吉林省抚松县第一高级中学校2021-2022学年高一下学期2月开学考试数学试题（Word版含答案）

抚松县第一高级中学校2021-2022学年高一下学期2月开学考试
数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答
题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z＝﹣+i（i为虚数单位）对应的点位于（　 ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c＝2：3：4，则△ABC为（　 　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4.已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，，，，则的值为( )
B． C． D．1
6.已知函数 ，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8.设，定义运算，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.以下关于向量的说法正确的有（ ）
A.若a＝b，则|a|＝|b|
B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C.若a＝－b且b＝－c，则a－c
D.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
10.下列说法正确的有（ ）
A.函数的图象不经过第四象限
B.函数在其定义域上为增函数
C.函数与的图象关于轴对称
D.函数与的图象关于直线对称
11.已知函数，则下列结论正确的有（ ）A.是偶函数 B.是的一个周期
C.的最大值为 D.的最小值为
12.设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得（为常数），则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为的有（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z＝3﹣m+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数
m＝　 　．
14.若，则的值为　 　．
15.在△ABC中，AB＝2，AC＝1．若对任意的t∈R，恒成立，则角A的取值范围为 　 　．
16.已知函数，若存在实数满足，则的值为，的取值范围为　 　．（本小题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程
17．（原题）已知．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
18．（原题）已知函数f（x）＝sinxsin（﹣x）+．
（1）求函数f（x）的单调递减区间及其图象的对称中心；
（2）已知函数f（x）的图象经过先平移后伸缩得到y＝sinx的图象，试写出其变换过程．
19．（原题）已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）．
（1）若||＝||，求角α的值；
（2）若 ＝﹣1，求的值．
20.（原题）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB⊥AD，
AB＝1．
（1）若AC＝，求△ABC的面积；
（2）若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD．
21．（原题）某辆汽车以x千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中k为常数，且60≤k≤100．
（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；
（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．
22.（已知函数，，.
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
17.解：（1）
∵，∴
∴
（2）＝1+2×+＝2，
∴
＝1﹣2×+＝1，
∴
设向量与夹角为θ，
∴．
18.解：（1）∵函数 f（x）＝sinxsin（﹣x）+＝sinxcosx﹣sin2x+
＝sin2x﹣ +＝sin（2x+）．
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得 kπ+≤x≤kπ+，
可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
令2x+＝kπ，求得x＝﹣，可得f（x）的对称中心为 （﹣，0）．
（2）函数f（x）＝sin（2x+）的图象经过先平移后伸缩得到y＝sinx的图象，
其具体过程为：把函数f（x）＝sin（2x+）的图象先向右平移个单位，
可得y＝sin2x的图象；
再把图象的横坐标变为原来的2倍，可得y＝sinx的图象；
再把图象的纵坐标变为原来的2倍，可得y＝sinx的图象．
19.解：，．
（1）∵，
∴．
化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．
又，
故．
（2）∵，
∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，
化简得：，
两边平方得：，
∴，
故sinα﹣cosα＞0，
而，
∴，
20解：（1）在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2×AB×BC×cos∠ABC，
∴5＝1+BC2+，解得BC＝或BC＝2（舍），
∴△ABC的面积S△ABC＝＝＝．
（2）设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，
∴＝，解得AC＝，
在△ACD中，，，
则，即＝，
∴AC＝，
∴＝，即4（）＝，
整理，得sinθ＝2cosθ，
联立，解得sinθ＝，
∴sin∠CAD＝．
21解：（1）由题意可得当x＝120时，＝（120﹣k+）＝11.5，
解得k＝100，由（x﹣100+）≤9，
即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，
又60≤x≤120，可得60≤x≤100，
每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]；
（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，则
y＝ ＝20﹣+（60≤x≤120），
令t＝，则t∈[，]，
即有y＝90000t2﹣20kt+20＝90000（t﹣）2+20﹣，
对称轴为t＝，由60≤k≤100，可得∈[，]，
①若≥即75≤k≤100，
则当t＝，即x＝时，ymin＝20﹣；
②若＜即60≤k＜75，
则当t＝，即x＝120时，ymin＝﹣．
答：当75≤k≤100，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20﹣升；
当60≤k＜75，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为﹣升．