吉林省抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学综合检测（1）数学试题（Word版含答案）

抚松县第一高级中学校2021-2022学年高二下学期2月开学综合检测（1）
数学试题
一、单选题
1、圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A. 与5 B. 与5 C 与 D. 与
2、焦点在x轴的椭圆的焦距是4，则m的值为（ ）
A. 8 B. 3 C. 5或3 D. 20
3、已知，则集合中的元素个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
4、如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别满足，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5、“或”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6、与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7、在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
8、已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为（ ）
A. B. C. D.
9、设分别为椭圆左、右焦点，点在椭圆C上，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
10、已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11、平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）
A. 10 B. 3 C. D.
12、已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. 为递增数列 B. 当且仅当时，有最大值
C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为无限集
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）
13、抛物线的准线方程是______.
14、点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为________.
15、设等差数列的前项和为，且，则当＝__________时，最大．
16、已知数列满足，且，则的通项公式为______．
三、解答题
17、已知三个顶点分别为，，．
（1）求经过两边AB和AC的中点的直线的方程；（2）求的外接圆方程．
18、若椭圆上任意点M到左焦点的最近距离，最远距离分别为，．
（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的两个焦点分别为，，以椭圆上点P及，为顶点的三角形的面积等于3，求点P的坐标．
19、四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点，且．（1）求；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
20、已知数列的各项均为正数，表示数列的前项的和，且.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
21、数列、分别为等差和等比数列，且数列的公差，，，，。
（1）求、的通项公式；（2）设，求数列的前项和。
22、已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.
高二数学开学综合检测卷1答案解析
一、单选题
1、圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A. 与5 B. 与5 C 与 D. 与
D ，故圆心坐标为，半径为.
2、焦点在x轴的椭圆的焦距是4，则m的值为（ ）
A. 8 B. 3 C. 5或3 D. 20
A因为焦点在x轴，故，而焦距4，故即
3、已知，则集合中的元素个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
B集合B中圆的半径为，圆心到集合A中直线的距离，所以直线与圆相交，有两个交点，所以集合中有两个元素
4、如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别满足，，则等于（ ）
A. B. C. D.
B解：在中，因为、分别满足，，所以，且，
则．
5、“或”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B当直线与直线平行时，有，解得，，当时，直线，直线，两直线重合，不满足题意，而当时，直线，直线，两直线平行，满足题意，故是直线与直线平行的必要不充分条件.
6、与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
C解：直线，即，它与轴的交点为，
它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即.
7、在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
D
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
8、已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵kAB==1,
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1.整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
9、设分别为椭圆左、右焦点，点在椭圆C上，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把点坐标代入四个选项，可排除三个错误选项，第四个选项可检验满足题中其他条件．
【详解】把代入各选项中方程，
，，，ABC均排除，
，D满足，此时，，
，满足此条件．
故选：D．
10、已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
的圆心为,半径，
的圆心为,半径，
圆心距，
∴两圆相离，∴，
11、平面的一个法向量，在内，则到的距离为（ ）
A. 10 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用点到平面的距离的向量公式求解.
【详解】，
则点到平面的距离.
故选：D
12、已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. 为递增数列 B. 当且仅当时，有最大值
C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为无限集
【答案】C
【解析】
【分析】用基本量法，求出首项和公差，再利用等差数列求通项公式，求和公式，再依次判断各选项，即可得解.
【详解】由，知，即
设等差数列的首项，公差，∴，解得，
对于A，由，知为递减数列，故A错误；
对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；
对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；
对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；
故选：C
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分。）
13、抛物线的准线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解.
【详解】由得抛物线方程为，所以，
所以抛物线的准线方程是，
故答案为：.
14、点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为 为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.
考点：1、两直线垂直斜率关系；2、点斜式求直线方程.
15、设等差数列的前项和为，且，则当＝__________时，最大．
1008 ∵，∴，，∴，，∴，，∴当n＝1008时，最大．
16、已知数列满足，且，则的通项公式为______．
【答案】
依题意数列满足，且①.
当时，，②，
②-①得，则，
所以，都符合上式..
三、解答题
17、已知三个顶点分别为，，．
（1）求经过两边AB和AC的中点的直线的方程；
（2）求的外接圆方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出AB和AC的中点坐标，用两点求直线方程
（2）设圆的一般方程，将三点代入求出参数即可
【小问1详解】
AB的中点坐标为，AC的中点坐标为，所以直线的斜率，将代入得直线方程为：，即
【小问2详解】
设圆的一般方程为，将三点代入得：
解得： ，所以圆方程为：，化为标准方程为：
18、若椭圆上任意点M到左焦点的最近距离，最远距离分别为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的两个焦点分别为，，以椭圆上点P及，为顶点的三角形的面积等于3，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或或或
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义以及性质，可以直接解出，的值，进而可以确定椭圆方程；
（2）由（1）知椭圆的长度，再根据题中的条件确定点的纵坐标，点在椭圆上即可解出点的坐标．
【小问1详解】
解：由题意可知，
，
又，
所以椭圆方程为：；
【小问2详解】
解：设点，由（1）知，
，
，
，
，
故点的坐标为：或或或．
19、如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，设，进而根据求解即可；
（2）利用空间向量方法求解二面角即可.
【小问1详解】
解：∵平面，四边形为矩形，不妨以点D为坐标原点，
DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示空间直角坐标系，
设，则、、、、
，则，
∵，则，解得，故；
【小问2详解】
解：设平面PAM法向量为，
则，，
由，取，可得．
设平面PBM的法向量为，
，，
由，取，可得，
，
所以平面PAM与平面PBM的夹角的余弦值为
20、已知数列的各项均为正数，表示数列的前项的和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，
当时，.
满足，因此，；
（2），
因此，.
21、数列、分别为等差和等比数列，且数列的公差，，，，。
（1）求、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和。
【解析】（1）∵、、，、、成等比数列，∴、、成等比数列，
∵，∴，∵，解可得，
∴，
设数列的公比为，，∵、，∴，
；
（2）由（1）可知，，
∴，
，
上式减下式得：
，
∴。
22、已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
（1）椭圆C的方程；
（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；
（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.
【详解】解：（1）由题意可得，
解得：，，
椭圆C的方程为；
（2）设，
联立，
得，
，，
，
解得.