2021-2022学年人教版数学八年级下册17.2.1勾股定理的逆定理课件(共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版数学八年级下册17.2.1勾股定理的逆定理课件(共19张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 250.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-01 16:41:27 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
17.2.1勾股定理的逆定理
勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
温故知新
提出问题
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
你认为结论正确吗？
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
精确验证
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
提出猜想
命题2 如果三角形的三边
长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是
直角三角形.
知识探究
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
互逆命题
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
√
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明猜想
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
A′
B′
C′
a
△ABC≌ △ A′B′C′
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
形成定理
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理:
勾股定理的逆命题:
注意：1、原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。
2、如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理。
巩固知识
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．
真命题
假命题
真命题
任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
作用：判定一个三角形是否为直角三角形的依据．
演绎推理 形成定理
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理:
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=8，c=17；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．
直接运用 巩固知识
分析：先判断出最大边，然后再计算最大边的平方与其余两边的平方和是否相等，如果相等则为直角三角形，否则就不是直角三角形。
解：∵152+82=289，172=289
∴152+82=172
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
条件：1、两个较小数的平方和等于最大数的平方；
2、三个数都是正整数。
常见勾股数：
（3，4，5）；（5，12，13）；（6，8，10）；
（7，24，25）；（8，15，17）；（9，12，15）；（9，40，41）；（10，24，26）……
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，请判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
归纳
【变式题2】若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,
c= ，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作
用？
（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你
能说出它们之间的关系吗？
（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历
了哪些过程？
课堂小结
观察现象
应用创新
寻求验证
大胆猜想
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到
的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
当堂练习
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状是
________________．
等腰直角三角形
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
12
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．
有两个角相等的三角形是等腰三角形
17.2.1勾股定理的逆定理
勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
温故知新
提出问题
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果三角形的三边分别
为3，4，5，这些数满足
关系：32+42=52，围成的
三角形是直角三角形．
你认为结论正确吗？
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
精确验证
命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
提出猜想
命题2 如果三角形的三边
长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是
直角三角形.
知识探究
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，
那么a2+b2=c2.
互逆命题
两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
√
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证明猜想
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
A′
B′
C′
a
△ABC≌ △ A′B′C′
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)，
∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
形成定理
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理:
勾股定理的逆命题:
注意：1、原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。
2、如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理。
巩固知识
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
逆命题：内错角相等，两直线平行．
（2）对顶角相等；
逆命题：相等的角是对顶角．
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的
垂直平分线上．
真命题
假命题
真命题
任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题．
作用：判定一个三角形是否为直角三角形的依据．
演绎推理 形成定理
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理:
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=15，b=8，c=17；
（2） a=13，b=15，c=14；
（3） a= ，b=4，c=5．
直接运用 巩固知识
分析：先判断出最大边，然后再计算最大边的平方与其余两边的平方和是否相等，如果相等则为直角三角形，否则就不是直角三角形。
解：∵152+82=289，172=289
∴152+82=172
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
条件：1、两个较小数的平方和等于最大数的平方；
2、三个数都是正整数。
常见勾股数：
（3，4，5）；（5，12，13）；（6，8，10）；
（7，24，25）；（8，15，17）；（9，12，15）；（9，40，41）；（10，24，26）……
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，请判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
归纳
【变式题2】若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,
c= ，试说明△ABC是直角三角形.
解：∵a+b=4,ab=1,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.
又∵c2=14,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作
用？
（2）本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你
能说出它们之间的关系吗？
（3）在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历
了哪些过程？
课堂小结
观察现象
应用创新
寻求验证
大胆猜想
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到
的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
B
A
当堂练习
3.在△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别a,b,c.
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式
，则△ABC的形状是
________________．
等腰直角三角形
5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;
12
(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_______________________________________．
有两个角相等的三角形是等腰三角形