2021-2022学年北师大版数学八年级下册1.2直角三角形 课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
1.2 直角三角形
学习目标
1、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理；
2、能根据“HL”定理解决实际问题.
两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形全等吗？
当一组等边所对的角为直角时，这两个三角形会全等吗？
不全等，理由如下：
如图：在△ABD和△ABC中，
AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，
△ABD和△ABC不全等.
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
a
c
α
已知：如图，线段a，c(a求作： Rt△ABC，使∠C= ∠α，BC=a ， AB=c.
(1) 作∠MCN =∠α=90°；
画法：
(2) 在射线CM上取CB=a；
B
(3) 以B为圆心，线段c的长为半径画弧，交射线CN于点A；
(4)连接AB．
观察比对你所作的三角形与其它同学所作的是否全等？
A
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
已知：如图，在 △ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°， AC＝A′C′， AB＝A′B′，
求证： △ABC≌△A′B′C′ .
A
B
C
A′
B′
C′
证明：在△ABC中，
∵∠C＝ 90°，
∴BC2＝ AB2-AC2 (勾股定理).
同理， B′C′ 2＝A′B′2-A′C′ 2.
∵AB＝A′B′， AC＝A′C′，
∴BC＝B′C′．
∴ △ABC≌△A′B′C′ (SSS).
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或 “HL”）.
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
AB=A′B′，
BC=B′C′，
A
B
C
A′
B′
C′
例1 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EF ，
AC=DF ，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL).
∴∠B＝∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF＋∠F＝90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B＋∠F=90°.
例2 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．
求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝FC+EC.
即BC＝EF .
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形 .
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
例3 如图，公路上A、B两站相距25 km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．已知DA＝15 km，CB＝10 km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两学校到E的距离相等，则E应建在距A多远处？
解：设AE＝x km，则BE＝(25-x) km .
由勾股定理，得
AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝CE2，
则x2+152＝ (25-x) 2+102 .
解得x＝10 .
∴E应建在距A 10 km处．
例4 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD-CD＝BF-EF .
即BC＝BE.
随堂练习
1.如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．
求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．
证明：连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB .
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB .
∴BC＝DC .
∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠E＝∠F＝90°.
在Rt△BCE和Rt△DCF中
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．
2．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
证明：（1）在△ABC和△DCB中，
∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC ＝CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB ，
∴∠ACB＝∠DBC .
∴OB＝OC .
∴△OBC是等腰三角形.
3．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2，
求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC是直角三角形 .
∵AD＝BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）.
4. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P、Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A、C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）.
即AP＝BC＝10；
②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．
综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．
课堂小结
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
在判定直角三角形全等时，只需找除直角外的两个条件即可（其中至少有一个条件是一组对应边相等）
谢谢