湘教版初中数学九年级下册2.1圆心角、圆周角同步练习
一、单选题
1．（2021九上·温州期末）如图，D是等边△ABC外接圆 上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180° ∠B=120°，
∴∠ACD=180° ∠DAC ∠D=40°，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠D的度数；再利用三角形的内角和为180°可求出∠ACD的度数.
2．（2021九上·温州期末）如图所示，A，B，C是 上的三点，若 ，则 的度数为（ ）
A．23° B．26° C．29° D．32°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=58°，
∴∠ACB=29°，
故答案为：C.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠C的度数.
3．（2021九上·临海期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB.若∠AOB=140°，则∠ACB为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=140°，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB=70°，
故答案为：C.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ACB的度数.
4．（2021九上·香坊期末）如图，中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，，
∴∠ABC=∠AOC=.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角的性质可得∠ABC=∠AOC=.
5．（2021九上·梅里斯期末）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32° B．58° C．64° D．116°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故答案为：A．
【分析】由AB是⊙O的直径可得∠ADB＝90°，从而得出∠A=90°-∠ABD=32°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD＝∠A＝32°.
6．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，已知BC是⊙O的直径，∠AOC＝58°，则∠A的度数为（ ）
A．28° B．29° C．32° D．42°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝58°，
∴∠B＝∠AOC＝29°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝29°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角的性质可得∠B＝∠AOC＝29°，再利用等边对等角的性质可得∠A＝∠B＝29°。
7．（2021九上·天门月考）如图，中，弦相交于点，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据外角的性质可得∠A+∠C=∠APD，结合已知条件可得∠C的度数，由同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠C，据此解答.
8．（2021九上·荆州月考）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABC=∠D=48°，然后根据余角的性质进行求解.
9．（2021九上·新乡期末）如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED的度数为（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC
∴AC=AB=AD
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=AD=CD=AC
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴∠ACB=∠ACD=60°
∴∠BCD=120°
∵优弧
∴∠BED=∠BCD=120°.
故答案为：B.
【分析】连接AC，则AC=AB=AD，根据菱形的性质可得AB=BC=AD=CD=AC，推出△ABC、△ACD是等边三角形，则∠ACB=∠ACD=60°，∠BCD=120°，然后根据圆周角定理进行解答.
10．（2021九上·富裕期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝140°
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先利用圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角的性质可得。
11．（2021九上·吉林期末）如图，四边形内接于，为的直径，.若，则的大小是（ ）
A．55° B．70° C．110° D．140°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴.
∴为的直径，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案为：C.
【分析】先利用弧与圆周角的关系可得，再利用圆内接四边形的性质可得∠DCB=140°，再求出，最后利用三角形的内角和求出即可。
12．（2021九上·铁西期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠B＝60°，再求出∠ACB＝90°，最后计算求解即可。
二、填空题
13．（2021九上·吴兴期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ．
【答案】55°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=110°，
∴∠A=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵点C是弧DB的中点，
∴∠BOC=70°，
∴∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC=55°.
故答案为：55°.
【分析】连接OC，OD，利用圆内接四边形的性质可求出∠A的度数；再利用圆周角定理可证得∠COD=∠BOC=70°，从而得出∠AOC=110°；然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ABC的度数.
14．（2021九上·温州期末）如图，半圆 的直径 ，将半圆 绕点B顺时针旋转45°得到半圆 ，与AB交于点P，那么AP的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，如下图：
由题意可得， ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
由勾股定理得， ，解得 ，
故答案为：
【分析】连接A′P，可得到∠A′BP=45°，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠A′PB=90°，可证得△A′BP是等边三角形，可得到A′P=PB，利用勾股定理求出BP的长，然后根据AP=AB-BP，代入计算求出AP的长.
15．（2021九上·伊通期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为 ．
【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2cm，BC=2cm，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=∠BOC=30°，
故答案为：30°．
【分析】连接OB和OC，易证△OBC为等边三角形，可得∠BOC=60°，根据圆周角定理可得∠A=∠BOC，据此即可求解.
16．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是 度．
【答案】100
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=180°﹣∠C=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为100．
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A=180°﹣∠C=50°，再利用圆心角的性质可得∠BOD=2∠A=100°．
17．（2021九上·永吉期末）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，则∠BDC的大小为 ．
【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠DAC=35°，
故答案为：
【分析】先求出再根据BC=CD计算求解即可。
18．（2021九上·集贤期末）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点D在圆上，且，则的半径为 ．
【答案】5cm
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5cm；
故答案为5cm．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
19．（2021九上·虎林期末）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 度．
【答案】15
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
【分析】先求出∠AOB=70°-40°=30°，再根据圆周角的性质可得∠1=∠AOB=15°。
20．（2021九下·淮滨开学考）如图，点A、B、C是上的点，，则的度数为 .
【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°.
故答案为：30.
【分析】易得△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，然后利用圆周角定理进行求解.
21．（2021九上·淮南月考）如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是 .
【答案】，且0＜x＜180
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOP和∠BQP是同圆中同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠BOP=2∠Q=2y°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AOP+∠BOP=180°，即x+2y=180.
∴，且0＜x＜180．
【分析】先求出∠AOP+∠BOP=180°，再求出x+2y=180，最后求解即可。
22．（2021九上·东平月考）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
【答案】6
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
【分析】先求出△BOC是等边三角形，再求解即可。
三、解答题
23．（2021九上·武汉月考）如图，是上的四个点，.判断的形状，并证明你的结论.
【答案】解：△ABC是等边三角形.证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】由圆周角定理结合已知条件可得：∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，在△ABC中，由内角和定理可得∠ACB＝60°，据此判断.
24．（2021九上·虎林期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
【答案】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接BD，先根据圆周角的性质求出∠D=∠C=50°，再利用三角形的内角和可得∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
25．（2021九上·新化期末）如图，的三个顶点都在⊙O上，直径，.求的长.
【答案】解：如图，连接，
∵，
∴
∴
又∵
∴是等边三角形
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】 连接OC，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B，由已知条件可知∠DAC=2∠B，则交AOC=∠DAC，得到CO=AC，推出△AOC是等边三角形，据此求解.
四、综合题
26．（2021九上·吴兴期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=6，sinC＝ ．
（1）求弦AD的长．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．求DF的长．
【答案】（1）解：连接BD，
∴∠C=∠B，
∴sinB=
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°
∴sinB ，
∴AD=2
（2）解：∵AB为直径，DE⊥AB，
∴DF=2DE，
连接DO，设OE为x，
则32-x2=22-(3-x)2，x= ，
由勾股定理得，DE= ，故DF=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠C，可得到sinB的值；再利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，然后利用解直角三角形求出AD的长.
（2）利用垂径定理可证得DF=2DE，连接DO，设OE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OE的长，即可求出AE的长；再利用勾股定理求出DE的长，由此可求出DF的长.
27．（2021九上·江夏月考）已知AB是⊙O的直径，C是圆上的点，D是优弧ABC的中点.
（1）若∠AOC＝100°，则∠D的度数为 ，∠A的度数为 ；
（2）求证：∠ADC＝2∠DAB.
【答案】（1）50°；25°
（2）证明：∵△AOD≌△COD（SSS），
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，
∴∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，
∴∠ADC＝2∠DAB.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）连接OD.
∵，
∴AD＝CD，
∵OD＝OD，OA＝OC，
∴△AOD≌△COD（SSS），
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，
∴∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，
∵∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠A＝∠ADO＝∠ADC＝25°.
故答案为：50°，25°；
【分析】（1）连接OD，根据弧、弦的关系可得AD＝CD，证明△AOD≌△COD，得到∠A＝∠C，由等腰三角形的性质得∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，由圆周角定理得∠ADC＝∠AOC＝50°，据此求解；
（2）由全等三角形的性质可得∠A＝∠C，由等腰三角形的性质得∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，推出∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，据此证明.
28．（2021九下·长沙开学考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E.
（1）若，求.
（2）求证：AD2＝DE DB.
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长.
【答案】（1）解：∵BC是⊙O的直径
∴∠CAB＝90°
∵
∴∠ABC＝90°-30°=60°
∵D是劣弧的中点，得，
∴∠ABD＝∠DAC=30°
∴=
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
又∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴AD2＝DE DB；
（3）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DE DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形.
∴BD＝，由DC2＝DE DB得，
（）2＝2DE，
解得：DE＝.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAB＝90°，则∠ABC＝90°-∠ACB=60°，根据中点的概念可得，由圆周角定理可得∠ABD＝∠DAC=30°，据此求解；
（2）由（1）得∠ABD＝∠DAC，证明△ABD∽△EAD，然后由相似三角形的性质证明即可；
（3）根据弧、弦的关系可得AD＝DC，则DC2＝DE DB，由勾股定理求出BD，然后根据DC2＝DE DB就可求出DE.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.1圆心角、圆周角同步练习
一、单选题
1．（2021九上·温州期末）如图，D是等边△ABC外接圆 上的点，且∠CAD=20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
2．（2021九上·温州期末）如图所示，A，B，C是 上的三点，若 ，则 的度数为（ ）
A．23° B．26° C．29° D．32°
3．（2021九上·临海期末）如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB.若∠AOB=140°，则∠ACB为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．80°
4．（2021九上·香坊期末）如图，中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·梅里斯期末）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（ ）
A．32° B．58° C．64° D．116°
6．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，已知BC是⊙O的直径，∠AOC＝58°，则∠A的度数为（ ）
A．28° B．29° C．32° D．42°
7．（2021九上·天门月考）如图，中，弦相交于点，则（ ）.
A． B． C． D．
8．（2021九上·荆州月考）如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·新乡期末）如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED的度数为（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
10．（2021九上·富裕期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝140°，则∠AOC的度数为（ ）
A．25° B．80° C．130° D．100°
11．（2021九上·吉林期末）如图，四边形内接于，为的直径，.若，则的大小是（ ）
A．55° B．70° C．110° D．140°
12．（2021九上·铁西期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点．若∠D＝120°，则∠CAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二、填空题
13．（2021九上·吴兴期末）如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，其中AB是直径，点C是弧DB的中点，若∠C＝110°，则∠ABC的度数= ．
14．（2021九上·温州期末）如图，半圆 的直径 ，将半圆 绕点B顺时针旋转45°得到半圆 ，与AB交于点P，那么AP的长为 .
15．（2021九上·伊通期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为 ．
16．（2021九上·杜尔伯特期末）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=130°，则∠BOD的度数是 度．
17．（2021九上·永吉期末）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，则∠BDC的大小为 ．
18．（2021九上·集贤期末）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点D在圆上，且，则的半径为 ．
19．（2021九上·虎林期末）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 度．
20．（2021九下·淮滨开学考）如图，点A、B、C是上的点，，则的度数为 .
21．（2021九上·淮南月考）如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上任意一点（不含A、B），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，则y与x的函数关系是 .
22．（2021九上·东平月考）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
三、解答题
23．（2021九上·武汉月考）如图，是上的四个点，.判断的形状，并证明你的结论.
24．（2021九上·虎林期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
25．（2021九上·新化期末）如图，的三个顶点都在⊙O上，直径，.求的长.
四、综合题
26．（2021九上·吴兴期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=6，sinC＝ ．
（1）求弦AD的长．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．求DF的长．
27．（2021九上·江夏月考）已知AB是⊙O的直径，C是圆上的点，D是优弧ABC的中点.
（1）若∠AOC＝100°，则∠D的度数为 ，∠A的度数为 ；
（2）求证：∠ADC＝2∠DAB.
28．（2021九下·长沙开学考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E.
（1）若，求.
（2）求证：AD2＝DE DB.
（3）若BC＝5，CD＝，求DE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D=180° ∠B=120°，
∴∠ACD=180° ∠DAC ∠D=40°，
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠D的度数；再利用三角形的内角和为180°可求出∠ACD的度数.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=58°，
∴∠ACB=29°，
故答案为：C.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠C的度数.
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=140°，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB=70°，
故答案为：C.
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ACB的度数.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，，
∴∠ABC=∠AOC=.
故答案为：C.
【分析】根据同弧所对的圆周角的性质可得∠ABC=∠AOC=.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故答案为：A．
【分析】由AB是⊙O的直径可得∠ADB＝90°，从而得出∠A=90°-∠ABD=32°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BCD＝∠A＝32°.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOC＝58°，
∴∠B＝∠AOC＝29°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝29°，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角的性质可得∠B＝∠AOC＝29°，再利用等边对等角的性质可得∠A＝∠B＝29°。
7．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据外角的性质可得∠A+∠C=∠APD，结合已知条件可得∠C的度数，由同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠C，据此解答.
8．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠ABC=∠D=48°，然后根据余角的性质进行求解.
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC
∴AC=AB=AD
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=AD=CD=AC
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴∠ACB=∠ACD=60°
∴∠BCD=120°
∵优弧
∴∠BED=∠BCD=120°.
故答案为：B.
【分析】连接AC，则AC=AB=AD，根据菱形的性质可得AB=BC=AD=CD=AC，推出△ABC、△ACD是等边三角形，则∠ACB=∠ACD=60°，∠BCD=120°，然后根据圆周角定理进行解答.
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝140°
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】先利用圆内接四边形的性质可得，再利用圆周角的性质可得。
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴.
∴为的直径，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案为：C.
【分析】先利用弧与圆周角的关系可得，再利用圆内接四边形的性质可得∠DCB=140°，再求出，最后利用三角形的内角和求出即可。
12．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠D+∠B＝180°，∠D＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°，
故答案为：A．
【分析】先求出∠B＝60°，再求出∠ACB＝90°，最后计算求解即可。
13．【答案】55°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠BCD=110°，
∴∠A=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°，
∵点C是弧DB的中点，
∴∠BOC=70°，
∴∠AOC=110°，
∴∠ABC=∠AOC=55°.
故答案为：55°.
【分析】连接OC，OD，利用圆内接四边形的性质可求出∠A的度数；再利用圆周角定理可证得∠COD=∠BOC=70°，从而得出∠AOC=110°；然后根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠ABC的度数.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接 ，如下图：
由题意可得， ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
由勾股定理得， ，解得 ，
故答案为：
【分析】连接A′P，可得到∠A′BP=45°，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠A′PB=90°，可证得△A′BP是等边三角形，可得到A′P=PB，利用勾股定理求出BP的长，然后根据AP=AB-BP，代入计算求出AP的长.
15．【答案】30°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2cm，BC=2cm，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=∠BOC=30°，
故答案为：30°．
【分析】连接OB和OC，易证△OBC为等边三角形，可得∠BOC=60°，根据圆周角定理可得∠A=∠BOC，据此即可求解.
16．【答案】100
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=180°﹣∠C=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为100．
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A=180°﹣∠C=50°，再利用圆心角的性质可得∠BOD=2∠A=100°．
17．【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠DAC=35°，
故答案为：
【分析】先求出再根据BC=CD计算求解即可。
18．【答案】5cm
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5cm；
故答案为5cm．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
19．【答案】15
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
【分析】先求出∠AOB=70°-40°=30°，再根据圆周角的性质可得∠1=∠AOB=15°。
20．【答案】30
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OA=AB，OA=OB，
∴OA=OB=AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°.
故答案为：30.
【分析】易得△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，然后利用圆周角定理进行求解.
21．【答案】，且0＜x＜180
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】∵∠BOP和∠BQP是同圆中同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠BOP=2∠Q=2y°.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AOP+∠BOP=180°，即x+2y=180.
∴，且0＜x＜180．
【分析】先求出∠AOP+∠BOP=180°，再求出x+2y=180，最后求解即可。
22．【答案】6
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
【分析】先求出△BOC是等边三角形，再求解即可。
23．【答案】解：△ABC是等边三角形.证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°.
∴△ABC是等边三角形.
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【分析】由圆周角定理结合已知条件可得：∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°，在△ABC中，由内角和定理可得∠ACB＝60°，据此判断.
24．【答案】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接BD，先根据圆周角的性质求出∠D=∠C=50°，再利用三角形的内角和可得∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
25．【答案】解：如图，连接，
∵，
∴
∴
又∵
∴是等边三角形
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】 连接OC，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B，由已知条件可知∠DAC=2∠B，则交AOC=∠DAC，得到CO=AC，推出△AOC是等边三角形，据此求解.
26．【答案】（1）解：连接BD，
∴∠C=∠B，
∴sinB=
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°
∴sinB ，
∴AD=2
（2）解：∵AB为直径，DE⊥AB，
∴DF=2DE，
连接DO，设OE为x，
则32-x2=22-(3-x)2，x= ，
由勾股定理得，DE= ，故DF=
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接BD，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠B=∠C，可得到sinB的值；再利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，然后利用解直角三角形求出AD的长.
（2）利用垂径定理可证得DF=2DE，连接DO，设OE=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OE的长，即可求出AE的长；再利用勾股定理求出DE的长，由此可求出DF的长.
27．【答案】（1）50°；25°
（2）证明：∵△AOD≌△COD（SSS），
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，
∴∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，
∴∠ADC＝2∠DAB.
【知识点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：（1）连接OD.
∵，
∴AD＝CD，
∵OD＝OD，OA＝OC，
∴△AOD≌△COD（SSS），
∴∠A＝∠C，
∵∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，
∴∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，
∵∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠A＝∠ADO＝∠ADC＝25°.
故答案为：50°，25°；
【分析】（1）连接OD，根据弧、弦的关系可得AD＝CD，证明△AOD≌△COD，得到∠A＝∠C，由等腰三角形的性质得∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，由圆周角定理得∠ADC＝∠AOC＝50°，据此求解；
（2）由全等三角形的性质可得∠A＝∠C，由等腰三角形的性质得∠A＝∠ODA，∠C＝∠ODC，推出∠A＝∠C＝∠ADO＝∠CDO，据此证明.
28．【答案】（1）解：∵BC是⊙O的直径
∴∠CAB＝90°
∵
∴∠ABC＝90°-30°=60°
∵D是劣弧的中点，得，
∴∠ABD＝∠DAC=30°
∴=
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
又∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴AD2＝DE DB；
（3）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DE DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形.
∴BD＝，由DC2＝DE DB得，
（）2＝2DE，
解得：DE＝.
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠CAB＝90°，则∠ABC＝90°-∠ACB=60°，根据中点的概念可得，由圆周角定理可得∠ABD＝∠DAC=30°，据此求解；
（2）由（1）得∠ABD＝∠DAC，证明△ABD∽△EAD，然后由相似三角形的性质证明即可；
（3）根据弧、弦的关系可得AD＝DC，则DC2＝DE DB，由勾股定理求出BD，然后根据DC2＝DE DB就可求出DE.
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