湖南省百所学校大联考2021-2022学年高二下学期2月入学考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设数列满足，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
2．已知空间向量（0，1，），，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在等比数列中，，，则（ ）
A． B．3 C． D．
5．一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当t=1秒时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．16米/秒 B．40米/秒 C．9米/秒 D．36米/秒
6．已知A（2，1），抛物线C：的焦点为F，P是抛物线C上任意一点，则△PAF周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——《红高粱》《檀香刑》．假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（ ）
A．第23天 B．第24天 C．第25天 D．第26天
8．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上一点，若△F1PF2的面积为4，且△F1PF2内切圆的半径为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线C：，则（ ）
A．当m=n=2时，C为圆 B．当m=n=1时，C为抛物线
C．C不可能为椭圆 D．C可能为双曲线
10．下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（ ）
A．曲线 B．曲线
C．曲线 D．曲线
11．F1，F2分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，P是C右支上的一点，PF1与C的左支交于点Q．已，且，则（ ）
A．△PQF2为直角三角形 B．C的渐近线方程为
C．△PQF2为等边三角形 D．C的渐近线方程为
12．已知数列满足，，令，则（ ）
A．
B．数列是等差数列
C．为整数
D．数列的前2022项和为4044
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若直线与直线平行，则m=________．
14．若数列是公差为1的等差数列，且，则________，________．（本题第一空2分，第二空3分）
15．已知双曲线虚轴长的两倍是实轴长与焦距的等比中项，则该双曲线的离心率为________．
16．已知函数恰有2个零点，则m的取值集合是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆M经过A（，0），B（0，），C（1，2）三点．
（1）求圆M的方程；
（2）若P是圆M上一点，且，求直线AP的斜率．
18．（12分）
已知函数．
（1）求曲线在点（，）处的切线方程；
（2）若恒成立，求k的取值范围．
19．（12分）
如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥平面PCD，平面PCD⊥底面ABCD，且BC=2，AB=CD=4，BC⊥CD．
（1）证明：CD∥平面PAB；
（2）若F为侧面PCD内到CD距离为1的一点，且CF=，PC=PD=，求BF与平面PAB所成角的正弦值．
20．（12分）
已知数列的前n项和为，且．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
21．（12分）
已知椭圆C：（）的短轴长为，P（，1）是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（m，0）（m为常数，且）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与y轴相交于点N，已知，，试问是否为定值？若是、请求出该值；若不是，请说明理由．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，（）是的两个零点，是的导函数，证明：．高二年级数学试卷参考答案
1.D因为a2=22=4,所以a3=(一3)2=9.
2.A依题意可知A迹.AC-正·Cos=一5.则A成.B式=.(C-A花)=恋.心-A恋1：=
-√5-5.
3.C因为在x=0左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知f(x)只有2个极值点
4.D
由=一得专放a一号·告号
5.Bs'=4t+3(31-1)2×3,当t=1时，s'=4十9×4=40，故该质点的瞬时速度为40米/秒.
6.C由题可知，当直线AP与抛物线C的准线垂直时，△PAF的周长最小，且最小值为3十√2
7.B根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，则15十
n("一D×10≥50X60,整理得2+21-600≥0.
2
设f(n)=n2十21一600(n∈N),则f(n)为增函数，因为f(23)<0,f(24)>0,所以他恰好读完这两本书的
时间为第24天.
8.D由△FPF,的面积为4，得2(2a十2c)r=(a+c)(3-5)=4,即a十c=3+5.
又&=a-c2=(a+c)(a-c)=4,所以a-c=3-5,所以a=3,c=5,e=￡-5
a 3
9.ABD当m==2时.C为圆x2十y=之；当m=1=1时，C为抛物线x=一y:当m=2,>0且n≠2时，C
为椭圆2.x2十ny2=1:当m=2,n<0时，C为双曲线2.x2十ny2=1.
10.BC若y=2.x-sinx,则y'=2-cosx,当x=0时，y=1>0;若y=x-2sinx,则y=1一2cosx,当x=0
时y=-10若=-2e则=(-1e,当=0时=-10若y司则y-品
当x=0时，y'=1>0.
11.BC因为PQ=|PF2|,所以由双曲线定义知，|PF|-|PF2|=|QF|=2a,QF2-|QF|=2a,所以
QF2|=4a.又P=2QF,所以|PQ|=4a,故△PQF2是等边三角形.在△PF,F2中，cos∠FPF2=
PE所FB-+C一忙=则后-“产=7，即会=6放C的浙近线方程为y
2PF PF2
48a2
a2
=土√6x
12ABD因为a十号十+号=2所以当1=1时，4=号=1，故4=4当≥2时告=20节
u十1
理相亭又受一节=1，所4f=10m6品÷-》么为等老数列
2n
且如不是整数么十2a(宁4)-6十1+s受6-+1+as设数列么+2m(子A)》的前n
项和为S,则S=品0叶1+2++221+22+ams%+oms品+十
2
2021x=4044+c082021
0X
2021
高++m器因为ao+石=0.所以m+高+十as-放Se=0L
13.一√2依题意可得一8=一4m,解得m=土√2.当m=√2时，这两条直线重合，故m=一2.
14.64;n24m
因为数列{}是公差为1的等差数列，且41=4，所以8=十n-1=n,故42=64,4，=
2n
2
n24".
【高二数学·参考答案第1页（共4页）】
