江苏省扬州市2021-2022学年高二下学期2月期初调研测试数学试题（Word版含答案）

扬州市2021-2022学年高二下学期2月期初调研测试
数学
2022．2
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．在等比数列中，若，则（ ）．
A． B． C．6 D． 12
2．双曲线的焦点坐标为（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
3．圆和圆的位置关系为（ ）．
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
4．下列函数中，在上为增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
5． 在等差数列中，若， 则（ ）．
A．68 B．78 C．156 D．136
6．若抛物线的顶点为坐标原点，焦点为椭圆的右焦点，为抛物线上的动点，，则的最小值为（ ）．
A． 4 B． 5 C． 6 D． 2 17
7．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ）．
A．672 B．674 C．1348 D．2022
8．已知直线与圆交于 两点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线可以是（ ）．
A． B． C． D．
10．若数列为等差数列，则下列说法中正确的有（ ）．
A．数列，，，，为等差数列 B．数列，，，，为等差数列
C．数列为等差数列 D．数列为等差数列
11．已知函数，则下列说法中正确的有（ ）．
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，在上恰有2个零点
C．当时，在上单调递减
D．当时，在上恒成立
12．对于椭圆，定义双曲线为其伴随双曲线，则下列说法中正确的有（ ）．
A．椭圆与其伴随双曲线有四个公共点
B．若椭圆的离心率是其伴随双曲线的离心率的，则伴随双曲线的渐近线方程
C．若椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆相交于、两点，则直线与直线的交点在伴随双曲线上
D． 若椭圆的右焦点为，其伴随双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，为等腰三角形，则椭圆的离心率为或
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．过点作圆的切线，切点为，则线段的长为________________
14．函数的单调递减区间为________________
15．已知双曲线，过作直线与双曲线交于、两点，且为弦的中点，则直线的方程为________________．
16．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则 ________________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知直线，直线过点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
已知数列满足，，令
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列________的前项和
从条件① ②
③中任选一个，补充在上述横线中，并给予解答，若有多个解答，则按照第一个解答评分．
19．（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值．
20．（本小题满分 12 分）
已知直线过点，点在圆上．
（1）若直线与圆相切，求直线的倾斜角；
（2）已知，点满足，求点的轨迹方程，并求线段长的最大值．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于、两点，弦的中点为，直线与的斜率之积为且、记直线与的斜率分别为，，请探究：是否存在正实数，使得，为定值？若存在，请求出及，的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数的最大值为，求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
扬州市2021-2022学年高二下学期2月期初调研测试
数学
2022．2
1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A
9．AC 10．ABD 11．ABC 12．BCD
13． 14． 15． 16．16
17．解：（1）因为，且，
所以直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，即．
（2）因为，且，
所以直线的斜率为，又直线过点，
所以直线的方程为．
18．解:（1）由条件，，得，
因为，所以，，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，数列的通项公式为：
选①：，
选②：，
则
选③：，
则，，
两式相减得，
．
19．解：（1），由题意得即
解得，，．所以，经检验，符合要求．
（2），令，得或．
2
＋ 0 － 0 ＋
↗ 2 ↘ ↗ 11
所以．
20．解：（1）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，满足条件，
此时直线的倾斜角为．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
由直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，解得，则直线的倾斜角为．
综上得：直线的倾斜角为或
［注：若漏掉的倾斜角为，则扣2分］
（2）设，由得，
化简得．
由题意知点在圆上，点在圆上，
则两圆圆心距离为4，所以的最大值为8．
21．解：（1）因为离心率为，所以，即，
因为，所以，即①．
因为点在椭圆上，所以②．
联列①②解得，．所以椭圆的标准方程为．
（2）方法一：由得，
当时，
设，，则
因为直线与直线的斜率之积为，所以，即，
所以，即，
所以，化简得．
思路1：因为弦的中点为，所以，，
又，所以
假设存在正实数，使得，即对任意的符合条件的，恒成立，
则，即，即，对任意的符合条件的恒成立，
所以又，所以，．
故存在正实数，使得．
思路2：同思路1可得，即，所以
又，所以，即．
假设存在正实数，使得，即对任意的恒成立，
即恒成立，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，所以，又，解之得
故存在正实数，使得．
思路3：同思路2得．
取，即，，
则，
故存在正实数，使得．
方法二：设，，的中点．
因为、在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为，
所以，又即
①＋②×4得，
则，所以.
下同方法一中的思路2或思路3，略．
22．解：（1）的定义域为，且．
①若，则在上递增，此时，不合题意，舍去．
②若，则在上递增，在上递减．
所以，令，得．
综上得：．
（2）因为不等式在上恒成立，
所以不等式在上恒成立．
令，则，
令，则，所以在上递减．
①若，则，即，
所以在上递减，所以符合题意．
［注：也可以通过，得到］
②若，则，，
，
［注：“取点”方法不唯一，例如］
又，在上单调递减，
所以存在唯一实数，使得．
当时，，即，所以在上递增，
所以，不合题意．
综上，实数的取值范围是．