吉林省抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学考试数学试题（Word版含答案）

抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学考试
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（原题）1、向量和的夹角为，且，，则等于（ ）
A、12 B、 C、4 D、13
（原题）2、在正四面体中，，，，为的中点，为的中点，则用表示为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A、19 B、20 C、24 D、26
4、某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A、240种 B、300种 C、420种 D、460种
（原题）5、直线被圆截得的弦长等于（ ）
A、 B、2 C、 D、4
（原题）6、设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）
B、 C、 D、
7、北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破。为了宣传，某学校决定派小明和小李等名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ）
A、8 B、10 C、12 D、14
（原题）8、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（ ）
A、50种 B、60种 C、90种 D、360种
10、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为
他们的战略需求。现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A、36种 B、54种 C、72种 D、90种
11、用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A、可组成个不重复的四位数
B、可组成个不重复的四位偶数
C、可组成个能被整除的不重复四位数
D、若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，
则第个数字为
（原题）12、若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”。已知数列是数列的“均值数列”，且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13、某城市的交通道路如图，从城市的西南角到城市的东北角，经过城市中心广场，最近的走法种数有 种。
14、的展开式中，的系数是
（原题）15、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且在轴的上方，过点作于，，则的面积为
（原题）16、已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数。它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数。它的简单计算公式是：确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间(单位：天)。根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分10分）
4个男同学，3个女同学站成一排。
（1）3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？
（4）甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
（5）若3个女同学身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？
18、（本小题满分12分）
（1）若，求正整数；
（2）已知，，求的值。
19、（本小题满分12分）
已知的展开式中，前三项的系数成等差数列。
（1）求； （2）求展开式中的常数项； （3）求奇数项的二项式系数和。
（原题）20、（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求数列的前项和。
（原题）21、（本小题满分12分）
在平行六面体中，⊥平面，，，
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成角的正弦值。
（原题）22、（本小题满分12分）
已知动点（其中）到定点的距离比点到轴的距离大1
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于两点，为坐标原点。①求证：；
②设分别与椭圆相交于点，证明：原点到直线的距离为定值。
抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学考试
数学试卷答案
1、D
2、B
3、A 从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6，由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
4、C 先放A，共有5种选择，若B、D选则同一种花，有四种选择，剩下的C、E均有三种选择，共种，若B、D选则不同种花，有种选择，剩下的C、E均有两种选择，共种，故共有180+240=420种.
5、B
6、C
7、A 应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，有种；
当三人组中不包含小明和小李时，有种，共计有种
8、D
9、A 第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，有1×2×10＝20(种)，
第二类：甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，有1×3×10＝30(种)，共有20＋30＝50(种)
10、B 三个学年学生选科组合有，，
∴当时，三个学年选两个学年选完有，再为每个学年选两门课，故选修方式为；当时，选课方式有；∴总共有54种
11、C A选项，有个，错，
B分两类：在末位，有种，不在末位，有种，∴共种，错，
C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，先选：，、、、，排列出来的数一定可以被整除，∴有：种，对，
D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，
因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错
12、D
13、60 用分步乘法原理解题，分两步，由A到，共走5段路，3横2竖，有种；
由到，共走4段路，2横2竖，有种；最近的走法种数有种
14、 通项为，∴时，的系数为.
15、8
16、120
17、（本小题满分10分）
（1）3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有种排法．我们可视排好的女同学为一整体，与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有种排法．由分步乘法计数原理，得共有（种）不同的排法；
（2）先将男同学排好，共有种排法，再在这4个男同学之间及两头的5个空当中插入3个女同学有种方案，故符合条件的不同的排法共有（种）；
（3）3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有（种）；
（4）先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有种排法．故总共有（种）不同的排法；
（5）从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有种排法．再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身高排列，故仅有1种排法．故总共有（种）不同的排法．
18、（本小题满分12分）
（1）由得，，又，
∴，即，∴正整数为8.
（2）等价于，
整理得到，
因，故，故 整理得到：即.
19、（本小题满分12分）
（1）二项式展开式的第项为，
前三项的系数成等差数列，所以，即，
整理得，解得或，显然不满足题意，所以
（2），令得，常数项为
（3）奇数项的二项式系数和；
20、（本小题满分12分）答案略
21、（本小题满分12分）
22、（本小题满分12分）