湘教版初中数学九年级下册2.1圆的对称性同步练习

湘教版初中数学九年级下册2.1圆的对称性同步练习
一、单选题
1．（2021九上·温州期末）如图，在矩形 中， ， .若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在 外的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∵∠B＝90°，
∴BD 5，
∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，
∴点D在⊙B外，点C在⊙B上，点A在⊙B内.
故答案为：D.
【分析】连接BD，利用矩形的性质可证得∠B=90°，利用勾股定理求出BD的长；再利用点与圆的位置关系，可得答案.
2．（2021九上·临海期末）已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，
∴2＜3，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故答案为：A.
【分析】设圆的半径为r，圆心到点的距离为d，当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外；利用已知圆的半径为3，OP=d=2，可得到点P与⊙O的位置关系.
3．（2021九上·息县月考）如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝BC B．CD＝CE
C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在△AOC与△BOC中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点，
，
在△ACD与△BCE中，
，
，
，，故B、C选项正确；
∵CA和CO不一定相等，
∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.
4．（2021九上·集贤期末）如果⊙O的半径为6，线段OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=3<6
∴点P在圆内
故答案为：B．
【分析】根据 ⊙O的半径为6，线段OP的长为3， 判断即可。
5．（2021九上·信都月考）如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：
①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；③以M为端点的弧只有一条．则（　　）
A．①、②不符合题意，③符合题意
B．②、③不符合题意，①符合题意
C．①、③不符合题意，②符合题意
D．①、②、③不符合题意
【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：以M为端点的弦有无数条，所以①不符合题意；
以M为端点的直径只有一条，所以②符合题意；
以M为端点的弧有无数条，所以③不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 点M是⊙O上的任意一点， 再结合图形一一判断即可。
6．（2021九上·平原月考）下列命题中正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角．
A．1个 B．2个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，不符合题意；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；
③相等的弧所对的弦相等，符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，不符合题意；
⑤在同圆或等圆中，弦心距相等，则所对的弦相等，不符合题意；
⑥直径所对的圆周角为直角，符合题意，
综上，命题中正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】利用弦，弧，圆心角，圆周角的定义求解即可。
7．（2021九上·永年月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）直径是圆中最长的弦，故（2）不符合题意，（4）符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
正确的只有一个，
故答案为：A．
【分析】利用等弧，弦对每个说法一一判断即可。
8．（2021九上·瑞安月考）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
∴ABC不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据点与圆的位置关系得出OP＞5，即可得出答案.
9．（2021九上·鹿城期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm.若以点B为圆心，以4cm长为半径作⊙B，则下列选项中的各点在⊙B外的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BC＝AD＝4cm，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝5（cm），
∵AB＝3cm＜4cm，BD＝5cm＞4cm，BC＝4cm，
∴点C在⊙B上，点D在⊙B外，点A在⊙B内.
故答案为：D.
【分析】连接BD，利用矩形的性质可证得∠C=90°，同时可求出BC的长，再利用勾股定理求出BD的长；然后可判断出在圆B外的点.
10．（2021九上·温州月考）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外.
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径而r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d11．（2021九上·宁波月考）已知⊙О的直径是8，点Р到圆心O的距离是3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点Р在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点Р在⊙O外 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ⊙О的直径是8，点Р到圆心O的距离是3，
⊙О的半径是4，而
点Р在⊙O内.
故答案为：A.
【分析】首先求出圆的半径，然后根据点P到圆心的距离>r时，点在圆外；点P到圆心的距离=r时，点在圆上；点P到圆心的距离12．（2021九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（　　）
A． B． C．2.4 D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，
则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∴BD＝AC＝10.
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝ ＝26，
∵S△BCD＝ ×BN×CD＝ ×BC×BD，
∴BN＝ ＝ ＝ ，
∴OM＝ .
即点O到AB的距离为 .
故答案为：A.
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.
二、填空题
13．（2021九上·江夏月考）如图，点C是以AB为直径的半圆上任意一点，，连接AC，将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到线段，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，找出线段AB的中点O，连接OC，将线段AC绕点A旋转120°可看作将△AOC绕点A旋转120°得到△AO'C'，
∴，
∴OC=O′C′=4，
以点O'为圆心，O′C′为半径作圆，当O’、C’、B三点共线时，BC'取得最大值，
如图所示：，，，
，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】找出线段AB的中点O，连接OC，将线段AC绕点A旋转120°可看作将△AOC绕点A旋转120°得到△AO′C′，则△AOC≌△AO′C′，得到OC=O′C′=4，以点O′为圆心，O′C′为半径作圆，当O′、C′、B三点共线时，BC′取得最大值，根据三角函数的概念求出AD、O′D，由勾股定理求出BO′，进而可得BC′的最大值.
14．（2021九上·虎林期末）⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，则⊙O的半径为　 　．
【答案】4
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，
∴⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4．
故答案为：4
【分析】根据点和圆的位置关系，再结合最近点的距离为1，最远点的距离为7，可得到⊙O的直径是8，即可得到⊙O的半径是4．
15．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB　 　2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．（2021九上·长沙期末）如图，已知AB，CD是☉O的直径， 弧AE= 弧AC ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为　 　度.
【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AE=弧AC，（已知）
∴∠AOE=∠COA.
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64°.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOE=∠COA=32°，然后根据∠COE=∠AOE+∠COA进行计算.
17．（2021九上·巢湖月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是：点D在　 　．（填：圆上或圆外或圆内）
【答案】圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝4＋16＝20，
∴AB＝2 ．
又因为点D是AB的中点，所以AD＝ ＞2，因此点D在⊙A外．
故答案是：圆外．
【分析】先求出AB＝2 ，再求出AD＝ ＞2，最后求解即可。
18．（2021九上·龙凤期中）如图，在 中， ， ，则 的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵在 中，AC=BD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC－∠BOC=∠BOD－∠BOC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=30°，
∴∠2=30°．
故答案为：30°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可。
19．（2021九上·萧山月考）如图所示， 是 的直径， ， ，则 的度数为　 　．
【答案】51°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOE=34°×3=102°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=78°，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO==51°.
故答案为：51°.
【分析】根据，求出∠BOE的度数，然后根据邻补角的性质求出∠AOE，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠AEO即可.
20．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是　 　填序号.
【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
21．（2021九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】连接OC，根据“C、D为半圆的三等分点”可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证出△AOC是等边三角形，再利用角的运算求出∠ACE=90°﹣60°=30°．
22．（2021九上·温岭期中）如图， 已知 中， ， 动点 满足 ， 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， 连接 ， 则 的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连结AD，
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴CP=CD，∠PCD=90°，
∵ ，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠PCB+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=BP= ，
点D在以点A为圆心，以 为半径的圆上运动，
∴当点D在BA的延长线上时，BD最大，
在Rt△ABC中，AB= ，
∴BD最大=AB+AD= ，
故答案为： .
【分析】连结AD，由旋转的性质可得CP=CD，∠PCD=90°，由题意用边角边可证△ACD≌△BCP，则AD=BP，根据点D在以点A为圆心，以 为半径的圆上运动可得当点D在BA延长线上时，BD最大，在Rt△ABC中，用勾股定理求得AB的值，于是BD最大=AB+AD可求解.
三、解答题
23．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
24．（2021九上·淮南月考）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
【答案】证明： ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 再证明求解即可。
25．（2021九上·呼和浩特期中）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
四、综合题
26．（2021九上·信都月考）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
【答案】（1）解：点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在在⊙C外；
（2）解：点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先求出 r<3 ，再求解即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
27．（2021九上·路北期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．
（1）求证：∠ADC＝∠BDO；
（2）若CD＝ ，AE＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：连接OC，
∵OD＝OC，E是CD的中点，
∴OE⊥CD，
∴ ，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠BDO；
（2）解：
设⊙O半径为r，
∴OC＝OD＝OA＝r，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∵CD＝4 ，E点是CD的中点，
∴DE＝ CD＝2 ．
由（1）知，OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴在Rt OED中，OE2+DE2＝OD2，
即：（r﹣2）2+（2 ）2＝r2，
解得：r＝3，
∴OO半径为3．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ∠ADC＝∠ABD， 最后求解即可；
（2）先求出 OE＝OA﹣AE＝r﹣2， 再利用勾股定理计算求解即可。
28．（2021·北京）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5， ，求 和 的长．
【答案】（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到弧BD=弧CD，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出BE，根据垂径定理求出BC，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出GC，证明，再利用相似三角形的性质求出OF。
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.1圆的对称性同步练习
一、单选题
1．（2021九上·温州期末）如图，在矩形 中， ， .若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在 外的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（2021九上·临海期末）已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
3．（2021九上·息县月考）如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝BC B．CD＝CE
C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
4．（2021九上·集贤期末）如果⊙O的半径为6，线段OP的长为3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
5．（2021九上·信都月考）如图所示，点M是⊙O上的任意一点，下列结论：
①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的直径只有一条；③以M为端点的弧只有一条．则（　　）
A．①、②不符合题意，③符合题意
B．②、③不符合题意，①符合题意
C．①、③不符合题意，②符合题意
D．①、②、③不符合题意
6．（2021九上·平原月考）下列命题中正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角．
A．1个 B．2个 C．5个 D．6个
7．（2021九上·永年月考）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021九上·瑞安月考）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）。
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2021九上·鹿城期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm.若以点B为圆心，以4cm长为半径作⊙B，则下列选项中的各点在⊙B外的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
10．（2021九上·温州月考）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P（　　）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
11．（2021九上·宁波月考）已知⊙О的直径是8，点Р到圆心O的距离是3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点Р在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点Р在⊙O外 D．不能确定
12．（2021九上·拱墅月考）如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（　　）
A． B． C．2.4 D．
二、填空题
13．（2021九上·江夏月考）如图，点C是以AB为直径的半圆上任意一点，，连接AC，将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到线段，则的最大值为　 　.
14．（2021九上·虎林期末）⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，则⊙O的半径为　 　．
15．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB　 　2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
16．（2021九上·长沙期末）如图，已知AB，CD是☉O的直径， 弧AE= 弧AC ，∠AOE=32°，那么∠COE的度数为　 　度.
17．（2021九上·巢湖月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是：点D在　 　．（填：圆上或圆外或圆内）
18．（2021九上·龙凤期中）如图，在 中， ， ，则 的度数为　 　．
19．（2021九上·萧山月考）如图所示， 是 的直径， ， ，则 的度数为　 　．
20．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是　 　填序号.
21．（2021九上·交城期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为　 　．
22．（2021九上·温岭期中）如图， 已知 中， ， 动点 满足 ， 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， 连接 ， 则 的最大值为　 　.
三、解答题
23．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD，求证：PB＝PD．
24．（2021九上·淮南月考）如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
25．（2021九上·呼和浩特期中）如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
四、综合题
26．（2021九上·信都月考）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
27．（2021九上·路北期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．
（1）求证：∠ADC＝∠BDO；
（2）若CD＝ ，AE＝2，求⊙O的半径．
28．（2021·北京）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为5， ，求 和 的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∵∠B＝90°，
∴BD 5，
∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，
∴点D在⊙B外，点C在⊙B上，点A在⊙B内.
故答案为：D.
【分析】连接BD，利用矩形的性质可证得∠B=90°，利用勾股定理求出BD的长；再利用点与圆的位置关系，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，
∴2＜3，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故答案为：A.
【分析】设圆的半径为r，圆心到点的距离为d，当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内；当d＞r时，点在圆外；利用已知圆的半径为3，OP=d=2，可得到点P与⊙O的位置关系.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：在 ⊙O中，，
，故A选项正确；
在△AOC与△BOC中，
，
，
，
D、E分别是半径OA，OB的中点，
，
在△ACD与△BCE中，
，
，
，，故B、C选项正确；
∵CA和CO不一定相等，
∴CD和OA不一定垂直，故D选项不成立.
故答案为：D.
【分析】根据等弧所对的弦相等可判断A；证明△AOC≌△BOC，得到∠CAD=∠CBE，易得AD=BE，进而证明△ACD≌△BCE，得到CD=CE，∠ACD=∠BCE，据此判断B、C；CA与CO不一定相等，据此判断D.
4．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=3<6
∴点P在圆内
故答案为：B．
【分析】根据 ⊙O的半径为6，线段OP的长为3， 判断即可。
5．【答案】C
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：以M为端点的弦有无数条，所以①不符合题意；
以M为端点的直径只有一条，所以②符合题意；
以M为端点的弧有无数条，所以③不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 点M是⊙O上的任意一点， 再结合图形一一判断即可。
6．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，不符合题意；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不符合题意；
③相等的弧所对的弦相等，符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，不符合题意；
⑤在同圆或等圆中，弦心距相等，则所对的弦相等，不符合题意；
⑥直径所对的圆周角为直角，符合题意，
综上，命题中正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】利用弦，弧，圆心角，圆周角的定义求解即可。
7．【答案】A
【知识点】圆的认识
【解析】【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故不符合题意；
（2）直径是圆中最长的弦，故（2）不符合题意，（4）符合题意；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故不符合题意；
正确的只有一个，
故答案为：A．
【分析】利用等弧，弦对每个说法一一判断即可。
8．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
∴ABC不符合题意，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据点与圆的位置关系得出OP＞5，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BC＝AD＝4cm，∠C＝90°，
∴BD＝ ＝5（cm），
∵AB＝3cm＜4cm，BD＝5cm＞4cm，BC＝4cm，
∴点C在⊙B上，点D在⊙B外，点A在⊙B内.
故答案为：D.
【分析】连接BD，利用矩形的性质可证得∠C=90°，同时可求出BC的长，再利用勾股定理求出BD的长；然后可判断出在圆B外的点.
10．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外.
故答案为：C.
【分析】若点A到圆心的距离为d，圆的半径而r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d11．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解： ⊙О的直径是8，点Р到圆心O的距离是3，
⊙О的半径是4，而
点Р在⊙O内.
故答案为：A.
【分析】首先求出圆的半径，然后根据点P到圆心的距离>r时，点在圆外；点P到圆心的距离=r时，点在圆上；点P到圆心的距离12．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，
则∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°+∠ABC，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，
∴CD∥AB，
∴∠BCD＝∠ABC，
∴ ＝ ，
∴BD＝AC＝10.
∴OM＝BN，
在Rt△CBD中，CD＝ ＝26，
∵S△BCD＝ ×BN×CD＝ ×BC×BD，
∴BN＝ ＝ ＝ ，
∴OM＝ .
即点O到AB的距离为 .
故答案为：A.
【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，则∠CBD＝90°，易得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC，则BD＝AC＝10，利用勾股定理求出CD，根据△BCD的面积可得BN，据此可得OM.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，找出线段AB的中点O，连接OC，将线段AC绕点A旋转120°可看作将△AOC绕点A旋转120°得到△AO'C'，
∴，
∴OC=O′C′=4，
以点O'为圆心，O′C′为半径作圆，当O’、C’、B三点共线时，BC'取得最大值，
如图所示：，，，
，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】找出线段AB的中点O，连接OC，将线段AC绕点A旋转120°可看作将△AOC绕点A旋转120°得到△AO′C′，则△AOC≌△AO′C′，得到OC=O′C′=4，以点O′为圆心，O′C′为半径作圆，当O′、C′、B三点共线时，BC′取得最大值，根据三角函数的概念求出AD、O′D，由勾股定理求出BO′，进而可得BC′的最大值.
14．【答案】4
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O内一点P到⊙O上的最近点的距离为1，最远点的距离为7，
∴⊙O的直径是8，
∴⊙O的半径是4．
故答案为：4
【分析】根据点和圆的位置关系，再结合最近点的距离为1，最远点的距离为7，可得到⊙O的直径是8，即可得到⊙O的半径是4．
15．【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．【答案】64
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵弧AE=弧AC，（已知）
∴∠AOE=∠COA.
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°.
故答案为：64°.
【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOE=∠COA=32°，然后根据∠COE=∠AOE+∠COA进行计算.
17．【答案】圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB2＝AC2＋BC2＝4＋16＝20，
∴AB＝2 ．
又因为点D是AB的中点，所以AD＝ ＞2，因此点D在⊙A外．
故答案是：圆外．
【分析】先求出AB＝2 ，再求出AD＝ ＞2，最后求解即可。
18．【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵在 中，AC=BD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC－∠BOC=∠BOD－∠BOC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=30°，
∴∠2=30°．
故答案为：30°．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可。
19．【答案】51°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BOE=34°×3=102°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=78°，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO==51°.
故答案为：51°.
【分析】根据，求出∠BOE的度数，然后根据邻补角的性质求出∠AOE，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠AEO即可.
20．【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
21．【答案】30°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，连接OC．
∵AB是直径， ，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵CE⊥OA，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°﹣60°=30°．
故答案为30°
【分析】连接OC，根据“C、D为半圆的三等分点”可得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，证出△AOC是等边三角形，再利用角的运算求出∠ACE=90°﹣60°=30°．
22．【答案】
【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连结AD，
∵线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴CP=CD，∠PCD=90°，
∵ ，
∴∠ACD+∠DCB=90°，∠PCB+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=BP= ，
点D在以点A为圆心，以 为半径的圆上运动，
∴当点D在BA的延长线上时，BD最大，
在Rt△ABC中，AB= ，
∴BD最大=AB+AD= ，
故答案为： .
【分析】连结AD，由旋转的性质可得CP=CD，∠PCD=90°，由题意用边角边可证△ACD≌△BCP，则AD=BP，根据点D在以点A为圆心，以 为半径的圆上运动可得当点D在BA延长线上时，BD最大，在Rt△ABC中，用勾股定理求得AB的值，于是BD最大=AB+AD可求解.
23．【答案】证明：连接AC，如图，
∵AB＝CD，
∴．
∴．
即．
∴∠A＝∠C．
∴PA＝PC．
∴PA﹣AB＝PC﹣CD．
即：PB＝PD．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AC，利用圆心角、弧、弦的关系即可得出结论。
24．【答案】证明： ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 再证明求解即可。
25．【答案】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝ ＝8（cm），
又CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴ ，
∴AD＝BD ，
又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，
∴AD2＋BD2＝102，
∴AD＝BD＝ ＝5 （cm）.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】先求出 BC＝ ＝8（cm）， 再求出 AD＝BD ， 最后利用勾股定理计算求解即可。
26．【答案】（1）解：点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在在⊙C外；
（2）解：点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）先求出 r<3 ，再求解即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
27．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OD＝OC，E是CD的中点，
∴OE⊥CD，
∴ ，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴∠ADC＝∠BDO；
（2）解：
设⊙O半径为r，
∴OC＝OD＝OA＝r，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∵CD＝4 ，E点是CD的中点，
∴DE＝ CD＝2 ．
由（1）知，OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴在Rt OED中，OE2+DE2＝OD2，
即：（r﹣2）2+（2 ）2＝r2，
解得：r＝3，
∴OO半径为3．
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ∠ADC＝∠ABD， 最后求解即可；
（2）先求出 OE＝OA﹣AE＝r﹣2， 再利用勾股定理计算求解即可。
28．【答案】（1）证明：∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到弧BD=弧CD，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出BE，根据垂径定理求出BC，根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出GC，证明，再利用相似三角形的性质求出OF。
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