曲线与方程
图片预览
文档简介
课件24张PPT。2.1.1 曲线与方程画一画：1.第一、三象限夹角平分线
2.画出以（a，b）为圆心，r为半径的圆C如图,是直线表示y=x (x∈Z)的图象么？①满足y=x(x∈Z)的每一对有序实数对(x,y)都在直线上；②直线上每一个点(x,y)都满足方程y=x(x∈Z).思考：如图,是 圆表示
(x-a)2+(y-b)2=r2的图象么？①满足(x-a)2+(y-b)2=r2的每一对有序实数对(x,y)都在圆上；②圆上每一个点(x,y)都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2思考：教师总结：
通过探索可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系。点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程F(x,y)=0 。
即点 曲线C
坐标（x,y） 方程 F(x,y)=0 按某种规律运动几何对象 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f (x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;
曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的___；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的___．
那么这个方程叫做___________，这条曲线叫做_________
___．
自学导引解曲线的方程方程的曲点线【问题 】：证明与两条坐标轴的距离的积是常 数 的点的轨迹方程是 。证明：设 是轨迹上的任意一点，
则点 与两坐标轴的距离分别是| |、| |，
所以| |·| |= ，即 · = 。
故与两条坐标轴的距离的积是常数 ( >0)的点的轨迹方程是 。证明：（1）设 是轨迹上的任意一点，则点 与y轴、x轴的距离分别是︱ ︱、| |，所以| |·| |= 则, · = ，即（ ， ）是方程 的解。
（2）设（ ， ）是方程的解，则 · = ，即 ︱ ︱·| |= ，而︱ ︱、︱ |是点（ ， ）到y轴、x轴的距离，因此该点到这两条坐标轴的距离的积是常数 ，它是轨迹上的点。
由（1）（2）可知与两条坐标轴的距离的积是常数 ( >0)的点的轨迹方程是 。 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.题型一 曲线与方程的概念 若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的
解”是正确的，则下列命题为真命题的是 ( )．
A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0
B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上
C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
【例1】解析 ∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，
∴A、B、C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A、B、C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．
答案 D
方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是 ( )．
【变式2】解析 方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
答案 C
活页规范训练1．已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么 ( )．
A．曲线C上的点的坐标都适合方程F(x，y)＝0
B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在C上
C．不在C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0
D．不在C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0
答案 C2．下列选项中方程表示图中曲线的是 ( )．
解析 对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相
交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.
答案 C3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是 ( )．
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
解析 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表
示两条直线．故选C.
答案 C5．方程y＝ 所表示的曲线是______．
解析 y＝ ＝|x－1|.
答案 以(1，0)为端点的两条射线7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是 ( )．
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析 由已知 ∴
即 或 或 或 .
答案 B8．下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )．
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C. ＝1与lg (y＋1)＝lg (x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析 主要考虑x与y的范围．
答案 D9．已知方程①x－y＝0；② － ＝0；③x2－y2＝0；④ ＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
解析 ①是正确的；
②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程 － ＝0；
③不正确．如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；
④不正确．如点(0，0)在曲线C上，但其坐标不满足方程 ＝1.
答案 ①12．(创新拓展)已知曲线C的方程为x＝ ，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解 由x＝ ，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝ 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
其面积S＝ π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
2.画出以（a，b）为圆心，r为半径的圆C如图,是直线表示y=x (x∈Z)的图象么？①满足y=x(x∈Z)的每一对有序实数对(x,y)都在直线上；②直线上每一个点(x,y)都满足方程y=x(x∈Z).思考：如图,是 圆表示
(x-a)2+(y-b)2=r2的图象么？①满足(x-a)2+(y-b)2=r2的每一对有序实数对(x,y)都在圆上；②圆上每一个点(x,y)都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2思考：教师总结：
通过探索可知，在直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系。点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程F(x,y)=0 。
即点 曲线C
坐标（x,y） 方程 F(x,y)=0 按某种规律运动几何对象 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f (x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;
曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的___；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的___．
那么这个方程叫做___________，这条曲线叫做_________
___．
自学导引解曲线的方程方程的曲点线【问题 】：证明与两条坐标轴的距离的积是常 数 的点的轨迹方程是 。证明：设 是轨迹上的任意一点，
则点 与两坐标轴的距离分别是| |、| |，
所以| |·| |= ，即 · = 。
故与两条坐标轴的距离的积是常数 ( >0)的点的轨迹方程是 。证明：（1）设 是轨迹上的任意一点，则点 与y轴、x轴的距离分别是︱ ︱、| |，所以| |·| |= 则, · = ，即（ ， ）是方程 的解。
（2）设（ ， ）是方程的解，则 · = ，即 ︱ ︱·| |= ，而︱ ︱、︱ |是点（ ， ）到y轴、x轴的距离，因此该点到这两条坐标轴的距离的积是常数 ，它是轨迹上的点。
由（1）（2）可知与两条坐标轴的距离的积是常数 ( >0)的点的轨迹方程是 。 第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M (x0,y0)在曲线C上.题型一 曲线与方程的概念 若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的
解”是正确的，则下列命题为真命题的是 ( )．
A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0
B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上
C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
[思路探索] 从定义入手，考查定义中的两个条件．
【例1】解析 ∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，
∴A、B、C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A、B、C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．
答案 D
方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是 ( )．
【变式2】解析 方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．
答案 C
活页规范训练1．已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么 ( )．
A．曲线C上的点的坐标都适合方程F(x，y)＝0
B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在C上
C．不在C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0
D．不在C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0
答案 C2．下列选项中方程表示图中曲线的是 ( )．
解析 对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相
交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.
答案 C3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是 ( )．
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
解析 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表
示两条直线．故选C.
答案 C5．方程y＝ 所表示的曲线是______．
解析 y＝ ＝|x－1|.
答案 以(1，0)为端点的两条射线7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是 ( )．
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析 由已知 ∴
即 或 或 或 .
答案 B8．下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )．
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C. ＝1与lg (y＋1)＝lg (x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析 主要考虑x与y的范围．
答案 D9．已知方程①x－y＝0；② － ＝0；③x2－y2＝0；④ ＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
解析 ①是正确的；
②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程 － ＝0；
③不正确．如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；
④不正确．如点(0，0)在曲线C上，但其坐标不满足方程 ＝1.
答案 ①12．(创新拓展)已知曲线C的方程为x＝ ，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解 由x＝ ，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝ 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，
从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，
其面积S＝ π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.