2021-2022学年人教版九年级数学下册28.2.1解直角三角形习题（Word版含答案）

《解直角三角形》习题
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，cos A＝，则AC等于（ ）
A．36 B． C．4 D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）
A．7sin 35° B． C．7cos35° D．7tan35°
3．在平行四边形ABCD中，已知AB＝3cm，BC＝4cm，∠B＝60°，则S□ABCD等于（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
4．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为（ ）
A．25 B． C． D．
(
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长（
m）
100
100
95
95
线与地面夹角
30
°
45
°
45
°
60
°
)
第4题图 第5题表
5．身高相等的四名同学甲乙丙丁一起参加风筝比较，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如上表所示（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（每小题5分，共25分）
6．如图，离地面高度为5米的A处引拉线固定电线杆，要使拉线与地面a＝37°，工作人员需买拉线的长度约为_____________（精确到米）．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝，则DE＝　 　．
8．如图，△ABC中，∠B＝45°， cos∠C＝，AC＝5a，则△ABC的面积用含的式子表示是_______．
9．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC＝6cm，则AD＝________cm．
第9题图 第10题图
10．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为　 　．
三、解答题（共50分）
11．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，求∠A及b、c．
12．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．
13．（10分）如图，在离地面高度5米的C处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD．（精确到0.01米）
14．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AD的长．
15．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝4．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
《解直角三角形》习题答案
1．C．
【解析】∵∠C＝90°，∴，又∵AB＝12，∴．故选C．
2．C．
【解析】在直角三角形中，根据角的余弦值与三角形边的关系，可求出BC边的长．
在Rt△ABC中，cosB＝，∴BC＝AB cos B＝7cos 35°．故选C．
3．A．
【解析】过A作AE⊥CB于E．∵AB＝3 cm，∠B＝60°，∴sin 60°＝，∴AE＝，∴SABCD＝BC AE＝6．
故选A．
4．B．
【解析】过点B作BE⊥AD于E．设BE＝x．∵∠BCD＝60°，tan∠BCE＝，∴CE＝x．
在直角△ABE中，AE＝x，AC＝50米，则x-x＝50．解得x＝25．即小岛B到公路l的距离为25米．故选B．
5．D ．
【解析】根据题意画出图形，分别利用解直角三角形的知识求出风筝的高再进行比较即可．如图，
甲中，AC＝100m，∠C＝30°，AB＝100×sin30°＝50m；
乙中，DF＝100m，∠D＝45°，DE＝100×sin45°＝50≈70.71m；
丙中，GI＝95m，∠I＝45°，GH＝95×sin45°＝≈67.18m；
丁中，JL＝95m，∠L＝60°，JK＝95×sin60°＝≈82.27m．
故选D．
6．8．
【解析】在直角△ABC中，利用正弦函数即可求解．试题解析：在Rt△ABC中，sin∠ABC=，
∴（米）．
7．．
【解析】在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．
解：∵BC＝6，sinA＝，∴AB＝10，∴AC＝，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5，
∵△ADE∽△ACB，∴ ，即，解得：DE＝．
8．14a2．
【解析】过A作AD⊥BC于D．在Rt△ACD中，AC＝5a，cos C＝，
∴CD＝AC cos C＝3a，AD＝＝4a．
在Rt△ABD中，AD＝4a，∠B＝45°，∴BD＝AD＝4a．∴BC＝BD＋CD＝4a＋3a＝7a．
故S△ABC＝BC AD＝×7a×4a＝14a2．故答案是14a2．
9．2．
【解析】如图，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，AB的垂直平分线交AB于点F．
∵在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AC＝6cm，
∴∠A＝30°，AE＝3cm． ∴AB＝．
又∵DF是AB的垂直平分线，∴AF＝． ∴AD＝．
10．4
【解析】∵△BDE由△BCE翻折而成，∴BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°．
∵AD＝BD，∴AB＝2BC，AE＝BE．∴∠A＝30°．
在Rt△ABC中，∵AC＝6，∴BC＝AC tan30°＝6×＝2．
设BE＝x，则CE＝6﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC＝2，BE＝x，CE＝6﹣x，
∴BE2＝CE2＋BC2，即x2＝（6﹣x）2＋（2）2，解得x＝4．
∴折痕BE的长为4．　
11．30°，，12．
【解析】根据三角形的内角和为180°，已知∠C，∠B，BC的值，则∠A＝180°－∠B－∠C，从而求出c，b代入数值进行求解即可．
解：在Rt△ABC中，∠A＝180°－90°－60°＝30°，
∵cosB＝，
∴c＝ ，
b＝BCtan60°＝．
12．AB ＝3＋．
【解析】过点C作CD⊥AB于D．通过解三角形计算即可．
解：过点C作CD⊥AB于D．
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝
∴CD＝，
∴AD＝AC×cosA＝×＝3
在Rt△BCD中，∠B＝45°，则BD＝CD＝，
∴AB＝AD＋BD＝3＋
13．．
【解析】因为电线杆和拉线构成直角三角形，可利用三角函数的相关知识解答．
解：在Rt△ADC中，∵
∴（米）
∵
∴（米）
14．．
【解析】由已知得△BDC为等腰直角三角形，所以CD＝BC＝6，又因为已知∠A的正弦值，即可求出AB的长，然后根据勾股定理求出AC的长，即可求出AD的长．
解：
在△BDC中，∠C＝90°，∠BDC＝45°，DC＝6
∴tan45°＝＝1
∴BC＝6
在△ABC中，sinA＝，∴，
∴AB＝15
∴
15．（1）；（2）．
【解析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝4；解Rt△ADB，得出AB＝6，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD＋DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE－CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝4，
∴DC＝AD＝4．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝4，
∴AB＝
∴BD＝，
∴BC＝BD＋DC＝
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝，
∴DE＝CE－CD＝，
∴tan∠DAE＝．