湘教版初中数学八年级下册1.1直角三角形的判定与性质（Ⅰ）同步练习
一、单选题
1．（2021八上·江阴期中）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线
B．等腰直角三角形底边上的高线等于底边的一半
C．直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的直角边是斜边的一半
D．等边三角形有一条对称轴
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称图形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，正确，故不符合题意；
B、等腰直角三角形底边上的高线等于底边的一半，正确，故不符合题意；
C、直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的直角边是斜边的一半，正确，故不符合题意；
D、等边三角形有三条对称轴，原说法错误，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质可判断A；根据等腰直角三角形底边上的高线与中线重合结合直角三角形斜边上中线的性质可判断B；根据直角三角形中30°角所对的直角边为斜边的一半可判断C；根据等边三角形的性质可判断D.
2．（2021·盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： 、两直线平行，同位角相等，不符合题意；
、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同位角的性质、圆心角与弧的关系、矩形的判定及直角三角形斜边上中线的性质逐项判断即可。
3．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
则在△AED中，∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠D=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。
4．（2021八上·铁岭期末）如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，
∴，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴，
∴
∵点C是OB上一个动点
∴当时，PC的值最小，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴最小值，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，再根据角平分线的性质和垂线段最短得出答案。
5．（2021八上·博兴期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠CBG＝∠ABG＝30°，
∴CG＝ BG＝ ，
当 时， 的长最小，此时点G到AB的距离等于GC，
即
∴GP的最小值为 ，
故答案为：B．
【分析】利用三角形的面积公式求出CG，再根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可。
6．（2021八上·定州期中）等腰三角形的底角是 ，腰长为10，则其腰上的高为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，CD⊥AB，
∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=30°，∠ADC=90°，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】画出草图，可得∠CAD=∠B+∠ACB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
7．（2021八上·南昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=2，
∴BC=4，
∴AB=8，
∴AD=AB-BD=6．
故答案为：A．
【分析】先求出∠BCD=∠A=30°，再求出AB=8，最后计算求解即可。
8．（2021八上·平塘期中）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA， ∠AOP＝∠BOP＝15°
∴∠CPO=∠AOP＝∠BOP＝15°
∴OC=PC=4，∠PCE= ∠AOB=∠BOP+∠AOP=30°，
∴PE= PC=2，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，
∴PD=PE=2.
故答案为：C.
【分析】过点P作PE⊥OB于E，由平行线的性质结合已知条件可得∠CPO=∠AOP＝∠BOP＝15°，推出OC=PC=4，∠PCE= ∠AOB=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出PE的值，接下来根据角平分线的性质进行解答.
9．（2021八上·台州期中）如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．1.5 C．3 D．2.5
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥ED于F点，
∵∠A=30°，
∴DE=AD=2，∠ADE=90°-∠A=60°，
∴∠CDF=∠ADC-∠ADE=60°，
∴∠FCD=30°，
∴CD=2FD=2.
故答案为：A.
【分析】过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥ED于F点，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE，根据角的和差关系求出∠CDF，再根据含30°角直角三角形的性质求CD即可.
10．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠2，
∵∠2=90°-45°=45°，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案为：B.
【分析】取∠2，根据角的和差关系求出∠2，再利用三角形外角的性质求∠1即可.
11．（2021八上·罗庄期中）如图，在 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算可得∠BCD=∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=8，，最后利用线段的和差计算可得。
12．（2021八下·江岸期中）下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的对角线的性质，可对A作出判断；利用矩形的对角线的性质，可对B作出判断；利用直角三角形的性质，可对C作出判断；利用菱形的判定定理，可对D作出判断.
二、填空题
13．（2021八上·瑞安期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式 .
【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半.
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的条件为：一个三角形为直角三角形，结论为它斜边上的中线等于斜边的一半，然后根据如果后面是条件，那么后面是结论进行解答.
14．（2021八上·陆川期中）已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝ .
【答案】53°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=37°，
∴∠B=90°-37°=53°.
故答案为：53°.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可求解.
15．（2020八下·陆丰期中）若直角三角形斜边上的中线等于3，则这个直角三角形的斜边长为
【答案】6．
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】已知直角三角形斜边上的中线等于3，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得这个直角三角形的斜边长为6．
故答案为：6．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得．
16．（2020八上·乳山期末）（知识衔接）
⑴长方形的对角线相等且互相平分；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（问题解决）如图，在 中， ， 于点 ， 为 的中点，连结 ， ．下列结论：
① ；② ；③S四边形DEBC ；④ ．正确的是
【答案】①②③
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 为 的中点，
，
，故①符合题意；
延长EF与BC的延长线相交与点G，
，
，
在 和 中，
在Rt 中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，故②符合题意；
BF是 的中线
又
S四边形DEBC=S△BEC
S四边形DEBC=2S△BEF，故③符合题意；
设
，
，故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的的性质，等腰三角形的性质即可判断①；延长EF与BC的延长线相交于点G，易证，再根据全等三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线的性质即可判断③；设∠DEF=x，根据三角形外角和平行线的性质即可判断④。
17．（2021八上·德阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ECF=∠EDB=90°，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠A=∠F=30°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴BE=2DE=2.
故答案为：2.
【分析】 根据等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，根据等腰三角形的性质得出∠EBA=∠A=30°，根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”，即可得出BE=2DE=2.
18．（2021八上·博兴期中）如图，AD平分∠BAC，DEAB，DF⊥AB．若AE＝8，∠BAC＝30°，则DF的长为 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DM⊥AC于M，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，∠BAC＝30°，
∴∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE＝AE，∠DEC＝30°，
∵AE＝8，
∴DE＝8，
∴DM＝ DE＝ 8＝4，
∴DF＝DM＝4，
故答案为：4．
【分析】过D作DM⊥AC于M，根据角平分线的性质求出DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得出∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，根据等腰三角形的判定得出DE＝AE，∠DEC＝30°，根据含30度角的直角三角形性质得出DM＝ DE＝ 8＝4，再求出DF即可。
19．（2021八上·岫岩期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2.
【分析】先根据三角形的内角和及角平分线的定义可得∠BAD=∠B=30°，可得BA=AD，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=AD=2CD=2.
20．（2021八上·恩平期中）如图，在 中， ， ， ，交 于点D，且 ，则 ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，AD=1，
∴BD=2，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAC=30°，
∴AD=CD=1，
∴CB=3，
故答案为：3．
【分析】根据等边对等角的形式可得∠B=∠C=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=2AD，最后利用BD+CD计算即可。
21．（2021八上·无棣期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是
【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=54°，
∴∠B=36°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=72°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=18°.
【分析】根据直角三角形的性质得出∠B=36°，根据等腰三角形的性质得出∠BCD=∠BDC=72°，利用∠ACD=∠ACB-∠BCD，即可得出答案.
22．（2021八上·莆田期中）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为 .
【答案】45°或30°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”= ×90°=45°；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，x+2x=90°，
解得x=30°，
所以，“特征角”是30°，
综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°.
故答案为：45°或30°.
【分析】分两种情况：①“特征角”的2倍是直角时，②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，据此分别解答即可.
三、解答题
23．（2021八上·江津期中）如图，AF，AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数.
【答案】解：∵AF是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用三角形内角和先求出∠FAC=14°，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，由角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=35°，利用∠DAF=∠DAC-∠FAC计算即得.
24．（2021八上·德州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，求证：BE＝2AC．
【答案】（1）解：如图作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求
（2）解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B．
又∵∠CAE：∠EAB=4：1，
∴∠CAE：∠B=4：1，
∴∠CAB=5∠B．
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
得6∠B=90°，
∴∠B=15°
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°．
（3）解： ∵∠EAB=∠B=15°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°
∵∠C＝90°
∴AE=2AC
∵EA=EB，
∴BE＝2AC
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求；
（2）根据DE是AB的垂直平分线，得出∠EAB=∠B．再根据∠CAE：∠EAB=4：1，得出∠CAB=5∠B．在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，得出∠B=15°，即可得出结论；
（3）根据∠EAB=∠B=15°，得出∠AEC=∠EAB+∠B=30°，再根据∠C＝90°，得出AE=2AC，即可得出结论。
25．（2021八下·孝义期末）阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1， 中， ， 是斜边 上的中线．求证： ． 分析：要证明 等于 的一半．可以用“倍长法”将 延长一倍，如图2，延长 到 ，使得 ．连接 ， ．可证四边形 是矩形，由矩形的对角线相等得 ，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到 ．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）上述证明方法中主要体现的数学思想是______；
A．转化思想 B．类比思想
C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想
（3）如图3，点 是线段 上一点， ，点 是线段 上一点，分别连接 ， ，点 ， 分别是 和 的中点，连接 ．若 ， ， ．则 ．
【答案】（1）证明：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ， ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）A
（3）
【知识点】矩形的性质；数学思想；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）根据题干信息：三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，可知答案为A；
故答案为：A
（3）过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH，可得四边形ACDH是矩形，同理可作矩形CBRE，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于点Q，则四边形ABRQ是矩形，如图，
∴四边形HQED，QACE均为矩形，
∴HQ=DE=5，QR=AB=12
由勾股定理得，HR=13
∵点 ， 分别是 和 的中点，
∴点 ， 分别是 和 的中点，
∴FG是 的中位线，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】（1）延长 到 ，使得 ，连接 ， ，因为 是斜边 上的中线，证出四边形 是矩形，即可得出 ；
（2）三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，即可得出答案；
（3）过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH，可得四边形ACDH是矩形，同理可作矩形CBRE，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于点Q，则四边形ABRQ是矩形，由勾股定理得，HR=13，得出FG是 的中位线，即可得出FG的长。
四、综合题
26．（2021八上·余杭月考）如图，在中，，，是边上的点，且，过点作边的垂线交边于点，求的长.
【答案】解：，，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【分析】 由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=60°，结合CD的值可得CE，然后根据AE=AC-CE进行计算.
27．（2020·上海模拟）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：
（1）他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在 中， 是 边上的中线，若 ，求证： .
（2）如图②，已知矩形 ，如果在矩形外存在一点 ，使得 ，求证： .（可以直接用第（1）问的结论）
（3）在第（2）问的条件下，如果 恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边 与 的数量关系.
【答案】（1）解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°
（2）解：如图②，连接 与 ，交点为 ，连接
四边形 是矩形
（3）解：如图3，过点 做 于点
四边形 是矩形
，
是等边三角形
，
由（2）知，
在 中，
，
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE= AC，即可得出OE= BD，即可得出结论；（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．
28．（2021八上·万州期末）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为D、E，M为斜边AB的中点（备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
（1）如图1，当点P与点M重合时，AD与BE的位置关系是 ，MD与ME的数量关系是 .
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点M重合时，试判断MD与ME的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上且PQ是不与AB重合的任一直线时，分别过A、B向直线PQ作垂线，垂足分别为D、E，此时（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）如图，延长 交 于
由（1）得： ，
为 的中点，
（3）延长 与 交于点
同理可得：
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图，
为 的中点，
即
故答案为： ， MD=ME；
【分析】（1）由题意用角角边可证△APD≌△BPE，由全等三角形的对应边相等对应角相等可求解；
（2）延长EM交AD于F，由（1）可得AD∥BE，由平行线的性质可得∠FAM=∠MBE，结合题意用角边角可证△AFM≌△BEM，由全等三角形的对应边相等可得FM=EM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解；
（3）延长DA与EM交于点G，同理可证AD∥BE，结合题意用角边角可证△AGM≌△BEM，由全等三角形的对应边相等可得GM=EM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解.
1 / 1湘教版初中数学八年级下册1.1直角三角形的判定与性质（Ⅰ）同步练习
一、单选题
1．（2021八上·江阴期中）下列说法不正确的是（ ）
A．等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线
B．等腰直角三角形底边上的高线等于底边的一半
C．直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的直角边是斜边的一半
D．等边三角形有一条对称轴
2．（2021·盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2021八上·铁岭期末）如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·博兴期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
6．（2021八上·定州期中）等腰三角形的底角是 ，腰长为10，则其腰上的高为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．4
7．（2021八上·南昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．（2021八上·平塘期中）如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
9．（2021八上·台州期中）如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．1.5 C．3 D．2.5
10．（2021八上·台州期中）如图如果将一副三角板按如图方式叠放，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2021八上·罗庄期中）如图，在 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（2021八下·江岸期中）下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
二、填空题
13．（2021八上·瑞安期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式 .
14．（2021八上·陆川期中）已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝ .
15．（2020八下·陆丰期中）若直角三角形斜边上的中线等于3，则这个直角三角形的斜边长为
16．（2020八上·乳山期末）（知识衔接）
⑴长方形的对角线相等且互相平分；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（问题解决）如图，在 中， ， 于点 ， 为 的中点，连结 ， ．下列结论：
① ；② ；③S四边形DEBC ；④ ．正确的是
17．（2021八上·德阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
18．（2021八上·博兴期中）如图，AD平分∠BAC，DEAB，DF⊥AB．若AE＝8，∠BAC＝30°，则DF的长为 ．
19．（2021八上·岫岩期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝ ．
20．（2021八上·恩平期中）如图，在 中， ， ， ，交 于点D，且 ，则 ．
21．（2021八上·无棣期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是
22．（2021八上·莆田期中）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为直角三角形，则这个“特征角”的度数为 .
三、解答题
23．（2021八上·江津期中）如图，AF，AD分别是 的高和角平分线，且 ， ，求 的度数.
24．（2021八上·德州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）求作△AEB，使△AEB是以AB为底的等腰三角形，且使点E在边BC上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，若∠CAE：∠EAB＝4：1，求∠AEB的度数；
（3）在（2）的条件下，求证：BE＝2AC．
25．（2021八下·孝义期末）阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1， 中， ， 是斜边 上的中线．求证： ． 分析：要证明 等于 的一半．可以用“倍长法”将 延长一倍，如图2，延长 到 ，使得 ．连接 ， ．可证四边形 是矩形，由矩形的对角线相等得 ，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到 ．
（1）请你按材料中的分析写出证明过程；
（2）上述证明方法中主要体现的数学思想是______；
A．转化思想 B．类比思想
C．数形结合思想 D．从一般到特殊思想
（3）如图3，点 是线段 上一点， ，点 是线段 上一点，分别连接 ， ，点 ， 分别是 和 的中点，连接 ．若 ， ， ．则 ．
四、综合题
26．（2021八上·余杭月考）如图，在中，，，是边上的点，且，过点作边的垂线交边于点，求的长.
27．（2020·上海模拟）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：
（1）他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在 中， 是 边上的中线，若 ，求证： .
（2）如图②，已知矩形 ，如果在矩形外存在一点 ，使得 ，求证： .（可以直接用第（1）问的结论）
（3）在第（2）问的条件下，如果 恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边 与 的数量关系.
28．（2021八上·万州期末）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为D、E，M为斜边AB的中点（备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.
（1）如图1，当点P与点M重合时，AD与BE的位置关系是 ，MD与ME的数量关系是 .
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点M重合时，试判断MD与ME的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上且PQ是不与AB重合的任一直线时，分别过A、B向直线PQ作垂线，垂足分别为D、E，此时（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称图形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：A、等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，正确，故不符合题意；
B、等腰直角三角形底边上的高线等于底边的一半，正确，故不符合题意；
C、直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的直角边是斜边的一半，正确，故不符合题意；
D、等边三角形有三条对称轴，原说法错误，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质可判断A；根据等腰直角三角形底边上的高线与中线重合结合直角三角形斜边上中线的性质可判断B；根据直角三角形中30°角所对的直角边为斜边的一半可判断C；根据等边三角形的性质可判断D.
2．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： 、两直线平行，同位角相等，不符合题意；
、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据同位角的性质、圆心角与弧的关系、矩形的判定及直角三角形斜边上中线的性质逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
则在△AED中，∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠D=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，
∴，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴，
∴
∵点C是OB上一个动点
∴当时，PC的值最小，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴最小值，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，再根据角平分线的性质和垂线段最短得出答案。
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠CBG＝∠ABG＝30°，
∴CG＝ BG＝ ，
当 时， 的长最小，此时点G到AB的距离等于GC，
即
∴GP的最小值为 ，
故答案为：B．
【分析】利用三角形的面积公式求出CG，再根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，CD⊥AB，
∠B=∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠B+∠ACB=30°，∠ADC=90°，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】画出草图，可得∠CAD=∠B+∠ACB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=2，
∴BC=4，
∴AB=8，
∴AD=AB-BD=6．
故答案为：A．
【分析】先求出∠BCD=∠A=30°，再求出AB=8，最后计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC∥OA， ∠AOP＝∠BOP＝15°
∴∠CPO=∠AOP＝∠BOP＝15°
∴OC=PC=4，∠PCE= ∠AOB=∠BOP+∠AOP=30°，
∴PE= PC=2，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，
∴PD=PE=2.
故答案为：C.
【分析】过点P作PE⊥OB于E，由平行线的性质结合已知条件可得∠CPO=∠AOP＝∠BOP＝15°，推出OC=PC=4，∠PCE= ∠AOB=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质求出PE的值，接下来根据角平分线的性质进行解答.
9．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥ED于F点，
∵∠A=30°，
∴DE=AD=2，∠ADE=90°-∠A=60°，
∴∠CDF=∠ADC-∠ADE=60°，
∴∠FCD=30°，
∴CD=2FD=2.
故答案为：A.
【分析】过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥ED于F点，根据含30°角的直角三角形的性质求出DE，根据角的和差关系求出∠CDF，再根据含30°角直角三角形的性质求CD即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠2，
∵∠2=90°-45°=45°，
∴∠1=60°+45°=105°.
故答案为：B.
【分析】取∠2，根据角的和差关系求出∠2，再利用三角形外角的性质求∠1即可.
11．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用角的运算可得∠BCD=∠A=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=8，，最后利用线段的和差计算可得。
12．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，说法正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的对角线的性质，可对A作出判断；利用矩形的对角线的性质，可对B作出判断；利用直角三角形的性质，可对C作出判断；利用菱形的判定定理，可对D作出判断.
13．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半.
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它斜边上的中线等于斜边的一半.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的条件为：一个三角形为直角三角形，结论为它斜边上的中线等于斜边的一半，然后根据如果后面是条件，那么后面是结论进行解答.
14．【答案】53°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=37°，
∴∠B=90°-37°=53°.
故答案为：53°.
【分析】根据直角三角形两锐角互余可求解.
15．【答案】6．
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】已知直角三角形斜边上的中线等于3，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得这个直角三角形的斜边长为6．
故答案为：6．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得．
16．【答案】①②③
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 为 的中点，
，
，故①符合题意；
延长EF与BC的延长线相交与点G，
，
，
在 和 中，
在Rt 中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，故②符合题意；
BF是 的中线
又
S四边形DEBC=S△BEC
S四边形DEBC=2S△BEF，故③符合题意；
设
，
，故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【分析】利用平行线的的性质，等腰三角形的性质即可判断①；延长EF与BC的延长线相交于点G，易证，再根据全等三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可判断②；根据三角形中位线的性质即可判断③；设∠DEF=x，根据三角形外角和平行线的性质即可判断④。
17．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ECF=∠EDB=90°，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠A=∠F=30°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴BE=2DE=2.
故答案为：2.
【分析】 根据等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，根据等腰三角形的性质得出∠EBA=∠A=30°，根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”，即可得出BE=2DE=2.
18．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DM⊥AC于M，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，∠BAC＝30°，
∴∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE＝AE，∠DEC＝30°，
∵AE＝8，
∴DE＝8，
∴DM＝ DE＝ 8＝4，
∴DF＝DM＝4，
故答案为：4．
【分析】过D作DM⊥AC于M，根据角平分线的性质求出DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得出∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，根据等腰三角形的判定得出DE＝AE，∠DEC＝30°，根据含30度角的直角三角形性质得出DM＝ DE＝ 8＝4，再求出DF即可。
19．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2.
【分析】先根据三角形的内角和及角平分线的定义可得∠BAD=∠B=30°，可得BA=AD，再利用含30°角的直角三角形的性质可得BD=AD=2CD=2.
20．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，AD=1，
∴BD=2，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAC=30°，
∴AD=CD=1，
∴CB=3，
故答案为：3．
【分析】根据等边对等角的形式可得∠B=∠C=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=2AD，最后利用BD+CD计算即可。
21．【答案】18°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=54°，
∴∠B=36°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=72°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=18°.
【分析】根据直角三角形的性质得出∠B=36°，根据等腰三角形的性质得出∠BCD=∠BDC=72°，利用∠ACD=∠ACB-∠BCD，即可得出答案.
22．【答案】45°或30°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①“特征角”的2倍是直角时，“特征角”= ×90°=45°；
②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，设“特征角是x”，
由题意得，x+2x=90°，
解得x=30°，
所以，“特征角”是30°，
综上所述，这个“特征角”的度数为45°或30°.
故答案为：45°或30°.
【分析】分两种情况：①“特征角”的2倍是直角时，②“特征角”的2倍与“特征角”都不是直角时，据此分别解答即可.
23．【答案】解：∵AF是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD是 的角平分线，
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】利用三角形内角和先求出∠FAC=14°，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，由角平分线的定义可得∠DAC=∠BAC=35°，利用∠DAF=∠DAC-∠FAC计算即得.
24．【答案】（1）解：如图作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求
（2）解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B．
又∵∠CAE：∠EAB=4：1，
∴∠CAE：∠B=4：1，
∴∠CAB=5∠B．
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
得6∠B=90°，
∴∠B=15°
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=150°．
（3）解： ∵∠EAB=∠B=15°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°
∵∠C＝90°
∴AE=2AC
∵EA=EB，
∴BE＝2AC
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于点E，则△EAB即为所求；
（2）根据DE是AB的垂直平分线，得出∠EAB=∠B．再根据∠CAE：∠EAB=4：1，得出∠CAB=5∠B．在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，得出∠B=15°，即可得出结论；
（3）根据∠EAB=∠B=15°，得出∠AEC=∠EAB+∠B=30°，再根据∠C＝90°，得出AE=2AC，即可得出结论。
25．【答案】（1）证明：如图，延长 到 ，使得 ，连接 ， ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）A
（3）
【知识点】矩形的性质；数学思想；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）根据题干信息：三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，可知答案为A；
故答案为：A
（3）过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH，可得四边形ACDH是矩形，同理可作矩形CBRE，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于点Q，则四边形ABRQ是矩形，如图，
∴四边形HQED，QACE均为矩形，
∴HQ=DE=5，QR=AB=12
由勾股定理得，HR=13
∵点 ， 分别是 和 的中点，
∴点 ， 分别是 和 的中点，
∴FG是 的中位线，
∴ ．
故答案为 ．
【分析】（1）延长 到 ，使得 ，连接 ， ，因为 是斜边 上的中线，证出四边形 是矩形，即可得出 ；
（2）三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，即可得出答案；
（3）过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH，可得四边形ACDH是矩形，同理可作矩形CBRE，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于点Q，则四边形ABRQ是矩形，由勾股定理得，HR=13，得出FG是 的中位线，即可得出FG的长。
26．【答案】解：，，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；线段的计算
【解析】【分析】 由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=60°，结合CD的值可得CE，然后根据AE=AC-CE进行计算.
27．【答案】（1）解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°
（2）解：如图②，连接 与 ，交点为 ，连接
四边形 是矩形
（3）解：如图3，过点 做 于点
四边形 是矩形
，
是等边三角形
，
由（2）知，
在 中，
，
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE= AC，即可得出OE= BD，即可得出结论；（3）先判断出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．
28．【答案】（1）；
（2）如图，延长 交 于
由（1）得： ，
为 的中点，
（3）延长 与 交于点
同理可得：
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）如图，
为 的中点，
即
故答案为： ， MD=ME；
【分析】（1）由题意用角角边可证△APD≌△BPE，由全等三角形的对应边相等对应角相等可求解；
（2）延长EM交AD于F，由（1）可得AD∥BE，由平行线的性质可得∠FAM=∠MBE，结合题意用角边角可证△AFM≌△BEM，由全等三角形的对应边相等可得FM=EM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解；
（3）延长DA与EM交于点G，同理可证AD∥BE，结合题意用角边角可证△AGM≌△BEM，由全等三角形的对应边相等可得GM=EM，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解.
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