柯桥开学考）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容
（1）问题解决：请根据教材分析，结合图①写出证明过程.
（2）类比探究一：如图②，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，点M，N分别在OB和OA上，连接PM和PN，若∠PMO+∠PNO＝180°，求证：PM＝PN；
（3）类比探究二：如图③，中，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠ABC＝60°，∠C＝45°，DC＝，直接写出的面积.
24．（2021八上·道里期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B，C在x轴上，，，．
（1）求线段AC的长；
（2）点P从C点出发沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，过点A作，点F在y轴的左侧，，过点F作轴，垂足为E，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示EF的长；
（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于点K，，当时，求t的值，并求出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；反证法
【解析】【解答】解：A、利用三角形面积公式即可证明，错误；
B、根据条件，利用等边三角形的判定定理即可证明，错误；
C、难以用直接的方法证明，只能用反证法证明，正确；
D、根据全等的定义即可直接证明，错误.
故答案为：C.
【分析】先判断能否用直接的方法证明，不能用直接法证明，则只能尝试用反证法证明，即可作答.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质进行解答.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B=∠C＝α，
∵三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C＜180°，
即：2α＜180°，
∴α＜90°，
又由题意可知，α＞0° ，
∴0°＜α＜90°.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C＝α，根据内角和定理可得∠B+∠C＜180°，据此求出α的范围.
4．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；图形的旋转
【解析】【解答】解：过点A′作A′H⊥x轴于H，如图，
∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝ ，
∴OA＝ ，
∵∠AOA′＝60°，
∴∠A′OH＝30°，
∴A′H＝ OA′＝1，OH＝ A′H＝ ，
∴A′（ ，1），
故答案为：C.
【分析】在Rt△OAB中，由OB=，∠AOB=30°，可求得OA=2.将Rt△OAB顺时针旋转60°，可知∠AOA′＝60°，所以∠A′OH＝30°，依此，在Rt△A′OH中，可求得OH=，A′H=1，所以，A′（ ，1）.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵AD=BE，
∴CE=BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△DCB，
∴∠DCB=∠CAE，
∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG=30°，
∴FG：AF= .
故答案为：B.
【分析】首先利用SAS判断出△CAE≌△DCB，从而得出∠DCB=∠CAE，根据三角形的外角得出∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，利用含30°角的直角三角形的边之间的关系得出答案。
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
EF是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB=5+3=8.
故答案为：D.
【分析】根据作图可知EF是AC的垂直平分线，利用线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得CD=AD，由于△ABD的周长为：AD+BD+AB=CD+BD+AB=BC+AB，据此即得结论.
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC，交于点H
是△的角平分线，于，
则
由可以证明≌
≌
.
故答案为：D.
【分析】过点D作DH⊥AC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证Rt△ADE≌Rt△ADH，Rt△DEF≌Rt△DHG，得，再由即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，作AB的垂直平分线，
①作AC的垂直平分线交AB的垂直平分线于一点P，得到△ABC的外心P，为满足条件的一个点；
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，交AB的垂直平分线于两点，P2，P3为满足条件的点；
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点；
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，得到P5、 P6为满足条件的点；
综上所述，满足条件的所有点P的个数有6个.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB和AC的垂直平分线，得到△ ABC的外心满足条件；再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于两点；分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点；再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可解答.
9．【答案】等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【分析】先求出∠C=70°，再求出，最后计算求解即可。
10．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线
∴BD=AD，CF=AF
∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF
∵ 的周长为15
∴AD+DF+AF=15
∴BC=15
故答案为：15.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得BD=AD，CF=AF，由此可推出BC=AD+DF+AF，再利用△ADF得周长为15，可求出BC的长.
11．【答案】AB=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
故答案为：AB=AC.
【分析】观察图形可知两个三角形有一条公共边AD，且是直角边，根据HL定理“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等”可知应添加的条件应该是直角三角形的斜边.
12．【答案】（）
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，当∠AOB=60°时，连接AB
∵
∴△OAB是等边三角形
∴
如图，当∠AOB=120°时，连接AB，过O点作OC⊥AB
∵
∴∠A=∠B=，AC=BC
∴OC=cm
∴AC=cm
∴AB=2AC=cm
∴A，B两点之间的距离扩大了（）cm
故答案为：().
【分析】先求就出当∠AOB=60°时AB的长，再求出当∠AOB=120°时AB的长，然后相减即得结论.
13．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠A＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠ACB＝∠CED+∠D，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝∠CED＝30°，
∴∠AFE＝180°﹣∠A﹣∠AEF＝90°，
∴设AF＝x，则AE＝2x，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴AB＝AC＝BC＝4x，
∴BF＝3x，
∵CD＝CE，
∴BD＝6x，
∴，
∴ED＝，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠A＝60°，∠ACB＝60°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得∠CED＝∠D＝∠ACB＝30°=∠AEF，从而得出∠AFE＝90°，设AF＝x，则AE＝2x， 利用勾股定理可得EF=x，DF=3x，从而求出ED=，然后求出比值即可.
14．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接CD，如图，
∵为边上的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD，
∴当AD+CD有最小值时，周长的最小，
当A、D、C在一条直线上时，AD+CD有最小值，此时AD+CD最小值为AC的长，
∴周长的最小值为AB+AC的值，
∵，，
∴周长的最小值为5+7＝12．
故答案为：12．
【分析】利用线段垂直平分线的性质，最短距离问题即可得出答案。
15．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AG，CF，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴点A与C关于DE对称，
∴GF+FC＝AF+FG＝AG，
此时，FC+FG最小值为AG的长，
∵AB＝AC，点G为BC的中点，
∴AG⊥BC，
∵BC＝5，△ABC的面积为20，
∴，
∴AG＝8，
∴FC+FG的最小值为8，
故答案为：8．
【分析】连接AG，CF，根据DE是AC的垂直平分线，得出点A与C关于DE对称，此时，FC+FG最小值为AG的长，再由三角形面积公式计算即可。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；探索图形规律
【解析】【解答】根据题意，的过程中，
路程和为
即
秒
一只蚂蚁从原点出发以每秒一个单位长度的速度运动，
即40秒时的位置位于从运动 过程中运行了4秒的位置，即在线段上点的位置，过点作轴于点，如图，
是等边三角形，
则
中，
即蚂蚁在40秒时的坐标为
故答案为：.
【分析】根据题意，O→A1→B1→B2→A2→A3→B3→B4…的过程中，路程和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋…，而可知40秒时的位置位于从B8→A8运动过程中运行了4秒的位置，即在线段B8A8上P点的位置，然后通过含30°角的直角三角形的性质，求出点P的坐标即可．
17．【答案】解：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中 ，
即 ，
，
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据 可得 ， 可得 ， ，可得 ，在 中利用三角形内角和定理列出关于 的等式解出即可．
18．【答案】解：（1）如图，AD即为所求；
（2）如图即为完整图形，AD为EF的垂直平分线.理由如下：
∵△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF；
∴点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法作图即可；
（2）由角平分线的性质可得DE＝DF，则点D在EF的垂直平分线上，证明Rt△AED≌Rt△AFD，得到AE＝AF，则点A在EF的垂直平分线上，进而根据两点确定一条直线可得直线AD是EF的垂直平分线.
19．【答案】证明： 平分 ， 于E 于F，
， .
在 和 中
，
，
.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】由垂直的概念以及角平分线的性质可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，证明△CEB≌△CFD，据此可得结论.
20．【答案】证明：∵∠ADC＝∠AEB，
∴AD＝AE，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据等角对等边得出AD=AE，由“SAS”可证△ADC≌△AEB，可得∠BAE＝∠DAC，可得结论.
21．【答案】解：，理由：
如图，连接DA，DB，
∵CD平分，于M，于N，
∴，
∵且E为AB的中点，
∴，
在与中，，
∴（HL），
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
22．【答案】解：根据题意得，AB＝15×2＝30（海里），
当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为CD的长度，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，
∴∠ACB＝15°，
∴BC＝AB＝30（海里），
∴CD＝ BC＝15（海里），
∴船与灯塔C的最短距离15海里
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据题意得出∠ACB＝∠NAC＝15°，得出BC＝AB＝30海里， 再根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，得出CD＝BC＝15海里，即可得出答案.
23．【答案】（1）证明：∵OC是∠AOB的平分线，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴PD＝PE；
（2）证明：如图，
过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴PE＝PF，
∵∠PMO+∠PME＝180°，∠PMO+∠PNO＝180°，
∴∠PME＝∠PNO，
在和中，
，
∴，
∴PM＝PN；
（3）解：△ABD的面积为1.
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（3）解：如图，
过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，
在中，∠C＝45°，，
∴DH＝DC＝1，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴，
在中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴，
由三角形的外角性质可知，∠BDA＝∠DBC+∠C＝75°，
∴∠BDA＝∠A，
∴BA＝BD＝2，
∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DH⊥BC，
∴DG＝DH＝1，
∴的面积.
【分析】（1）用角角边可证△OPE≌△OPD，根据全等三角形的性质可求解；
（2）过点P作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，根据角平分线的性质得到PE＝PF，根据同角的补角相等得∠PME=∠PNO，用角角边可证△PME≌△PNF，根据全等三角形的性质可求解；
（3）过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据等腰直角三角形的性质得DH=DC，由含30°角的直角三角形的性质可求得BD的值，根据三角形内角和定理、三角形的外角性质得∠BDA＝∠A，根据等腰三角形的性质求出BA，根据角平分线的性质求出DG，根据三角形的面积公式计算即可求解．
24．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：作PG⊥OA于G，
当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴△AFE≌△PAG，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t -8，
同理可得△AFE≌△PAG，
（3）解：作PN⊥OB于N，
如图，∵，，，
∴Rt△BOK≌Rt△AOC，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
此时，点P在线段CA延长线上，
∴，
；
∵，
∴，
∵PN⊥OB，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
点P的坐标为（，）
如图，同理可知Rt△BOK≌Rt△AOC，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
同理可得，，，，
点P的坐标为（，）；
综上，点P的坐标为（，）或（，）；
【知识点】含30°角的直角三角形；一次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据，，得出，再根据三角形性质即可得出结论；
（2）作PG⊥OA于G，当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，证出△AFE≌△PAG，当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t -8，同理可得△AFE≌△PAG，即可得出结论；
（3）作PN⊥OB于N，证出Rt△BOK≌Rt△AOC，得出AP的值，此时，点P在线段CA延长线上，解出t的值，得出NP的值即可得出解。
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