湘教版初中数学九年级下册2.7正多边形与圆同步练习
一、单选题
1．（2021九上·衢州期中）如图，已知正五边形 内接于 ，连结 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·吴兴期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是 （ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
3．（2021九上·龙沙期末）如图，正六边形内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2021九上·西城期末）如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
5．（2021九上·东西湖月考）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为2，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积大约是（ ）
A．12 B．12.4 C．12.56 D．
6．（2021九上·余姚月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在 上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（2021九上·余姚月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（ ）
A．12π B．6π C．9π D．18π
8．（2021九上·淮南月考）圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
9．（2021九上·永年月考）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·芜湖月考）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
11．（2021九上·湖州月考）如图，在正五边形ABCDE中，记∠BCD＝x°，∠ACB＝y°，则 等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
12．（2021九上·龙沙期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．38° C．36° D．30°
二、填空题
13．（2021九上·临海期末）如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1= 度.
14．（2021九上·东城期末）斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
15．（2021九上·朝阳期末）若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 边形．
16．（2021九上·铁锋期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．
17．（2021九上·武汉月考）边长为a的正六边形中连接不相邻的两个顶点，组成如图所示的内部为六边形的图形.则阴影部分周长等于 .
18．（2021九上·荆州月考）在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为 .
19．（2021九上·鹿邑期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为 .
20．（2021九上·安吉期末）如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则的度数是 .
21．（2021九上·龙江期末）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 ．
22．（2021九下·福州开学考）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是 cm.
三、解答题
23．（2021九上·巢湖月考）已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
24．（2021·宁波模拟）图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形.在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母.
25．（2020·黄石模拟）试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正方形的对角线相等，正五边形的。对角线也相等；不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。
相同点：① ；②
不同点：① ；② .
四、综合题
26．（2020九上·宁城期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
27．（2020九上·吴江期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE.
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值.
28．（2020·呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比 ．如图，圆内接正五边形 ，圆心为O， 与 交于点H， 、 与 分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证： 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出 的形状；
（2）求证： ，且其比值 ；
（3）由对称性知 ，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形
∴
∵ 四边形ABDE是圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD=180°，
∴ ∠ABD=180°-108°=72°.
故答案为：C.
【分析】根据正五边形的各角相等并结合五边形的内角和定理（n-2）×180°可求得∠E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补得出∠E+∠ABD=180°，据此即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OE，OD，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOE=∠DOE==72°，
∴∠ACD=∠AOD=72°.
故答案 为：A.
【分析】连接OA，OE，OD，根据圆内接正五边形的性质得出∠AOE=∠DOE==72°，再根据圆周角定理得出∠ACD=∠AOD=72°，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，易得是等边三角形，解特殊直角三角形OBM易得OM=。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴，
∴BC=2BE=，即正方形ABCD的边长是．
故答案为：D
【分析】连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，利用勾股定理得出BE的值，从而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，构造△ABO，OA=OB=2，作BC⊥OA于点C.
∵，
∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
∴⊙O的面积大约是12.
故答案为：A.
【分析】构造△ABO，OA=OB=2，作BC⊥AO于点C，根据360°除以12求出∠AOB的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BC，然后根据三角形的面积公式可得S△AOB，据此求出正十二边形的面积，进而可得⊙O的面积.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°.
故答案为：B.
【分析】连接OB、OC，易得∠BOC＝90°， 然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
7．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，CO，OA，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC
∴S△ABC＝S△OBC，
∴S阴＝S扇形OBC
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC＝ ＝6π.
故答案为：B.
【分析】连接BO，CO，OA，根据正六边形的性质可得△OAB，△OBC都是等边三角形， 则∠AOB＝∠OBC＝60°，推出OA∥BC，根据同底等高的三角形的面积相等得出S△ABC＝S△OBC， 推出S阴＝S扇形OBC，然后结合扇形的面积公式进行计算.
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故答案为：A
【分析】先求出AC为的直径，再求出最后求解即可。
9．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故答案为：D．
【分析】先求出∠FAB=，AB=6，再利用扇形面积公式计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故答案为：D．
【分析】先求出∠HOC＝∠GOA，再利用ASA证明△HOC≌△GOA，最后求解即可。
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE ，
∴每个外角=360°÷5=72°，
∴∠ABC=∠BCD=180°-72°=108°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=（180°-∠B）÷2=36°，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先根据正多边形的性质求出正五边形的外角的大小，然后根据邻补角的性质求出∠ABC=∠BCD=108°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠ACB，最后计算比值即可.
12．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接 ，如下图：
根据正多边形的性质可得：
根据圆周角定理可得：
故答案为：C
【分析】连接 ，根据正多边形的性质可得，再根据圆周角定理求解即可。
13．【答案】72
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】正五边形的每个内角为
∵多边形为正五边形，即AB=BC=CD，如图
∴△ABC、△BCD均为等腰三角形，且∠ABC=∠BCD=108°
∴
∴∠1=∠BCA+∠CBD=72°
故答案为：72
【分析】 先求出正五边形的每一个内角的度数，利用正五边形的性质可证得AB=BC=CD，同时可证得△ABC、△BCD均为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出∠BCA，∠CBD的度数；然后利用三角形外角的性质可证得∠1=∠BCA+∠CBD，代入计算求出∠1的度数.
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【分析】根据正方形性质确定三角形CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，即可得解。
15．【答案】六
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【分析】先求出多边形的圆心角，再利用360°÷60°＝6求解即可。
16．【答案】
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，
故答案为：．
【分析】连接AD，BD，由正六边形的性质可得AD=2，∠DAB=90°，利用勾股定理求出BD=，在中，可求出OA、OB的长，即得D点坐标，由于将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，可知6次一个循环，从而得出经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，据此即得结论.
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：作于H，
∵外部六边形是边长为a的正六边形，
∴外部正六边形的周长为，
∵六边形是正六边形，
，CA=BA，
，
又∵PA=PB，
，
，
由题意得，阴影部分是正六边形，
∴阴影周长为.
故答案为：.
【分析】作PH⊥AB于H，由正六边形的性质可得外部正六边形的周长为6a，∠CAB=120°，CA=BA，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABP=30°，∠PAB=30°，根据三角函数的概念求出PA，由题意得：阴影部分是正六边形，据此求解.
18．【答案】30°或150°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、BE、AE，在上取点G，连接AG、BG，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF=AF，∠AOB＝，
∴∠AEB＝∠AOB＝30°，
∴∠AGB＝180° ∠AEB＝150°，
即在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为30°或150°；
故答案为：30°或150°.
【分析】连接OA、OB、BE、AE，在上取点G，连接AG、BG，根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD＝DE＝EF=AF，∠AOB＝60°，由圆周角定理可得∠AEB＝∠AOB＝30°，根据圆内接四边形对角互补可得∠AGB的度数，据此解答.
19．【答案】45°
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=.
故答案为：45°.
【分析】连接OB、OC，由正方形的性质可得∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行解答.
20．【答案】54°
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCDE是圆O的内接正五边形，
∴∠O=360°÷5=72°
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=（180°-72°）=54°.
故答案为：54°.
【分析】利用n边形的中心角为：，可求出∠O的度数，再利用等边对等角及三角形的内角和为180°，可求出∠ODC的度数.
21．【答案】十二
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正十二边形，
故答案为：十二．
【分析】连接OA，OB，先求出，再利用即可得到正多边形的边数。
22．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA，作OM⊥AB于点M，
∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm
∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm
在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，
∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm)
故答案为：.
【分析】连接OA，作OM⊥AB于点M，则OA＝2cm，∠AOM=30°，然后根据OM=cos30°×OA进行计算.
23．【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED＝ r2＝ ，再计算求解即可。
24．【答案】解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求.
图①中，∵每个小五边形都是正五边形，
∴∠ERD＝∠RDO=∠DOF＝108°，∠RDE＝∠ODF＝36°，
∴∠EDF＝∠BAC＝36°，
∵DE＝DF，AB＝AC，
∴ ，
△DEF∽△ABC，
故△DEF即为所求；
图②中，根据题意，得GQ∥AC，GH∥AB，HQ∥BC；
∴∠QGH＝∠CAB，∠GQH＝∠ACB，且GQ AC，
则△ABC和△GHQ相似但不全等，故图2中△GHQ即为所求；
图③中，根据题意，得，SB=XA，SA=XC，∠ASB=∠CXA=108°，
∴△ASB≌△CXA，
∴∠ABS=∠CAX，AB=CA，
∴∠BSA+∠CAX=72°，
∴∠BAC＝108°，
∵MN=MP，∠PMN＝108°，
∴ ，
△MNP∽△ABC，
故△MNP即为所求.
【知识点】相似三角形的判定；正多边形的性质
【解析】【分析】 根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可完成画图．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．
25．【答案】都有相等的边；都有相等的内角；边数不同；内角的度数不同
【知识点】圆内接正多边形；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】相同点：①都有相等的边；②都有相等的内角；③都有外接圆和内切圆；④都是轴对称图形；⑤对称轴都交于一点.（写出两条即可）
不同点：①边数不同：②内角的度数不同；③内角和不同；④对角线的条数不同；⑤对称轴的条数不同.（写出两条即可）
【分析】此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形.根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处.
26．【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）90°；72°
（3） ．
【知识点】圆内接正多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先根据圆内接正三角形的性质可得 ，再根据圆内接正三角形的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得 ，再根据（1）同样的方法可得 ；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角 ，再根据（1）同样的方法可得 ；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
27．【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）解：连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1） 如图，连接BD，根据圆内接四边形对角互补，得出∠BAD=60°，由AB=AD，可得△ABD是等边三角形，即得∠ABD=60°，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠AED的度数；
（2）连接OA，根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=120°，从而求出∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， 利用正多边形与圆的性质即可求出结论.
28．【答案】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE=360°÷5=72°，
∴∠ABE= ∠AOE=36°，同理∠BAC= ×72°=36°，
∴AM=BM，
∴△ABM是是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°，
∴∠BAD= ∠BOD=72°，
∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°，
∴AB=NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM=∠ABE，∠AEB= ∠AOB=36°=∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴ ，而AB=BN，
∴ ，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，
∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN，∠ANM=∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴ ，即 ，则 ，
两边同时除以x2，得： ，设 =t，
则 ，解得：t= 或 （舍），
∴ ；
（3）∵∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，
而AO⊥BE，
∴sin 18°=sin∠MAH=
=
= .
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，利用圆周角定理得出∠ABE=∠BAC=36°，即AM=BM，再求出∠BNA=72°=∠BAD，得出结论；（2）证明△BAM∽△BEA，得到 ，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，证明 ，得到 ，设 =t，求出t值即可；（3）根据题意求出∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，再根据sin∠MAH= ，将 代入，即可求值.
1 / 1湘教版初中数学九年级下册2.7正多边形与圆同步练习
一、单选题
1．（2021九上·衢州期中）如图，已知正五边形 内接于 ，连结 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形
∴
∵ 四边形ABDE是圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD=180°，
∴ ∠ABD=180°-108°=72°.
故答案为：C.
【分析】根据正五边形的各角相等并结合五边形的内角和定理（n-2）×180°可求得∠E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补得出∠E+∠ABD=180°，据此即可得出答案.
2．（2021九上·吴兴期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是 （ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OE，OD，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOE=∠DOE==72°，
∴∠ACD=∠AOD=72°.
故答案 为：A.
【分析】连接OA，OE，OD，根据圆内接正五边形的性质得出∠AOE=∠DOE==72°，再根据圆周角定理得出∠ACD=∠AOD=72°，即可得出答案.
3．（2021九上·龙沙期末）如图，正六边形内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，易得是等边三角形，解特殊直角三角形OBM易得OM=。
4．（2021九上·西城期末）如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴，
∴BC=2BE=，即正方形ABCD的边长是．
故答案为：D
【分析】连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，利用勾股定理得出BE的值，从而得出答案。
5．（2021九上·东西湖月考）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为2，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积大约是（ ）
A．12 B．12.4 C．12.56 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，构造△ABO，OA=OB=2，作BC⊥OA于点C.
∵，
∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
∴⊙O的面积大约是12.
故答案为：A.
【分析】构造△ABO，OA=OB=2，作BC⊥AO于点C，根据360°除以12求出∠AOB的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可求出BC，然后根据三角形的面积公式可得S△AOB，据此求出正十二边形的面积，进而可得⊙O的面积.
6．（2021九上·余姚月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在 上，则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴ 所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°.
故答案为：B.
【分析】连接OB、OC，易得∠BOC＝90°， 然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.
7．（2021九上·余姚月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（ ）
A．12π B．6π C．9π D．18π
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：连接BO，CO，OA，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC
∴S△ABC＝S△OBC，
∴S阴＝S扇形OBC
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC＝ ＝6π.
故答案为：B.
【分析】连接BO，CO，OA，根据正六边形的性质可得△OAB，△OBC都是等边三角形， 则∠AOB＝∠OBC＝60°，推出OA∥BC，根据同底等高的三角形的面积相等得出S△ABC＝S△OBC， 推出S阴＝S扇形OBC，然后结合扇形的面积公式进行计算.
8．（2021九上·淮南月考）圆内接正方形的面积为a，则圆的面积为（ ）
A． B．2πa C． D．πa2
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，四边形为的正方形，
为的直径，
又
即
故答案为：A
【分析】先求出AC为的直径，再求出最后求解即可。
9．（2021九上·永年月考）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故答案为：D．
【分析】先求出∠FAB=，AB=6，再利用扇形面积公式计算求解即可。
10．（2021九上·芜湖月考）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，大正六边形在绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故答案为：D．
【分析】先求出∠HOC＝∠GOA，再利用ASA证明△HOC≌△GOA，最后求解即可。
11．（2021九上·湖州月考）如图，在正五边形ABCDE中，记∠BCD＝x°，∠ACB＝y°，则 等于（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE ，
∴每个外角=360°÷5=72°，
∴∠ABC=∠BCD=180°-72°=108°，
∵AB=BC，
∴∠ACB=（180°-∠B）÷2=36°，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先根据正多边形的性质求出正五边形的外角的大小，然后根据邻补角的性质求出∠ABC=∠BCD=108°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠ACB，最后计算比值即可.
12．（2021九上·龙沙期中）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠BAC的度数是（ ）
A．45° B．38° C．36° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接 ，如下图：
根据正多边形的性质可得：
根据圆周角定理可得：
故答案为：C
【分析】连接 ，根据正多边形的性质可得，再根据圆周角定理求解即可。
二、填空题
13．（2021九上·临海期末）如图，∠1是正五边形两条对角线的夹角，则∠1= 度.
【答案】72
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】正五边形的每个内角为
∵多边形为正五边形，即AB=BC=CD，如图
∴△ABC、△BCD均为等腰三角形，且∠ABC=∠BCD=108°
∴
∴∠1=∠BCA+∠CBD=72°
故答案为：72
【分析】 先求出正五边形的每一个内角的度数，利用正五边形的性质可证得AB=BC=CD，同时可证得△ABC、△BCD均为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出∠BCA，∠CBD的度数；然后利用三角形外角的性质可证得∠1=∠BCA+∠CBD，代入计算求出∠1的度数.
14．（2021九上·东城期末）斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【分析】根据正方形性质确定三角形CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，即可得解。
15．（2021九上·朝阳期末）若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 边形．
【答案】六
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【分析】先求出多边形的圆心角，再利用360°÷60°＝6求解即可。
16．（2021九上·铁锋期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，
故答案为：．
【分析】连接AD，BD，由正六边形的性质可得AD=2，∠DAB=90°，利用勾股定理求出BD=，在中，可求出OA、OB的长，即得D点坐标，由于将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，可知6次一个循环，从而得出经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与第一象限中D点的坐标相同，据此即得结论.
17．（2021九上·武汉月考）边长为a的正六边形中连接不相邻的两个顶点，组成如图所示的内部为六边形的图形.则阴影部分周长等于 .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【解答】解：作于H，
∵外部六边形是边长为a的正六边形，
∴外部正六边形的周长为，
∵六边形是正六边形，
，CA=BA，
，
又∵PA=PB，
，
，
由题意得，阴影部分是正六边形，
∴阴影周长为.
故答案为：.
【分析】作PH⊥AB于H，由正六边形的性质可得外部正六边形的周长为6a，∠CAB=120°，CA=BA，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABP=30°，∠PAB=30°，根据三角函数的概念求出PA，由题意得：阴影部分是正六边形，据此求解.
18．（2021九上·荆州月考）在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为 .
【答案】30°或150°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OB、BE、AE，在上取点G，连接AG、BG，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF=AF，∠AOB＝，
∴∠AEB＝∠AOB＝30°，
∴∠AGB＝180° ∠AEB＝150°，
即在正六边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为30°或150°；
故答案为：30°或150°.
【分析】连接OA、OB、BE、AE，在上取点G，连接AG、BG，根据正六边形的性质可得AB＝BC＝CD＝DE＝EF=AF，∠AOB＝60°，由圆周角定理可得∠AEB＝∠AOB＝30°，根据圆内接四边形对角互补可得∠AGB的度数，据此解答.
19．（2021九上·鹿邑期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为 .
【答案】45°
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=.
故答案为：45°.
【分析】连接OB、OC，由正方形的性质可得∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行解答.
20．（2021九上·安吉期末）如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则的度数是 .
【答案】54°
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCDE是圆O的内接正五边形，
∴∠O=360°÷5=72°
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=（180°-72°）=54°.
故答案为：54°.
【分析】利用n边形的中心角为：，可求出∠O的度数，再利用等边对等角及三角形的内角和为180°，可求出∠ODC的度数.
21．（2021九上·龙江期末）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】十二
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正十二边形，
故答案为：十二．
【分析】连接OA，OB，先求出，再利用即可得到正多边形的边数。
22．（2021九下·福州开学考）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是 cm.
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接OA，作OM⊥AB于点M，
∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm
∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm
在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，
∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm)
故答案为：.
【分析】连接OA，作OM⊥AB于点M，则OA＝2cm，∠AOM=30°，然后根据OM=cos30°×OA进行计算.
三、解答题
23．（2021九上·巢湖月考）已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED＝ r2＝ ，再计算求解即可。
24．（2021·宁波模拟）图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形.在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母.
【答案】解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求.
图①中，∵每个小五边形都是正五边形，
∴∠ERD＝∠RDO=∠DOF＝108°，∠RDE＝∠ODF＝36°，
∴∠EDF＝∠BAC＝36°，
∵DE＝DF，AB＝AC，
∴ ，
△DEF∽△ABC，
故△DEF即为所求；
图②中，根据题意，得GQ∥AC，GH∥AB，HQ∥BC；
∴∠QGH＝∠CAB，∠GQH＝∠ACB，且GQ AC，
则△ABC和△GHQ相似但不全等，故图2中△GHQ即为所求；
图③中，根据题意，得，SB=XA，SA=XC，∠ASB=∠CXA=108°，
∴△ASB≌△CXA，
∴∠ABS=∠CAX，AB=CA，
∴∠BSA+∠CAX=72°，
∴∠BAC＝108°，
∵MN=MP，∠PMN＝108°，
∴ ，
△MNP∽△ABC，
故△MNP即为所求.
【知识点】相似三角形的判定；正多边形的性质
【解析】【分析】 根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可完成画图．图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；图②中，GH∥AB，HQ∥BC；图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．
25．（2020·黄石模拟）试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正方形的对角线相等，正五边形的。对角线也相等；不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。
相同点：① ；②
不同点：① ；② .
【答案】都有相等的边；都有相等的内角；边数不同；内角的度数不同
【知识点】圆内接正多边形；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】相同点：①都有相等的边；②都有相等的内角；③都有外接圆和内切圆；④都是轴对称图形；⑤对称轴都交于一点.（写出两条即可）
不同点：①边数不同：②内角的度数不同；③内角和不同；④对角线的条数不同；⑤对称轴的条数不同.（写出两条即可）
【分析】此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形.根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处.
四、综合题
26．（2020九上·宁城期末）如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是
【答案】（1）解：如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）90°；72°
（3） ．
【知识点】圆内接正多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；
（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先根据圆内接正三角形的性质可得 ，再根据圆内接正三角形的性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据角的和差、等量代换即可得；（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得 ，再根据（1）同样的方法可得 ；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角 ，再根据（1）同样的方法可得 ；（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
27．（2020九上·吴江期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE.
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值.
【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）解：连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴ .
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【分析】（1） 如图，连接BD，根据圆内接四边形对角互补，得出∠BAD=60°，由AB=AD，可得△ABD是等边三角形，即得∠ABD=60°，再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠AED的度数；
（2）连接OA，根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD=120°，从而求出∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， 利用正多边形与圆的性质即可求出结论.
28．（2020·呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比 ．如图，圆内接正五边形 ，圆心为O， 与 交于点H， 、 与 分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）
（1）求证： 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出 的形状；
（2）求证： ，且其比值 ；
（3）由对称性知 ，由（1）（2）可知 也是一个黄金分割数，据此求 的值．
【答案】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，
在正五边形中，
∠AOE=360°÷5=72°，
∴∠ABE= ∠AOE=36°，同理∠BAC= ×72°=36°，
∴AM=BM，
∴△ABM是是等腰三角形且底角等于36°，
∵∠BOD=∠BOC+∠COD=72°+72°=144°，
∴∠BAD= ∠BOD=72°，
∴∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°，
∴AB=NB，即△ABN为等腰三角形；
（2）∵∠ABM=∠ABE，∠AEB= ∠AOB=36°=∠BAM，
∴△BAM∽△BEA，
∴ ，而AB=BN，
∴ ，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，
∵∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN，∠ANM=∠ANB，
∴△AMN∽△BAN，
∴ ，即 ，则 ，
两边同时除以x2，得： ，设 =t，
则 ，解得：t= 或 （舍），
∴ ；
（3）∵∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，
而AO⊥BE，
∴sin 18°=sin∠MAH=
=
= .
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）连接圆心O与正五边形各顶点，利用圆周角定理得出∠ABE=∠BAC=36°，即AM=BM，再求出∠BNA=72°=∠BAD，得出结论；（2）证明△BAM∽△BEA，得到 ，设BM=y，AB=x，则AM=AN=y，AB=AE=BN=x，证明 ，得到 ，设 =t，求出t值即可；（3）根据题意求出∠MAH=∠NAH= ∠MAN=18°，再根据sin∠MAH= ，将 代入，即可求值.
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