湘教版初中数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习
一、单选题
1．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
y
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
A．﹣4.1 B．﹣4.2
C．﹣4.3 D．﹣4.4
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x=﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x=﹣4.3时的y值比x=﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3．故选C．
【分析】当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10=0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值．
2．（2021九上·吴兴期末）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：当y=0时，-0.49＜y＜0.04，
∴1.1＜x＜1.2.
故答案为：B.
【分析】 一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是二次函数当y=0时，自变量的x的值，根据表格得出-0.49和0.04更接近于0，即可得出x的取值范围为1.1＜x＜1.2.
3．（2021九上·龙沙期末）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得令，
∴，
∴，，，
∴，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象与坐标轴的交点问题即可得出m的取值范围。
4．（2021九上·莲池期末）二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1和3，则的图象与x轴的交点的横坐标分别为（ ）
A．-3和1 B．1和5 C．-3和5 D．3和5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1和3
∴的图象与x轴的交点的横坐标分别为：-1-2＝-3和3-2＝1
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点的横坐标即可得出答案。
5．（2021九上·朝阳期末）将抛物线在x轴上方的部分记为，在x轴上及其下方的部分记为，将沿x轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为M．若直线与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，实线部分即为M的图像，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，-6），
由函数图象可知，当或时，直线y=m与M恰有2个交点，
故答案为：B．
【分析】根据题意先画出函数图象，再求出抛物线的顶点D（2，-6），由图象可知抛物线与x轴有两个交点，与直线y=2下方的直线有两个交点，据此即得结论.
6．（2021·于洪模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为.下列结论①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=，故①错误；
②由图象可知，当x=2时，y＞0，即，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（-1，0），故③正确；
④由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
故④错误，
综上，正确结论的序号为②③，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴有2个交点可知判别式>0，据此判断①；根据x=2对应的函数值为正可判断②；根据对称性可得图象与x轴的另一个交点的坐标，据此判断③；根据函数的增减性可判断④.
7．（2021九上·武汉月考）抛物线y＝（x﹣2）2与y轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，4） C．（0，2） D．（0，﹣4）
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：x＝0时，y＝（﹣2）2=4，
∴抛物线y＝（x﹣2）2与y轴的交点坐标是（0，4）.
故答案为：B.
【分析】令x=0，求出y的值，据此可得抛物线与y轴的交点坐标.
8．（2021九上·郑州月考）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴a＜0，，
∴
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，
∴另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时，y＜0，
∴，故②错误；
∵与x轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1）
∴（m为任意实数），故④正确.
综上：正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2=，与y轴交于负半轴，据此判断a、b、c的正负，进而判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，则x=-1对应的函数值为负，据此判断②；根据图象与x轴有两个交点可判断③；根据函数的最大值为1可判断④.
9．（2021九上·郑州月考）对于二次函数，以下说法正确的是（ ）
A．时，y随x的增大而增大
B．或时，
C．，在的图象上，则
D．此二次函数的最大值为8
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解∵a=-1<0，
∴的对称轴为，图象开口向下，
∴时，y随x的增大而增大；故A不正确；
∵时的两个根为，
∴当时，y＞0；故B不正确；
∵，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；故C正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9，故D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式可得二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=-2，当x≤-2时，y随x的增大而增大据此判断A；求出方程-x2-4x+5=0的两根，然后找出图象在x轴上方部分所对应的x的范围，据此判断B；当抛物线的开口向下的时候，根据距离对称轴越近的点，对应的函数值越大可判断C；令x=-2，求出y的值，据此判断D.
10．（2021九上·南阳月考）已知：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随增大而增大
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以③错误；
④∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
⑤∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴有2个交点可知b2-4ac＞0，据此判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），据此判断②；根据x=-1对应的函数值为0可判断③；根据抛物线与x轴的交点坐标结合图象可判断④；根据抛物线的对称轴结合图象可判断⑤.
11．（2021九下·淮滨开学考）对于抛物线，下列判断错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．与x轴有两个交点
C．开口向上 D．与y轴在的交点在x轴下方
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对称轴是直线，此选项错误；
B、 ，抛物线与x轴有两个交点，此选项正确；
C、 ，抛物线开口向上，此选项正确；
D、当x=0时，y=-3，所以抛物线与y轴在的交点在x轴下方，此选项正确.
故答案为：A.
【分析】根据x=可得对称轴，进而判断A；求出△的值，据此判断B；根据二次项系数的正负可判断C；令x=0，求出y的值，据此判断D.
12．（2021九上·余杭月考）已知二次函数y＝x2﹣bx＋c的图象与x轴只有一个交点，且经过A（1，n）和B（m＋2，n）两点，则m，n满足的关系是（ ）
A．n＝ B．m＝
C．n﹣1＝ D．m﹣1＝
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x= = ，
解得b=m+3，
∵二次函数y=x2-bx+c与x轴只有一个交点，
则△=b2-4c=（m+3）2-4c=0，解得c= （m+3）2，
当x=1时，y=n=1-b+c=1-（m+3）+ （m+3）2= .
故答案为：A.
【分析】由点A、B的纵坐标相同可得对称轴为x==，则b=m+3，根据二次函数图象与x轴只有一个交点可知△=0，代入求解可得c=(m+3)2，当x=1时，n=1-b+c=1-(m+3)+(m+3)2，化简即可.
二、填空题
13．（2021九上·莲池期末）已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由于抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，
故设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），
则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴x1+x2=－m， x1·x2=m－2，
由题意，得：即，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，由此得出m的范围。
14．（2021九上·伊通期末）抛物线y＝3x2﹣3与y轴的交点坐标是 ．
【答案】（0，-3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-3，
∴抛物线y=3x2-3与y轴交点的坐标为（0，-3），
故答案为：（0，-3）．
【分析】将x=0代入y＝3x2﹣3中求出y值即可求解.
15．（2021九上·江夏月考）抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1，n），且与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间.则下列结论：
①a+b+c＜0；②2a-b=0；③一元二次方程ax2+（b+）x+c-=0的两根为x1，x2，则|x1-x2|=2；④对于任意实数m，不等式a（m2-1）+（m+1）b≤0恒成立.
则上述说法正确的是 .（填序号）
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间.
∴当x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0，所以①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-=-1，
∴b=2a，
∴2a-b=0，所以②结论正确；
③一元二次方程ax2+（b+）x+c-=0的两根为x1，x2，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-x+的交点的横坐标为x1，x2，
∵直线y=-x+经过点（1，0），（-1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间.
∴x1=-1，0＜x2＜1，
∴|x1-x2|＜2，所以③结论错误；
④∵x=-1时，函数有最大值，
∴a-b+c≥am2+bm+c（意实数m），
∴a（m2-1）+（m+1）b≤0，所以④结论正确；
故答案为：①②④.
【分析】根据对称性可得：与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，由x=1对应的函数值为负可判断①；根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，据此判断②；易得直线经过点（1，0），（-1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，则x1=-1，0＜x2＜1，据此判断③；根据x=-1对应的函数值最大可得a-b+c≥am2+bm+c，变形可判断④.
16．（2021九上·东西湖月考）抛物线与x轴的交点坐标是 .
【答案】（1，0），（3，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=2(x-1)(x-3)，
∴令y=0，即2(x-1)(x-3)=0，
解得x1=1，x2=3，
∴二次函数y=2(x-1)(x-3)与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
故答案为：（1，0），（3，0）.
【分析】令y=0，求出x的值，进而可得二次函数图象与x轴的交点坐标.
17．（2021九上·荆州月考）已知抛物线与x轴只有1个公共点，则m的值为 .
【答案】±1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴只有1个公共点，
∴ =0，
∴，
解得.
故答案为：±1.
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可得 =b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
18．（2021九下·福州开学考）如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是 .
【答案】x＜－1或x＞5
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞5，
故答案为：x＜－1或x＞5.
【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图象在x轴下方部分所对应的x的范围即可.
19．（2021九上·瑞安月考）已知抛物线y=ax2+bx-5的对称轴是x2，与x轴的一个交点为（-1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 .
【答案】（5，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x=2对称，
∵与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（5，0）.
故答案为：（5，0）.
【分析】根据抛物线的性质得出抛物线与x轴的两个交点关于直线x=2对称，在根据轴对称的性质即可得出答案.
20．（2021九上·新邵期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的不等式的解集为 .
【答案】-2＜x＜1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式可化为，抛物线与直线
的两个交点坐标分别为，
∴抛物线在直线图象下方所对应的x的取值范围-2＜x＜1，即为不等式的解集.
故答案为：-2＜x＜1.
【分析】不等式ax2-bx-c<0可变形为ax221．（2021九上·德阳月考）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧）与 轴交于点 ，点 在抛物线上， 是该抛物线对称轴上一动点，当 的值最小时， 的面积为 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0，则x2-2x-3=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵当x=4时，y=5，
∴D（2，5），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
当x=1时，y=2，当x=0时，y=1，
∴E（1，2），F（0，1），
∴CF=4，
∴S△ACE=×4×（1+1）=4.
【分析】根据题意画出图形，求出点A、B、C、D、E的坐标，再求出直线AD与y轴的交点F的坐标，从而得出CF的长，利用三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
22．（2021九上·硚口月考）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，它与x轴交于（x1，0）、（x2，0），其中－3＜x1＜－2，c＞0，下列四个结论：① a＜0；② 1＜x2＜2；③ 点（t，y1）、（t＋2，y2）在抛物线上，当y1＜y2时，则t＜－2；④ 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有3个，其中正确的有
【答案】①③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵－3＜x1＜－2，对称轴是直线x＝－1，
∴ ，
∴0＜x2＜1，
∵c＞0，
∴抛物线开口向下，即a＜0；
故①正确，②错误；
③由①知a＜0，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－1，
∴当 时，y随x增大而增大，
∴当 时，y1＜y2，故③正确；
④根据抛物线y＝ax2＋bx＋c可知，
若ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则两个根分别为-2和0，或-1和-1，
故P的值有2个，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】由已知条件可得抛物线开口向下，据此判断①；根据x1的范围结合对称轴可得x2的范围，据此判断②；根据开口方向以及对称轴判断出函数的增减性，进而判断③；若ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则两个根分别为-2和0，或-1和-1，据此判断④.
三、解答题
23．利用图象法求一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的近似根．（精确到0.1）
【答案】解：方程x2﹣2x﹣2=0根是函数y=x2﹣2x﹣2与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在﹣1和0之间，另一个在2和3之间．
先求﹣1和0之间的根，
当x=﹣0.7时，y=﹣0.11；当x=﹣0.8时，y=0，24；
因此，x=﹣0.7是方程的一个近似根，
同理，x=2.7是方程的另一个近似根．
故一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的近似根为x=﹣0.7或2.7．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
24．（2021九上·蜀山月考）求证：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．
【答案】证明：令 ，则
原方程有两个不等实数根，
即抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
25．（2021九上·合肥期中）若二次函数y=（m-6）x2+4x-2的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围．
【答案】解：由题意得， ，且 ，
∴ ，
解得m＞4且m≠6．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点问题转换成一元二次方程根的判别式的问题，列出不等式求解即可。
四、综合题
26．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h=v0t- gt2（h是物体离起点的高度，v是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）.杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出，球的起点离开地面2m.
（1）1.2s时球离起点的高度是多少？
（2）几秒后球离起点的高度达到2.55m？
（3）球经过多长时间才落地？
【答案】（1）解：当t=1.2时，代入求得h= ，
∴1.2秒时球离起点的高度是 .
（2）解：当h=2.55时，2.55=-5t2+10t，
解得t1=1.7，t2=0.3.
故0.3秒或1.7秒后球离起点的高度达到2.55m.
（3）解：当球落地时h=-2，
2=-5t2+10t，
解得t1= （舍去），t2= .
故球经过 秒后落地
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）将t，g的值代入函数解析式，可求出h的值.
（2）由题意可知h=2.55，将h，g的值代入关系式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）根据球的起点离开地面2m，可知当球落地时h=-2，代入关系式，可建立关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值.
27．（2021九上·莲池期末）已知关于x的一元二次方程：．
（1）当时，解方程：
（2）若的一个解是，求k；
（3）若抛物线与x轴无交点，试确定k的取值范围．
【答案】（1）解：将代入
则方程为
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故方程的解为，．
（2）解：将代入得
∴
得
（3）解：由可知a=2，b=4，c=k
∴
∵令，则原方程无解
∴
∴
即时，抛物线与x轴无交点．
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将K的值代入，再利用公式法求解即可得出答案；
（2）将x=-1代入方程，在戒指即可得出答案；
（3）由题意得出方程无实数根，可得出，解之得出答案。
28．（2021九上·杜尔伯特期末）已知抛物线y＝x2＋ax＋a﹣3
（1）求证，不论a取何值抛物线与x轴，总有两个交点；
（2）a＝5时，求抛物线与x轴两个交点的距离；
（3）直接写出a＝ 时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小？
【答案】（1）证明：由题意得 =，
∵，
∴不论a取何值抛物线与x轴，总有两个交点；
（2）解：将a＝5代入解析式得，
解方程，得，
∴a＝5时，求抛物线与x轴两个交点的距离为；
（3）2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（3）设抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为，且，
∴，
抛物线与x轴的两个交点间的距离为=，
∴当a=2时，有最小值，即抛物线与x轴的两个交点间的距离最小，
故答案为：2．
【分析】（1）求出抛物线解析式的判别式，利用配方法判断即可；
（2）将a＝5代入解析式得，解方程即可得出答案；
（3）设抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为，且，即可得出答案。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册1.4二次函数与一元二次方程的联系 同步练习
一、单选题
1．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x﹣10的图象，由图象可知，方程x2+2x﹣10=0有两个根，一个在﹣5和﹣4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）
x
﹣4.1
﹣4.2
﹣4.3
﹣4.4
y
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
A．﹣4.1 B．﹣4.2
C．﹣4.3 D．﹣4.4
2．（2021九上·吴兴期末）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
3．（2021九上·龙沙期末）若抛物线与x轴没有交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·莲池期末）二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1和3，则的图象与x轴的交点的横坐标分别为（ ）
A．-3和1 B．1和5 C．-3和5 D．3和5
5．（2021九上·朝阳期末）将抛物线在x轴上方的部分记为，在x轴上及其下方的部分记为，将沿x轴向下翻折得到，和两部分组成的图象记为M．若直线与M恰有2个交点，则m的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
6．（2021·于洪模拟）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为.下列结论①；②；③图象与轴的另一个交点为；④当时，随的增大而减小，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．（2021九上·武汉月考）抛物线y＝（x﹣2）2与y轴的交点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，4） C．（0，2） D．（0，﹣4）
8．（2021九上·郑州月考）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021九上·郑州月考）对于二次函数，以下说法正确的是（ ）
A．时，y随x的增大而增大
B．或时，
C．，在的图象上，则
D．此二次函数的最大值为8
10．（2021九上·南阳月考）已知：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随增大而增大
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．（2021九下·淮滨开学考）对于抛物线，下列判断错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．与x轴有两个交点
C．开口向上 D．与y轴在的交点在x轴下方
12．（2021九上·余杭月考）已知二次函数y＝x2﹣bx＋c的图象与x轴只有一个交点，且经过A（1，n）和B（m＋2，n）两点，则m，n满足的关系是（ ）
A．n＝ B．m＝
C．n﹣1＝ D．m﹣1＝
二、填空题
13．（2021九上·莲池期末）已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，则m的取值范围是 ．
14．（2021九上·伊通期末）抛物线y＝3x2﹣3与y轴的交点坐标是 ．
15．（2021九上·江夏月考）抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1，n），且与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间.则下列结论：
①a+b+c＜0；②2a-b=0；③一元二次方程ax2+（b+）x+c-=0的两根为x1，x2，则|x1-x2|=2；④对于任意实数m，不等式a（m2-1）+（m+1）b≤0恒成立.
则上述说法正确的是 .（填序号）
16．（2021九上·东西湖月考）抛物线与x轴的交点坐标是 .
17．（2021九上·荆州月考）已知抛物线与x轴只有1个公共点，则m的值为 .
18．（2021九下·福州开学考）如图是二次函数y＝ax2﹣bx＋c的图象，由图象可知，不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是 .
19．（2021九上·瑞安月考）已知抛物线y=ax2+bx-5的对称轴是x2，与x轴的一个交点为（-1，0），则该抛物线与x轴的另一个交点坐标是 .
20．（2021九上·新邵期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的不等式的解集为 .
21．（2021九上·德阳月考）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧）与 轴交于点 ，点 在抛物线上， 是该抛物线对称轴上一动点，当 的值最小时， 的面积为 ．
22．（2021九上·硚口月考）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，它与x轴交于（x1，0）、（x2，0），其中－3＜x1＜－2，c＞0，下列四个结论：① a＜0；② 1＜x2＜2；③ 点（t，y1）、（t＋2，y2）在抛物线上，当y1＜y2时，则t＜－2；④ 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有3个，其中正确的有
三、解答题
23．利用图象法求一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的近似根．（精确到0.1）
24．（2021九上·蜀山月考）求证：抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．
25．（2021九上·合肥期中）若二次函数y=（m-6）x2+4x-2的图象与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围．
四、综合题
26．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h=v0t- gt2（h是物体离起点的高度，v是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）.杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出，球的起点离开地面2m.
（1）1.2s时球离起点的高度是多少？
（2）几秒后球离起点的高度达到2.55m？
（3）球经过多长时间才落地？
27．（2021九上·莲池期末）已知关于x的一元二次方程：．
（1）当时，解方程：
（2）若的一个解是，求k；
（3）若抛物线与x轴无交点，试确定k的取值范围．
28．（2021九上·杜尔伯特期末）已知抛物线y＝x2＋ax＋a﹣3
（1）求证，不论a取何值抛物线与x轴，总有两个交点；
（2）a＝5时，求抛物线与x轴两个交点的距离；
（3）直接写出a＝ 时，抛物线与x轴的两个交点间的距离最小？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】当x由﹣4.1向﹣4.3变换过程中y值一直在增大，并越来越接近0，当x=﹣4.4时，y值大于0，则方程的一个根在﹣4.3和﹣4.4之间，x=﹣4.3时的y值比x=﹣4.4时更接近0，所以方程的一个近似根为：﹣4.3．故选C．
【分析】当y等于0时，x的值即为方程x2+2x﹣10=0的一个根，分析题干中的表格，方程的解应为y最接近0时x的值．
2．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：当y=0时，-0.49＜y＜0.04，
∴1.1＜x＜1.2.
故答案为：B.
【分析】 一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是二次函数当y=0时，自变量的x的值，根据表格得出-0.49和0.04更接近于0，即可得出x的取值范围为1.1＜x＜1.2.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得令，
∴，
∴，，，
∴，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数图象与坐标轴的交点问题即可得出m的取值范围。
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1和3
∴的图象与x轴的交点的横坐标分别为：-1-2＝-3和3-2＝1
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点的横坐标即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，实线部分即为M的图像，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，-6），
由函数图象可知，当或时，直线y=m与M恰有2个交点，
故答案为：B．
【分析】根据题意先画出函数图象，再求出抛物线的顶点D（2，-6），由图象可知抛物线与x轴有两个交点，与直线y=2下方的直线有两个交点，据此即得结论.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=，故①错误；
②由图象可知，当x=2时，y＞0，即，故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（-1，0），故③正确；
④由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
故④错误，
综上，正确结论的序号为②③，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴有2个交点可知判别式>0，据此判断①；根据x=2对应的函数值为正可判断②；根据对称性可得图象与x轴的另一个交点的坐标，据此判断③；根据函数的增减性可判断④.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：x＝0时，y＝（﹣2）2=4，
∴抛物线y＝（x﹣2）2与y轴的交点坐标是（0，4）.
故答案为：B.
【分析】令x=0，求出y的值，据此可得抛物线与y轴的交点坐标.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴a＜0，，
∴
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，
∴另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时，y＜0，
∴，故②错误；
∵与x轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1）
∴（m为任意实数），故④正确.
综上：正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2=，与y轴交于负半轴，据此判断a、b、c的正负，进而判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，则x=-1对应的函数值为负，据此判断②；根据图象与x轴有两个交点可判断③；根据函数的最大值为1可判断④.
9．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解∵a=-1<0，
∴的对称轴为，图象开口向下，
∴时，y随x的增大而增大；故A不正确；
∵时的两个根为，
∴当时，y＞0；故B不正确；
∵，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；故C正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9，故D不正确.
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式可得二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x=-2，当x≤-2时，y随x的增大而增大据此判断A；求出方程-x2-4x+5=0的两根，然后找出图象在x轴上方部分所对应的x的范围，据此判断B；当抛物线的开口向下的时候，根据距离对称轴越近的点，对应的函数值越大可判断C；令x=-2，求出y的值，据此判断D.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，所以③错误；
④∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
⑤∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴有2个交点可知b2-4ac＞0，据此判断①；根据对称性可得与x轴的另一个交点为（3，0），据此判断②；根据x=-1对应的函数值为0可判断③；根据抛物线与x轴的交点坐标结合图象可判断④；根据抛物线的对称轴结合图象可判断⑤.
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、 对称轴是直线，此选项错误；
B、 ，抛物线与x轴有两个交点，此选项正确；
C、 ，抛物线开口向上，此选项正确；
D、当x=0时，y=-3，所以抛物线与y轴在的交点在x轴下方，此选项正确.
故答案为：A.
【分析】根据x=可得对称轴，进而判断A；求出△的值，据此判断B；根据二次项系数的正负可判断C；令x=0，求出y的值，据此判断D.
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x= = ，
解得b=m+3，
∵二次函数y=x2-bx+c与x轴只有一个交点，
则△=b2-4c=（m+3）2-4c=0，解得c= （m+3）2，
当x=1时，y=n=1-b+c=1-（m+3）+ （m+3）2= .
故答案为：A.
【分析】由点A、B的纵坐标相同可得对称轴为x==，则b=m+3，根据二次函数图象与x轴只有一个交点可知△=0，代入求解可得c=(m+3)2，当x=1时，n=1-b+c=1-(m+3)+(m+3)2，化简即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由于抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，
故设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），
则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴x1+x2=－m， x1·x2=m－2，
由题意，得：即，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则x1、x2是一元二次方程有两个不相等的实数根，由此得出m的范围。
14．【答案】（0，-3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-3，
∴抛物线y=3x2-3与y轴交点的坐标为（0，-3），
故答案为：（0，-3）．
【分析】将x=0代入y＝3x2﹣3中求出y值即可求解.
15．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间.
∴当x=1时，y＜0，
即a+b+c＜0，所以①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴-=-1，
∴b=2a，
∴2a-b=0，所以②结论正确；
③一元二次方程ax2+（b+）x+c-=0的两根为x1，x2，
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-x+的交点的横坐标为x1，x2，
∵直线y=-x+经过点（1，0），（-1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间.
∴x1=-1，0＜x2＜1，
∴|x1-x2|＜2，所以③结论错误；
④∵x=-1时，函数有最大值，
∴a-b+c≥am2+bm+c（意实数m），
∴a（m2-1）+（m+1）b≤0，所以④结论正确；
故答案为：①②④.
【分析】根据对称性可得：与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，由x=1对应的函数值为负可判断①；根据对称轴为直线x=-1可得b=2a，据此判断②；易得直线经过点（1，0），（-1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，则x1=-1，0＜x2＜1，据此判断③；根据x=-1对应的函数值最大可得a-b+c≥am2+bm+c，变形可判断④.
16．【答案】（1，0），（3，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=2(x-1)(x-3)，
∴令y=0，即2(x-1)(x-3)=0，
解得x1=1，x2=3，
∴二次函数y=2(x-1)(x-3)与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），
故答案为：（1，0），（3，0）.
【分析】令y=0，求出x的值，进而可得二次函数图象与x轴的交点坐标.
17．【答案】±1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴只有1个公共点，
∴ =0，
∴，
解得.
故答案为：±1.
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可得 =b2-4ac=0，代入求解可得m的值.
18．【答案】x＜－1或x＞5
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由对称性得：抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），
∴不等式ax2﹣bx＋c＜0的解集是：x＜－1或x＞5，
故答案为：x＜－1或x＞5.
【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，然后找出图象在x轴下方部分所对应的x的范围即可.
19．【答案】（5，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x=2对称，
∵与x轴的一个交点为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（5，0）.
故答案为：（5，0）.
【分析】根据抛物线的性质得出抛物线与x轴的两个交点关于直线x=2对称，在根据轴对称的性质即可得出答案.
20．【答案】-2＜x＜1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式可化为，抛物线与直线
的两个交点坐标分别为，
∴抛物线在直线图象下方所对应的x的取值范围-2＜x＜1，即为不等式的解集.
故答案为：-2＜x＜1.
【分析】不等式ax2-bx-c<0可变形为ax221．【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0，则x2-2x-3=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵当x=4时，y=5，
∴D（2，5），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
当x=1时，y=2，当x=0时，y=1，
∴E（1，2），F（0，1），
∴CF=4，
∴S△ACE=×4×（1+1）=4.
【分析】根据题意画出图形，求出点A、B、C、D、E的坐标，再求出直线AD与y轴的交点F的坐标，从而得出CF的长，利用三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
22．【答案】①③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵－3＜x1＜－2，对称轴是直线x＝－1，
∴ ，
∴0＜x2＜1，
∵c＞0，
∴抛物线开口向下，即a＜0；
故①正确，②错误；
③由①知a＜0，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝－1，
∴当 时，y随x增大而增大，
∴当 时，y1＜y2，故③正确；
④根据抛物线y＝ax2＋bx＋c可知，
若ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则两个根分别为-2和0，或-1和-1，
故P的值有2个，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】由已知条件可得抛物线开口向下，据此判断①；根据x1的范围结合对称轴可得x2的范围，据此判断②；根据开口方向以及对称轴判断出函数的增减性，进而判断③；若ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则两个根分别为-2和0，或-1和-1，据此判断④.
23．【答案】解：方程x2﹣2x﹣2=0根是函数y=x2﹣2x﹣2与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y=x2﹣2x﹣2的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在﹣1和0之间，另一个在2和3之间．
先求﹣1和0之间的根，
当x=﹣0.7时，y=﹣0.11；当x=﹣0.8时，y=0，24；
因此，x=﹣0.7是方程的一个近似根，
同理，x=2.7是方程的另一个近似根．
故一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的近似根为x=﹣0.7或2.7．
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【分析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
24．【答案】证明：令 ，则
原方程有两个不等实数根，
即抛物线y＝x2+mx+m﹣2与x轴必有两个不同的交点．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式判断求解即可。
25．【答案】解：由题意得， ，且 ，
∴ ，
解得m＞4且m≠6．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将二次函数与x轴的交点问题转换成一元二次方程根的判别式的问题，列出不等式求解即可。
26．【答案】（1）解：当t=1.2时，代入求得h= ，
∴1.2秒时球离起点的高度是 .
（2）解：当h=2.55时，2.55=-5t2+10t，
解得t1=1.7，t2=0.3.
故0.3秒或1.7秒后球离起点的高度达到2.55m.
（3）解：当球落地时h=-2，
2=-5t2+10t，
解得t1= （舍去），t2= .
故球经过 秒后落地
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）将t，g的值代入函数解析式，可求出h的值.
（2）由题意可知h=2.55，将h，g的值代入关系式，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）根据球的起点离开地面2m，可知当球落地时h=-2，代入关系式，可建立关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值.
27．【答案】（1）解：将代入
则方程为
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故方程的解为，．
（2）解：将代入得
∴
得
（3）解：由可知a=2，b=4，c=k
∴
∵令，则原方程无解
∴
∴
即时，抛物线与x轴无交点．
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将K的值代入，再利用公式法求解即可得出答案；
（2）将x=-1代入方程，在戒指即可得出答案；
（3）由题意得出方程无实数根，可得出，解之得出答案。
28．【答案】（1）证明：由题意得 =，
∵，
∴不论a取何值抛物线与x轴，总有两个交点；
（2）解：将a＝5代入解析式得，
解方程，得，
∴a＝5时，求抛物线与x轴两个交点的距离为；
（3）2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（3）设抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为，且，
∴，
抛物线与x轴的两个交点间的距离为=，
∴当a=2时，有最小值，即抛物线与x轴的两个交点间的距离最小，
故答案为：2．
【分析】（1）求出抛物线解析式的判别式，利用配方法判断即可；
（2）将a＝5代入解析式得，解方程即可得出答案；
（3）设抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为，且，即可得出答案。
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