高中数学苏教版（2019）必修第二册平面向量单元检测卷B（word版含解析）

平面向量单元检测卷
一、单选题
1．在梯形ABCD中，AB//CD且AB=3CD，点P在边BC上，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．在△中，D为BC的中点，，，EF与AD交于G，，则（ ）
A． B． C． D．
3．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于（ ）
A． B．
C． D．0
4．已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
5．已知向量，若，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
7．已知平面向量，满足，且，，则（ ）
A． B．3 C．1 D．
8．已知向量满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
二、多选题
9．（多选）设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法中错误的是（ ）
A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
B．若与共线，则在方向上的投影为
C．若两非零向量，满足，则
D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
11．折纸发源于中国．世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则（ ）
A． B．
C． D．
12．以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知平面向量，，若，则___________.
14．已知平面向量满足：，，则的最小值为___________．
15．已知向量，满足，，则向量与的夹角为______．
16．若为任一非零向量，为单位向量，下列各式：
（1）；
（2）∥；
（3）||＞0；
（4）||＝±1；
（5）若是与同向的单位向量，则＝.
其中正确的是________.(填序号)
四、解答题
17．若三点共线，求的值．
18．已知，设，．
(1)求作：，，，．
(2)向量，分别与有什么关系？
19．已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
20．已知平行四边形的三个顶点分别为，，，且，，，按逆时针方向排列.
(1)求点的坐标；
(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知，______，且与平行，求的值.
21．如图，在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，化简．
22．设，是夹角为的单位向量，若，，求与的夹角．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
延长，交于点，则三点共线，运用可求解.
【详解】
延长，交于点，则三点共线，于是可得，因且，所以，于是，.
故选：D
2．B
【解析】
【分析】
由已知可得，根据共线可设，，结合已知及平面向量的基本定理列方程组求参数值.
【详解】
由题设，，又，且，
所以，即，解得.
故选：B.
3．A
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法法则进行计算.
【详解】
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
解析　∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故选：C
5．D
【解析】
【分析】
根据平行向量的坐标表示计算即可.
【详解】
且，
解得，
故选：D.
6．B
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】
记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
7．B
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得，再利用数量积求模长即可.
【详解】
因为，且，，故可得，解得；
又.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
由可得，即可求出，从而可求出.
【详解】
∵，∴，又，
∴，整理得，
则.
故选：C.
9．AC
【解析】
【分析】
先将化简，进而根据平面向量的定义判断答案.
【详解】
由题意，，易知A, C正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
【解析】
【分析】
结合向量基底定义，投影的运算，及模的转化，夹角的运算分别检验各选项即可判断．
【详解】
对于A，，所以，故不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；
对于B，与共线，则在方向上的投影为，所以错误；
对于，两非零向量，满足，则，则，
成立；
对于，，，，则，，，
，
，
，
所以为钝角，
则为钝角三角形，错误；
故选：．
11．BCD
【解析】
【分析】
将讨论的向量分解到上，再进行向量的相关算可依次判断.
【详解】
，则与不平行，A错．
设，
，B对．
，C对
，D对，
故选:BCD．
12．AC
【解析】
【分析】
根据向量相等，向量共线的定义逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B不正确；
对于C：由且，则，故C正确；
对于D：与共线，与共线，则与共线，不正确，例如取时，与不一定共线.
故选：AC.
13．
【解析】
【分析】
由，列方程求解即可
【详解】
因为平面向量，，且，
所以，得，
故答案为：
14．##
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，设，，求出B的轨迹方程，再根据的几何意义求其最小值.
【详解】
如图，在平面直角坐标系中，设，，则A(1，0)，B(x，y)，
则，，
即的轨迹为抛物线：.
设，则，＝，
设，∵，故C的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
∴，可看作抛物线上任意点到以为圆心，半径为1的圆上任一点的距离，
则，当时取等号.
故的最小值为.
故答案为：.
15．##60°
【解析】
【分析】
设出夹角，利用及化简可求夹角.
【详解】
设向量，的夹角为，由题意得，
又，故，故，所以．
故答案为：.
16．（3）
【解析】
【分析】
根据平面向量的模的概念和零向量、单位向量的概念判断(1)(3)(4)，根据平行向量的概念即可判断(2)(5).
【详解】
由题意知，，
对（1），当时，，不一定有，故(1)错误；
对（2），与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故(2)错误；
对（3），非零向量的模必大于0，即，故(3)正确；
对（4），向量的模非负，故(4)错误；
对(5)，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故(5)错误.
综上可知（3）正确.
故答案：（3）
17．
【解析】
【分析】
根据的坐标表示出，由，列出等式求解.
【详解】
由题意得，因为三点共线，所以，即，得.
18．(1)答案见解析
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据数乘向量的定义即可求解；
（2）根据三角形相似的性质及数乘向量的定义即可求解.
(1)
解：在线段AB、AC上分别取点、，使得，，
在BA、CA的延长线上分别取点、，使得，，
则，，，对应的图形如下图所示：
(2)
解：∵，，
∴，
∴，=，
∴，
∴，同理可得.
19．证明见解析
【解析】
【分析】
连接AC，易得，分别为和的中位线，进而可得，且，又向量与方向相同，从而得证.
【详解】
证明：如图，连接AC，
因为，分别是，的中点，所以为的中位线，
所以，且，
同理，因为，分别是，的中点，所以，且，
所以，且，
因为向量与方向相同，所以.
20．(1)
(2)选择①；选择②
【解析】
【分析】
（1）根据向量相等可求解；
（2）分别计算出与，再根据向量平行建立方程求解即可.
(1)
设，，，
因为，所以 解得 故.
(2)
选择①，，，
.
由题意得，解得.
选择②，，，
，
由题意得，解得.
21．
【解析】
【分析】
根据向量的加减法，结合几何图形的特点，对目标式进行整理化简即可.
【详解】
因为在梯形ABCD中，，AC与BD交于点O，
故.
即.
22．
【解析】
【分析】
根据数量积公式求出及，，利用向量夹角公式求出答案.
【详解】
由题意得：，从而，
，，设与的夹角为，从而，解得：，所以与的夹角为.
答案第1页，共2页
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