苏科版初中数学七年级下册 7.4 认识三角形 同步练习（基础版）
一、单选题
1．（2021八下·重庆期末）下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内
D．三角形每一边上的高都小于其他两边
2．（2021八上·新邵期末）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·莆田期中）三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线 B．边 C．高 D．中线
4．（2021七上·长春期末）下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ）
A．15，10，7 B．4，5，10 C．3，8，5 D．1，1，2
5．（2021八上·安定期末）等腰三角形两边长为3和6，则周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．无法确定
6．（2021七下·莲湖期末）在△ABC中，AB＝10，BC＝1，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
7．（2021八上·诸暨月考）在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
8．（2021八上·瓯海月考）如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，若△CDE的面积使2，则△ABC的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．（2021八上·九台期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米
A．8 B．12 C．16 D．18
二、填空题
11．（2021七上·海陵期末）若△ABC三条边长为a，b，c，化简： ＝ .
12．（2021七下·江汉期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠BAC=50°，∠C=70°，则∠EAD=
13．（2021八上·荣县月考）如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABC的面积等于24cm2，则阴影部分图形面积等于 cm2
14．（2021七下·苏州期末）如图，已知 中， ， ， 、 相交于点O.若 的面积为30，则四边形 的面积为 .
15．（2020七下·常熟期中）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点出F.若S△ABC=12，BD=2，则EF=
16．（2020七上·响水期中）如图，在 中，D、E分别为 、 的中点，若 的面积为 ，则 的面积为 .
17．（2019七下·南京月考）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若△ABC的面积S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝ .
18．（2021七下·江阴月考）如图所示，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积为8，则阴影部分的面积为 .
三、解答题
19．（2019七下·大丰期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
20．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 。
21．在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
22．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
23．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线。
（1）求∠DAE的度数；
（2）指出AD是哪几个三角形的高。
24．如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，
（1）求△ABD的面积．
（2）求AC的长．
（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．
25．如图
（1）如图1，已知△ABC，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD的面积是 ，△EBD的面积是 ．
（2）如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少？
26．已知△ABC中，AE平分∠BAC
（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的高不一定在三角形内，故A选项错误；
任何三角形都有三条高，故B选项错误；
锐角三角形的三条高都在三角形内，故C选项正确；
直角三角形一条直角边的高等于另一条直角边，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】钝角三角形的三条高不都在三角形内部，据此判断A；任何三角形都有三条高，据此判断B；锐角三角形的三条高都在三角形内，据此判断C；直角三角形一条直角边的高等于另一条直角边，据此判断D.
2．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D.
故答案为：B.
【分析】选项A图形中，由作图痕迹可知虚线是线段BC的垂直平分线，则点D是BC的中点，故AD是△ABC的中线，据此判断；选项B图形中，由作图痕迹可知AD是BC边的高线，据此判断；选项C图形中，由作图痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，据此判断；选项D图形中，由作图痕迹可知AD与AB垂直，据此判断.
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图， 是 的中线，则
而 中 上的高相同，
所以三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，
故A，B，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可知：三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，据此即可解答.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 所以以长为的三条线段为边能组成三角形，故A符合题意；
所以以长为的三条线段为边不能组成三角形，故B不符合题意；
所以以长为的三条线段为边不能组成三角形，故C不符合题意；
所以以长为的三条线段为边不能组成三角形，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+3=6不符，
∴另一边必须为6，
∴周长为3+6+6=15.
故答案为：B.
【分析】先通过等腰三角形的定义有两边相等，然后分类讨论有两种情况3、3、6和6、6、3，接着通过三角形三边关系看哪个能构成三角形，进而求出周长.
6．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系得：
10﹣1＜AC＜10+1，
即9＜AC＜11，
∵AC为偶数，
∴AC＝10，
∴△ABC的周长为：10+10+1＝21，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出AC的取值范围，再根据AC的长为偶数，得出AC的长，最后利用三角形的周长公式即可求解.
7．【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A=2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意得出∠A=∠B+∠C，结合三角形的内角和定理列式，推出∠A为直角，即可判断.
8．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是BC上的中线，
∴，
∵CE是中AD边上的中线，
∴，
∴，即，
∵的面积是2，
∴.
故答案为：D.
【分析】由等底同高三角形面积相等得，，从而得出据此即可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AD，
则：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
即：×8 DF＋×8 DE＝24，
可得：DE＋DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故答案为：A．
【分析】连接AD，由于S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即得×8 DF＋×8 DE＝24，据此求出DE+DF的值，结合DF＝2DE即可求解.
10．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵F是EC的中点，
∴，
∴，
∵ E是BD的中点 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质可得，，，再结合，即可得到。
11．【答案】2a－2c
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵△ABC三条边长为a，b，c，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
=
=
= .
故答案为：2a－2c.
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值，最后合并即可.
12．【答案】5°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠C＝70°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180° ∠ADC ∠C＝20°，
∵AE是∠BAC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝25°，
∴∠EAD＝∠CAE ∠CAD＝5°.
故答案为：5°.
【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠CAD，再根据角平分线的定义求出∠CAE，最后根据角的和差关系求∠EAD即可.
13．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，
∴S△BEF=S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，
∴S△EBC=S△ABC，
∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=24cm2，
∴S△BEF=6cm2，
即阴影部分的面积为6cm2.
故答案为：6.
【分析】根据三角形中线的性质，由等底同高的三角形的面积相等可得S△BEF=S△BEC，S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，从而得出S△EBC=S△ABC，即得S△BEF=S△ABC，据此即得结论.
14．【答案】12.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AO，
∵△ABC的面积为30，AE=BE，
∴S△ACE=S△BEC= S△ABC= ×30=15，S△AOE=S△BOE，
∵AD=2CD，
∴S△ABD= S△ABC= ×30=20，S△AOD=2S△ODC，
设S△COD=x，S△AOE=a，
∴S△BOE=a，S△AOD=2x，
∴ ，解得： ，
∴四边形ADOE的面积=S△AOE+S△AOD=a+2x=7.5+5=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】连接AO，由AE=BE，可得S△ACE=S△BEC= S△ABC=15，S△AOE=S△BOE，由AD=2CD可得S△ABD= S△ABC=20，S△AOD=2S△ODC，设S△COD=x，S△AOE=a，可得，求解，再利用四边形ADOE的面积=S△AOE+S△AOD即可求出结论.
15．【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10，
∴S△ABD＝ S△ABC，BD＝2；
同理，BE是△ABD的中线，S△BDE＝ S△ABD；
∴S△BDE＝ S△ABC，
∵S△BDE＝ BD EF，
∴ BD EF＝ S△ABC，
又∵△ABC的面积为12，BD＝2，
∴EF＝3.
【分析】因为S△ABD＝ S△ABC、S△BDE＝ S△ABD；所以S△BDE＝ S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可.
16．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE＝ S△ACD，S△ACD＝ S△ABC，
∴S△CDE＝ S△ABC＝ ×24＝6.
故答案为：6.
【分析】由D、E分别是BC，AD的中点，根据三角形中线的性质可得S△CDE＝ S△ACD，S△ACD＝ S△ABC，即得S△CDE＝ S△ABC，据此即得结论.
17．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】如图，作DH∥AE交BC于H.
∵DH∥AE，AD＝DC，
∴EH＝CH，
∵EC＝2BE，
∴BE＝EH＝HC，
∴S△ABE＝ S△ABC＝8，S△ABD＝ S△ABC＝12，
∵EF＝ DH，DH＝ AE，
∴EF＝ AE，
∴S△BEF＝ ×8＝2，S△ABF＝8﹣2＝6，
∴S△ADF＝12﹣6＝6，
∴S△ADF﹣S△BEF＝6﹣2＝4，
故答案为4.
【分析】如图，作DH∥AE交BC于H.分别求出△BEF，△ADF的面积即可解决问题.
18．【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD S△ABC＝4，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝ S△ABD＝2，S△CED＝ S△ADC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABE+S△CED＝4，
故答案为4.
【分析】由于AD是△ABC的中线，根据等底同高可得S△ABD＝S△ACD S△ABC＝4，同理求出S△ABE＝ S△ABD＝2，S△CED＝ S△ADC＝2，根据阴影部分的面积＝S△ABE+S△CED进行计算即可.
19．【答案】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；
BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】三角形一个内角的角平分线与其对边相交，交点与这个顶点的线段，就是三角形的角平分线，连接三角形一边中点及这边所对的顶点的线段，就是这个三角形的中线，根据三角形的角平分线的定义及三角形中线的定义即可一一判断得出答案.
20．【答案】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：CD就是所求的中线；
（3）如图所示：AE即为BC边上的高；
（4）4×4÷2=16÷2=8．
故△A′B′C′的面积为8．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）连接BB′，过A、C分别做BB′的平行线，并且在平行线上截取AA′=CC′=BB′，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；
（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．
（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；
（4）根据三角形面积公式即可求出△A′B′C′的面积．
21．【答案】解：∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=35°﹣30°=5°．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义得出∠CAD的度数，根据AE⊥BC于E求出∠CAE的度数，进而可得出结论．
22．【答案】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B），=180°﹣（30°+62°），=180°﹣92°，=88°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACB=44°，∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣62°=28°，∴∠ECD=∠ECB﹣∠BCD=44°﹣28°=16°，∵DF⊥CE于F，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣16°=74°．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
23．【答案】（1）解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=50°+30°=80°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=40°，
∴∠DAE=50°-40°=10°
（2）解：AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】(1)利用三角形内角和，求出∠BAC=50°+30°=80°，在利用余角性质和角平分线，可求出；（2）可利用高的定义，得出AD与CD、ED、EC、BE、ED、BD垂直，与之对应可找出三角形.
24．【答案】（1）解：∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=12，
∴△ABC的面积= BC AF= ×12×6=36
（2）解：∵AC边上的高为BG，BG=5，
∴△ABC的面积= AC BG=36，
∴AC=
（3）解：△ABD和△ACD的面积相等．
∵△ABC的中线为AD，
∴BD=CD，
∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高，
∴S△ABD=S△ACD．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式方法计算即可；
（2）利用三角形的面积计算公式建立方程求得答案即可；
（3）利用等底同高的三角形面积相等得出答案.
25．【答案】（1）8；4
（2）解：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴S△ABD= S△ABC=8，
∵E是AD的中点，
∴S△BED= S△ABD=4，
同理得，S△CDE=4；
∴S△BCE=8，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE=4．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积，
∴S△ABD= S△ABC= =8，
S△EBD= S△ABD= =4，
故答案为：8，4；
【分析】（1）根据三角形中线等分三角形的面积，再由点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点可求出答案；
（2）根据三角形中线等分三角形的面积，再由题意可得△ABD的面积=△ADC的面积=△ABC面积的一半，△BDE的面积=△ABD的面积一半，△CDE的面=△ACD的面积的一半，同理△BEF的面积=△BCE的面积一半，可求出答案.
26．【答案】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；
又∵AE平分∠BAC，
∴∠1==72°，
∴∠3=∠1+∠C=72°，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠2=90°，
∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．
（2）成立．
如图2，∵AE平分∠BAC，
∴∠1===90°﹣-，
∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，
又∵PF⊥BC于F，
∴∠2=90°，
∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．
1 / 1苏科版初中数学七年级下册 7.4 认识三角形 同步练习（基础版）
一、单选题
1．（2021八下·重庆期末）下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．直角三角形只有一条高
C．锐角三角形的三条高都在三角形内
D．三角形每一边上的高都小于其他两边
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：三角形的高不一定在三角形内，故A选项错误；
任何三角形都有三条高，故B选项错误；
锐角三角形的三条高都在三角形内，故C选项正确；
直角三角形一条直角边的高等于另一条直角边，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】钝角三角形的三条高不都在三角形内部，据此判断A；任何三角形都有三条高，据此判断B；锐角三角形的三条高都在三角形内，据此判断C；直角三角形一条直角边的高等于另一条直角边，据此判断D.
2．（2021八上·新邵期末）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D.
故答案为：B.
【分析】选项A图形中，由作图痕迹可知虚线是线段BC的垂直平分线，则点D是BC的中点，故AD是△ABC的中线，据此判断；选项B图形中，由作图痕迹可知AD是BC边的高线，据此判断；选项C图形中，由作图痕迹可知AD是∠BAC的角平分线，据此判断；选项D图形中，由作图痕迹可知AD与AB垂直，据此判断.
3．（2021八上·莆田期中）三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线 B．边 C．高 D．中线
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图， 是 的中线，则
而 中 上的高相同，
所以三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，
故A，B，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可知：三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分，据此即可解答.
4．（2021七上·长春期末）下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ）
A．15，10，7 B．4，5，10 C．3，8，5 D．1，1，2
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 所以以长为的三条线段为边能组成三角形，故A符合题意；
所以以长为的三条线段为边不能组成三角形，故B不符合题意；
所以以长为的三条线段为边不能组成三角形，故C不符合题意；
所以以长为的三条线段为边不能组成三角形，故D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。
5．（2021八上·安定期末）等腰三角形两边长为3和6，则周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+3=6不符，
∴另一边必须为6，
∴周长为3+6+6=15.
故答案为：B.
【分析】先通过等腰三角形的定义有两边相等，然后分类讨论有两种情况3、3、6和6、6、3，接着通过三角形三边关系看哪个能构成三角形，进而求出周长.
6．（2021七下·莲湖期末）在△ABC中，AB＝10，BC＝1，并且AC的长为偶数，则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系得：
10﹣1＜AC＜10+1，
即9＜AC＜11，
∵AC为偶数，
∴AC＝10，
∴△ABC的周长为：10+10+1＝21，
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求出AC的取值范围，再根据AC的长为偶数，得出AC的长，最后利用三角形的周长公式即可求解.
7．（2021八上·诸暨月考）在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C=∠A+∠A=2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：D.
【分析】由题意得出∠A=∠B+∠C，结合三角形的内角和定理列式，推出∠A为直角，即可判断.
8．（2021八上·瓯海月考）如图，△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，若△CDE的面积使2，则△ABC的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是BC上的中线，
∴，
∵CE是中AD边上的中线，
∴，
∴，即，
∵的面积是2，
∴.
故答案为：D.
【分析】由等底同高三角形面积相等得，，从而得出据此即可求解.
9．（2021八上·九台期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AD，
则：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，
即：×8 DF＋×8 DE＝24，
可得：DE＋DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故答案为：A．
【分析】连接AD，由于S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，即得×8 DF＋×8 DE＝24，据此求出DE+DF的值，结合DF＝2DE即可求解.
10．（2021八上·虎林期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵F是EC的中点，
∴，
∴，
∵ E是BD的中点 ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中线的性质可得，，，再结合，即可得到。
二、填空题
11．（2021七上·海陵期末）若△ABC三条边长为a，b，c，化简： ＝ .
【答案】2a－2c
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵△ABC三条边长为a，b，c，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
=
=
= .
故答案为：2a－2c.
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.先判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值，最后合并即可.
12．（2021七下·江汉期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠BAC=50°，∠C=70°，则∠EAD=
【答案】5°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠C＝70°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180° ∠ADC ∠C＝20°，
∵AE是∠BAC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝25°，
∴∠EAD＝∠CAE ∠CAD＝5°.
故答案为：5°.
【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠CAD，再根据角平分线的定义求出∠CAE，最后根据角的和差关系求∠EAD即可.
13．（2021八上·荣县月考）如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABC的面积等于24cm2，则阴影部分图形面积等于 cm2
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，
∴S△BEF=S△BEC，
∵E是AD的中点，
∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，
∴S△EBC=S△ABC，
∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=24cm2，
∴S△BEF=6cm2，
即阴影部分的面积为6cm2.
故答案为：6.
【分析】根据三角形中线的性质，由等底同高的三角形的面积相等可得S△BEF=S△BEC，S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，从而得出S△EBC=S△ABC，即得S△BEF=S△ABC，据此即得结论.
14．（2021七下·苏州期末）如图，已知 中， ， ， 、 相交于点O.若 的面积为30，则四边形 的面积为 .
【答案】12.5
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接AO，
∵△ABC的面积为30，AE=BE，
∴S△ACE=S△BEC= S△ABC= ×30=15，S△AOE=S△BOE，
∵AD=2CD，
∴S△ABD= S△ABC= ×30=20，S△AOD=2S△ODC，
设S△COD=x，S△AOE=a，
∴S△BOE=a，S△AOD=2x，
∴ ，解得： ，
∴四边形ADOE的面积=S△AOE+S△AOD=a+2x=7.5+5=12.5.
故答案为：12.5.
【分析】连接AO，由AE=BE，可得S△ACE=S△BEC= S△ABC=15，S△AOE=S△BOE，由AD=2CD可得S△ABD= S△ABC=20，S△AOD=2S△ODC，设S△COD=x，S△AOE=a，可得，求解，再利用四边形ADOE的面积=S△AOE+S△AOD即可求出结论.
15．（2020七下·常熟期中）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点出F.若S△ABC=12，BD=2，则EF=
【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝10，
∴S△ABD＝ S△ABC，BD＝2；
同理，BE是△ABD的中线，S△BDE＝ S△ABD；
∴S△BDE＝ S△ABC，
∵S△BDE＝ BD EF，
∴ BD EF＝ S△ABC，
又∵△ABC的面积为12，BD＝2，
∴EF＝3.
【分析】因为S△ABD＝ S△ABC、S△BDE＝ S△ABD；所以S△BDE＝ S△ABC，再根据三角形的面积公式求得即可.
16．（2020七上·响水期中）如图，在 中，D、E分别为 、 的中点，若 的面积为 ，则 的面积为 .
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△CDE＝ S△ACD，S△ACD＝ S△ABC，
∴S△CDE＝ S△ABC＝ ×24＝6.
故答案为：6.
【分析】由D、E分别是BC，AD的中点，根据三角形中线的性质可得S△CDE＝ S△ACD，S△ACD＝ S△ABC，即得S△CDE＝ S△ABC，据此即得结论.
17．（2019七下·南京月考）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，BD是AC边上的中线，若△ABC的面积S△ABC＝24，则S△ADF﹣S△BEF＝ .
【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】如图，作DH∥AE交BC于H.
∵DH∥AE，AD＝DC，
∴EH＝CH，
∵EC＝2BE，
∴BE＝EH＝HC，
∴S△ABE＝ S△ABC＝8，S△ABD＝ S△ABC＝12，
∵EF＝ DH，DH＝ AE，
∴EF＝ AE，
∴S△BEF＝ ×8＝2，S△ABF＝8﹣2＝6，
∴S△ADF＝12﹣6＝6，
∴S△ADF﹣S△BEF＝6﹣2＝4，
故答案为4.
【分析】如图，作DH∥AE交BC于H.分别求出△BEF，△ADF的面积即可解决问题.
18．（2021七下·江阴月考）如图所示，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积为8，则阴影部分的面积为 .
【答案】4
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD S△ABC＝4，
∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝ S△ABD＝2，S△CED＝ S△ADC＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABE+S△CED＝4，
故答案为4.
【分析】由于AD是△ABC的中线，根据等底同高可得S△ABD＝S△ACD S△ABC＝4，同理求出S△ABE＝ S△ABD＝2，S△CED＝ S△ADC＝2，根据阴影部分的面积＝S△ABE+S△CED进行计算即可.
三、解答题
19．（2019七下·大丰期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？
【答案】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；
BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】三角形一个内角的角平分线与其对边相交，交点与这个顶点的线段，就是三角形的角平分线，连接三角形一边中点及这边所对的顶点的线段，就是这个三角形的中线，根据三角形的角平分线的定义及三角形中线的定义即可一一判断得出答案.
20．如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．
（1）补全△A′B′C′根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）△A′B′C′的面积为 。
【答案】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示：CD就是所求的中线；
（3）如图所示：AE即为BC边上的高；
（4）4×4÷2=16÷2=8．
故△A′B′C′的面积为8．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）连接BB′，过A、C分别做BB′的平行线，并且在平行线上截取AA′=CC′=BB′，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；
（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．
（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；
（4）根据三角形面积公式即可求出△A′B′C′的面积．
21．在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．
【答案】解：∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE=35°﹣30°=5°．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义得出∠CAD的度数，根据AE⊥BC于E求出∠CAE的度数，进而可得出结论．
22．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数．
【答案】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B），=180°﹣（30°+62°），=180°﹣92°，=88°，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACB=44°，∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣62°=28°，∴∠ECD=∠ECB﹣∠BCD=44°﹣28°=16°，∵DF⊥CE于F，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣16°=74°．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．
23．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线。
（1）求∠DAE的度数；
（2）指出AD是哪几个三角形的高。
【答案】（1）解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=40°，∠C=60°，
∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=50°+30°=80°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=40°，
∴∠DAE=50°-40°=10°
（2）解：AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】(1)利用三角形内角和，求出∠BAC=50°+30°=80°，在利用余角性质和角平分线，可求出；（2）可利用高的定义，得出AD与CD、ED、EC、BE、ED、BD垂直，与之对应可找出三角形.
24．如图：△ABC的边BC的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，AF=6，BC=12，BG=5，
（1）求△ABD的面积．
（2）求AC的长．
（3）△ABD和△ACD的面积有何关系．
【答案】（1）解：∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=12，
∴△ABC的面积= BC AF= ×12×6=36
（2）解：∵AC边上的高为BG，BG=5，
∴△ABC的面积= AC BG=36，
∴AC=
（3）解：△ABD和△ACD的面积相等．
∵△ABC的中线为AD，
∴BD=CD，
∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高，
∴S△ABD=S△ACD．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式方法计算即可；
（2）利用三角形的面积计算公式建立方程求得答案即可；
（3）利用等底同高的三角形面积相等得出答案.
25．如图
（1）如图1，已知△ABC，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，若△ABC的面积为16，则△ABD的面积是 ，△EBD的面积是 ．
（2）如图2，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积为16，求△BEF的面积是多少？
【答案】（1）8；4
（2）解：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴S△ABD= S△ABC=8，
∵E是AD的中点，
∴S△BED= S△ABD=4，
同理得，S△CDE=4；
∴S△BCE=8，
∵F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE=4．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，三角形中线等分三角形的面积，
∴S△ABD= S△ABC= =8，
S△EBD= S△ABD= =4，
故答案为：8，4；
【分析】（1）根据三角形中线等分三角形的面积，再由点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点可求出答案；
（2）根据三角形中线等分三角形的面积，再由题意可得△ABD的面积=△ADC的面积=△ABC面积的一半，△BDE的面积=△ABD的面积一半，△CDE的面=△ACD的面积的一半，同理△BEF的面积=△BCE的面积一半，可求出答案.
26．已知△ABC中，AE平分∠BAC
（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．
【答案】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；
又∵AE平分∠BAC，
∴∠1==72°，
∴∠3=∠1+∠C=72°，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠2=90°，
∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．
（2）成立．
如图2，∵AE平分∠BAC，
∴∠1===90°﹣-，
∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，
又∵PF⊥BC于F，
∴∠2=90°，
∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．
1 / 1
