初中数学北师大版八年级下册第四章因式分解 全章测试
一、单选题
1．（2021八上·长沙期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八下·大埔期末）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2021七下·滦南期末）下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021八上·东平月考）若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．40
5．（2021八上·德阳月考）若一个等腰三角形的两边m，n满足9m2-n2=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．16 D．11或16
6．（2021八上·东平月考）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知△ABC的三边a，b，c满足 ，则△ABC为（ ）.
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（2020·扬州模拟）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 . （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2021九上·福田期中）分解因式：3m2﹣48＝ ．
10．（2020七上·金安期末）若a2﹣3a＝﹣2，则代数式1+6a﹣2a2的值为 ．
11．（2021八上·泰安期中）4x2-(k-1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为
12．（2021八上·海淀期末）在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为 ．（写出一个即可）
13．（2021八上·莱州期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
14．（2021八上·普陀期中）在实数范围内因式分解： ．
15．（2019七下·嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
16．（2020七上·景德镇期末）已知 为实数，若 均为多项式 的因式，则 .
三、计算题
17．（2021八上·乌兰察布期末）
（1）计算题：
①（a2）3 （a2）4÷（a2）5
②（x﹣y+9）（x+y﹣9）
（2）因式分解
①﹣2a3+12a2﹣18a
②（x2+1）2﹣4x2．
四、解答题
18．试说明对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。
19．（2020八上·郸城期中）已知a、b、c是 的三边，a、b使等式 成立，且c是偶数，求 的周长.
20．（2020七下·德江期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如 ，当 时， ， ， ，则密码018162或180162等.对于多项式 ，取 ，用上述方法产生密码是什么？
五、综合题
21．（2021八上·陵城月考）下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
22．（2021八上·密山期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
23．（2021七下·杭州开学考）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式： .
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
24．（2021八上·内江期中）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ；②计算： .
（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，请求出“湘一数”b；
（3）如果一个“湘一数”c，满足 ，求满足条件的c的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.等号右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，
B.等号右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，
C.是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意，
D.等号右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式叫因式分解，根据定义分别判断即可.
2．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】多项式 的公因式为a．
故答案为：A．
【分析】 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可。
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：③ ，④ 可以用平方差公式分解因式；
① ；② 不可以用平方差公式分解因式．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式及因式分解的定义逐项判定即可。
4．【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故答案为：C．
【分析】根据长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，得出，，可求出a+b的值，再代入求解即可。
5．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵9m2-n2=-13，
∴（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，
∵3m+n=13，
∴3m-n=-1，
∴m=2，n=7，
∴当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，
当m为腰，n为底时，不能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为16.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，由3m+n=13得出3m-n=-1，从而得出m=2，n=7，分两种情况讨论：当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，当m为腰，n为底时，不能构成三角形，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故答案为：D．
【分析】首先把a2+b2+c2—ab－bc－ca两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式因式分解可得a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），再把a、b、c代入求值即可。
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：将 整理得：
∴，
∴，
解得：，
∴该三角形是等边三角形.
故答案为：B.
【分析】首先将等式利用拆项及分组分解分解法变形为，然后根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由三个非负数的和为0，则这几个数都为0即可求出a，b，c的值，进而根据三角形的三边关系判断得出结论.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6
∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）= ，故（1）正确；
（ 2 ）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）
∵
∴n×n是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有 ，故（2）正确；
（ 3 ）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；
（ 4 ）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x
∵t为吉祥数
∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36
∴y=x+4
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴ ， ， ， ，
∴最大值为 ，故（4）正确；
故答案为：D.
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案.
9．【答案】3（m+4）（m-4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 3m2-48＝3（m2-16） =3（ m+4 ）（ m-4 ）.
【分析】先提公因式3，再根据平方差公式因式分解，即可得出答案.
10．【答案】5
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣3a＝﹣2，
∴1+6a﹣2a2＝1﹣2（a2﹣3a）＝1﹣2×（﹣2）＝1+4＝5．
故填5．
【分析】先用提公因式法对后两项进行因式分解，然后整体代入。
11．【答案】5或﹣3
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：∵4x2-（k-1）x+1是完全平方式，
∴k-1=±4，
∴k=5或-3.
【分析】根据完全平方式的结构特征，得出k-1=±4，即可得出k的值.
12．【答案】2x
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴○可以为2x、－2x、2x－1等，答案不唯一，
故答案为：2x．
【分析】先求出，，再求解即可。
13．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入多项式进行因式分解即可。
14．【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： 的根为
即 ，
．
故答案为： ．
【分析】利用公式法因式分解即可。
15．【答案】104020，102040等写出一个即可
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
16．【答案】100
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解： 均为多项式 的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为
则
整理得：
由此可得：
故答案为：100.
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为 ，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
17．【答案】（1）解：①原式＝a14÷a10＝a4；
②原式＝x2﹣（y﹣9）2＝x2﹣y2+18y﹣81；
（2）解：①原式＝﹣2a（a﹣3）2；
②原式＝（x2+1+2x）（x2+1-2x）=（x+1）2（x﹣1）2．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）①先利用同底数幂的乘法计算，再利用同底数幂的除法计算即可；②利用平方差公式求解即可；
（2）①先提取公因式-2a，再利用完全平方公式因式分解即可；②利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可。
18．【答案】解：∵n（n+7）-n（n-5）+6
=n2+7n-n2+5n+6
=12n+6
=6（2n+1），
∴对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先进行整式的混合运算，将原式整理化简，得出一个含6的公因数，即可得证.
19．【答案】解：∵a2+b2-4a-8b+20=0，
∴（a2-4a+4）+（b2-8b+16）=0，
∴（a-2）2+（b-4）2=0，
解得：a=2，b=4，
∵a、b、c是△ABC的三边，且c是偶数，
∴c=4.
故△ABC的周长为：2+4+4=10.
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；非负数之和为0
【解析】【分析】利用完全平方公式将已知等式转化为（a-2）2+（b-4）2=0，再利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可求出a，b的值；然后根据a、b、c是△ABC的三边，且c是偶数，可得到c的值，然后求出△ABC的周长.
20．【答案】解：
∵ ，
∴ ，
∴密码为101030或103010或301010
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】首先提取公因式x，然后利用平方差公式分解可得4x3-xy2=x(2x+y)(2x-y)，然后令x=10，y=10，分别求出2x+y、2x-y的值，据此解答.
21．【答案】（1）C
（2）解：∵，∴因式分解不彻底．
（3）解：设，则原式
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）∵，∴运用了两数和的完全平方公式．
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式的特征即可得到答案；
（2）根据因式分解的定义及计算要求求解即可；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
22．【答案】（1）解：x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）（x－3－4）
=（x+1）（x－7）；
（2）解：a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－（3b）2
=（a+2b +3b）（a+2b－3b）
=（a+5b）（ a－b）．
【知识点】因式分解﹣公式法；定义新运算
【解析】【分析】利用公式法分解因式即可。
23．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝144﹣94＝50；
故答案为：50
（3）解：根据题意作图如下：
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据图形可知，大正方形的边长为a+b+c，
则其面积为（a+b+c）2，
各部分面积和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
【分析】（1）大正方形的面积=各部分面积和，据此即得等式；
（2） 由于a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc） ，据此即可求解；
（3） 用2个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形、5个小长方形拼成一个矩形即可.
24．【答案】（1）42；9
（2）解：设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，
则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n.
又∵一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，
∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3.
∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38.
（3）解：设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，
∵c 5f（c）＞30，
∴10x＋y 5（x＋y）＞30，
∴5x＞30＋4y，
∵y≥1，
∴5x＞34，即x＞6.8，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，
当x＝7时，y＝1，c＝71；
当x＝8时，y＝1或2，c＝81或82；
当x＝9时，y＝1或2或3，c＝91或92或93；
综上，满足条件的c的值为：71，81，82，91，92，93.
【知识点】因式分解的应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42.
故答案为：42；
②f（45）＝（45＋54）÷11＝9.
故答案为：9；
【分析】（1）由“湘一数”的定义进行求解即可；
（2） 设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，由f（10m＋n）＝m＋n，得k＋2（k＋1）＝11， 求出k值，即可求b；
（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据 c 5f（c）＞30列出不等式，从而求出x的范围，再求出x的整数解即可求出c值.
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一、单选题
1．（2021八上·长沙期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A.等号右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，
B.等号右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，
C.是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意，
D.等号右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式叫因式分解，根据定义分别判断即可.
2．（2021八下·大埔期末）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】多项式 的公因式为a．
故答案为：A．
【分析】 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可。
3．（2021七下·滦南期末）下列多项式：① ；② ；③ ；④ ，其中能用平方差公式分解因式的多项式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：③ ，④ 可以用平方差公式分解因式；
① ；② 不可以用平方差公式分解因式．
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式及因式分解的定义逐项判定即可。
4．（2021八上·东平月考）若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故答案为：C．
【分析】根据长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，得出，，可求出a+b的值，再代入求解即可。
5．（2021八上·德阳月考）若一个等腰三角形的两边m，n满足9m2-n2=-13，3m+n=13，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．16 D．11或16
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵9m2-n2=-13，
∴（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，
∵3m+n=13，
∴3m-n=-1，
∴m=2，n=7，
∴当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，
当m为腰，n为底时，不能构成三角形，
∴该等腰三角形的周长为16.
故答案为：C.
【分析】利用因式分解把原式变形为（ 3m+n ）（ 3m-n ）=-13，由3m+n=13得出3m-n=-1，从而得出m=2，n=7，分两种情况讨论：当n为腰，m为底时，三角形的周长为16，当m为腰，n为底时，不能构成三角形，即可得出答案.
6．（2021八上·东平月考）已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故答案为：D．
【分析】首先把a2+b2+c2—ab－bc－ca两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式因式分解可得a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），再把a、b、c代入求值即可。
7．已知△ABC的三边a，b，c满足 ，则△ABC为（ ）.
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：将 整理得：
∴，
∴，
解得：，
∴该三角形是等边三角形.
故答案为：B.
【分析】首先将等式利用拆项及分组分解分解法变形为，然后根据偶数次幂的非负性及绝对值的非负性，由三个非负数的和为0，则这几个数都为0即可求出a，b，c的值，进而根据三角形的三边关系判断得出结论.
8．（2020·扬州模拟）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 . （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6
∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）= ，故（1）正确；
（ 2 ）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数）
∵
∴n×n是m的最佳分解
∴对任意一个完全平方数m，总有 ，故（2）正确；
（ 3 ）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确；
（ 4 ）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x
∵t为吉祥数
∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36
∴y=x+4
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数
∴吉祥数有：15，26，37，48，59
∴ ， ， ， ，
∴最大值为 ，故（4）正确；
故答案为：D.
【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案.
二、填空题
9．（2021九上·福田期中）分解因式：3m2﹣48＝ ．
【答案】3（m+4）（m-4）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： 3m2-48＝3（m2-16） =3（ m+4 ）（ m-4 ）.
【分析】先提公因式3，再根据平方差公式因式分解，即可得出答案.
10．（2020七上·金安期末）若a2﹣3a＝﹣2，则代数式1+6a﹣2a2的值为 ．
【答案】5
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣3a＝﹣2，
∴1+6a﹣2a2＝1﹣2（a2﹣3a）＝1﹣2×（﹣2）＝1+4＝5．
故填5．
【分析】先用提公因式法对后两项进行因式分解，然后整体代入。
11．（2021八上·泰安期中）4x2-(k-1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为
【答案】5或﹣3
【知识点】因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【解答】解：∵4x2-（k-1）x+1是完全平方式，
∴k-1=±4，
∴k=5或-3.
【分析】根据完全平方式的结构特征，得出k-1=±4，即可得出k的值.
12．（2021八上·海淀期末）在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为 ．（写出一个即可）
【答案】2x
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴○可以为2x、－2x、2x－1等，答案不唯一，
故答案为：2x．
【分析】先求出，，再求解即可。
13．（2021八上·莱州期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，
∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为 ，
∴在 ＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝ ．
故答案为：
【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入多项式进行因式分解即可。
14．（2021八上·普陀期中）在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： 的根为
即 ，
．
故答案为： ．
【分析】利用公式法因式分解即可。
15．（2019七下·嘉兴期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).
【答案】104020，102040等写出一个即可
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
16．（2020七上·景德镇期末）已知 为实数，若 均为多项式 的因式，则 .
【答案】100
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】解： 均为多项式 的因式，且三次项系数为1
设另一个因式为
则
整理得：
由此可得：
故答案为：100.
【分析】根据三次项系数为1，可设另一个因式为 ，然后建立等式，分别用k表示m，n，p的值，再代入求解即可.
三、计算题
17．（2021八上·乌兰察布期末）
（1）计算题：
①（a2）3 （a2）4÷（a2）5
②（x﹣y+9）（x+y﹣9）
（2）因式分解
①﹣2a3+12a2﹣18a
②（x2+1）2﹣4x2．
【答案】（1）解：①原式＝a14÷a10＝a4；
②原式＝x2﹣（y﹣9）2＝x2﹣y2+18y﹣81；
（2）解：①原式＝﹣2a（a﹣3）2；
②原式＝（x2+1+2x）（x2+1-2x）=（x+1）2（x﹣1）2．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）①先利用同底数幂的乘法计算，再利用同底数幂的除法计算即可；②利用平方差公式求解即可；
（2）①先提取公因式-2a，再利用完全平方公式因式分解即可；②利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可。
四、解答题
18．试说明对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。
【答案】解：∵n（n+7）-n（n-5）+6
=n2+7n-n2+5n+6
=12n+6
=6（2n+1），
∴对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。
【知识点】整式的混合运算；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】先进行整式的混合运算，将原式整理化简，得出一个含6的公因数，即可得证.
19．（2020八上·郸城期中）已知a、b、c是 的三边，a、b使等式 成立，且c是偶数，求 的周长.
【答案】解：∵a2+b2-4a-8b+20=0，
∴（a2-4a+4）+（b2-8b+16）=0，
∴（a-2）2+（b-4）2=0，
解得：a=2，b=4，
∵a、b、c是△ABC的三边，且c是偶数，
∴c=4.
故△ABC的周长为：2+4+4=10.
【知识点】因式分解的应用；三角形三边关系；非负数之和为0
【解析】【分析】利用完全平方公式将已知等式转化为（a-2）2+（b-4）2=0，再利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可求出a，b的值；然后根据a、b、c是△ABC的三边，且c是偶数，可得到c的值，然后求出△ABC的周长.
20．（2020七下·德江期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如 ，当 时， ， ， ，则密码018162或180162等.对于多项式 ，取 ，用上述方法产生密码是什么？
【答案】解：
∵ ，
∴ ，
∴密码为101030或103010或301010
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】首先提取公因式x，然后利用平方差公式分解可得4x3-xy2=x(2x+y)(2x-y)，然后令x=10，y=10，分别求出2x+y、2x-y的值，据此解答.
五、综合题
21．（2021八上·陵城月考）下面是某同学对多项式因式分解的过程．
解：设，
则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
解答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（ ）
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）解：∵，∴因式分解不彻底．
（3）解：设，则原式
．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】（1）∵，∴运用了两数和的完全平方公式．
故答案为：C．
【分析】（1）根据完全平方公式的特征即可得到答案；
（2）根据因式分解的定义及计算要求求解即可；
（3）参照题干中的计算方法求解即可。
22．（2021八上·密山期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
【答案】（1）解：x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）（x－3－4）
=（x+1）（x－7）；
（2）解：a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－（3b）2
=（a+2b +3b）（a+2b－3b）
=（a+5b）（ a－b）．
【知识点】因式分解﹣公式法；定义新运算
【解析】【分析】利用公式法分解因式即可。
23．（2021七下·杭州开学考）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式.例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）由图2，可得等式： .
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
（2）解：∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝144﹣94＝50；
故答案为：50
（3）解：根据题意作图如下：
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）根据图形可知，大正方形的边长为a+b+c，
则其面积为（a+b+c）2，
各部分面积和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
【分析】（1）大正方形的面积=各部分面积和，据此即得等式；
（2） 由于a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc） ，据此即可求解；
（3） 用2个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形、5个小长方形拼成一个矩形即可.
24．（2021八上·内江期中）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ；②计算： .
（2）如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 ，且 ，请求出“湘一数”b；
（3）如果一个“湘一数”c，满足 ，求满足条件的c的值.
【答案】（1）42；9
（2）解：设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，
则f（10m＋n）＝（10m＋n＋10n＋m）÷11＝m＋n.
又∵一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是2（k＋1），且f（b）＝11，
∴k＋2（k＋1）＝11，解得k＝3.
∴b＝10k＋2（k＋1）＝12k＋2＝12×3＋2＝38.
（3）解：设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y，
∵c 5f（c）＞30，
∴10x＋y 5（x＋y）＞30，
∴5x＞30＋4y，
∵y≥1，
∴5x＞34，即x＞6.8，
∵x为整数，
∴x可取7，8，9，
当x＝7时，y＝1，c＝71；
当x＝8时，y＝1或2，c＝81或82；
当x＝9时，y＝1或2或3，c＝91或92或93；
综上，满足条件的c的值为：71，81，82，91，92，93.
【知识点】因式分解的应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）①由“湘一数”的定义可得，“湘一数”为42.
故答案为：42；
②f（45）＝（45＋54）÷11＝9.
故答案为：9；
【分析】（1）由“湘一数”的定义进行求解即可；
（2） 设任意一个“湘一数”的十位上的数字是m，个位上的数字是n，由f（10m＋n）＝m＋n，得k＋2（k＋1）＝11， 求出k值，即可求b；
（3）设c的十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据 c 5f（c）＞30列出不等式，从而求出x的范围，再求出x的整数解即可求出c值.
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